Решение нестандартных задач с помощью кругов Эйлера-Венна

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ №2





Городское соревнование юных исследователей
«Шаг в будущее. Юниор»



Предмет математики столь серьезен,
что нельзя упускать ни одной возможности
сделать его более занимательным.
Б. Паскаль



Круги Эйлера-Венна





Выполнил:
ученик 6В класса
Слободянюк Алексей Юрьевич
Руководитель:
Башмакова Наталия Адамовна, учитель математики



г. Сургут
2012 год


Оглавление

1. Введение
а) Исторические сведения
б) Изображение множества чисел с помощью кругов Эйлера-Венна
2. Решение задач с помощью кругов Эйлера
а) Простые задачи
б) Сложные задачи
3. Заключение
Цель работы: выявить какие задачи можно решать с помощью кругов Эйлера-Венна.
Задачи:
Изучить теоретические сведения по теме «Круги Эйлера-Венна»;
Определить тип задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера-Венна (как же круги Эйлера помогают при решении задач?);
Проанализировать полученные результаты, подготовить сообщение и презентацию по данному вопросу.
Объект исследования: задачи на множества различных элементов (чисел и других объектов).
Предмет исследования: множества и действия с ними.
Методы исследования: наблюдения, анализ решения готовых задач, решение задач самостоятельно применяя арифметический метод, логические рассуждения и круги Эйлера-Венна; составление задач.
Гипотеза: применение кругов Эйлера-Венна позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений и более с несколькими неизвестными.












1. Введение
Леонард Эйлер ( 1707 - 1783 ).
Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского питомника гениев.
Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.
Его называли идеальным математиком 18 века.
Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки.
При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера-Венна».
Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.
В нашем учебнике по математике за 6 класс (Г.В. Доровеев, Л.Г. Петерсон) множество всех действительных чисел Эйлер изображено с помощью этих кругов: N - Множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел.
2. Решение задач с помощью кругов Эйлера
В феврале этого года к декаде по математики наш класс готовил урок по теме «Решение задач с помощью кругов Эйлера Венна». На уроке у нас в гостях был директор, завуч и учитель математики. Зная, что и завуч и директор преподают математику у меня родилась идея составить задачу. Послушайте её.
Задача 1. В гостях на уроке математики присутствовало 3 математика, директор и завуч. Из них преподаёт только математику один человек. Возможно ли это, если да, то показать это с помощью кругов Эйлера-Венна.






Задача 2. Интересная задача родилась при изучении простых чисел. Даны множества: натуральны, четные и простые числа. Найти пересечение этих множеств.






Ответ: 2.
Задача 3. Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 16 из них увлекаются футболом, а 12 баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей?
Решение: Обратимся к кругам Эйлера:






Изобразим два множества (можно вводить обозначения их не только кругами), так как два вида спорта. В одном я буду фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом баскетболом. Поскольку некоторые из моих друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то квадраты нарисую так, чтобы у них была общая часть (пересечение). В этой общей части ставим цифру 2. В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 14 (16
· 2= 14). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру10 (12
· 2 = 10). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 14 + 2 + 10 = 26 друзей.
Ответ: 26 друзей.
Я нашел и решил задачи из учебника математики из раздела «Рациональные числа»
Задача №1.
Дано множество: А = {–16; 13 EMBED Equation.3 1415; –0,3; 9; 113 EMBED Equation.3 1415; 0; –5; 2; 4,8}. Составьте из элементов этого множества подмножества: 1) В – отрицательных рациональных чисел; 2) С – натуральных чисел; 3) D – целых чисел; 4) Е – целых отрицательных чисел. Постройте круги Эйлера-Венна множеств A, B, C, D и E.






Задача №2.
Выберите из множества А = {1,5; –7; 13 EMBED Equation.3 1415; 0; 9; –213 EMBED Equation.3 1415; 68} подмножество: 1) В – натуральных чисел; 2) С – целых чисел; 3) D – рациональных чисел. Постройте круги Эйлера-Венна множеств А, В, С и D и отметьте на ней элементы множества А.









Задача №3.
Дано множество: А = {–2; 0,8; 15; 13 EMBED Equation.3 1415 –36; 0; 13 EMBED Equation.3 1415; 4}. Нарисуйте круги Эйлера-Венна множеств N, Z, Q и отметьте на ней элементы множества А.










Задача №4.
Выберите из множества А = {5; 13 EMBED Equation.3 1415 0; –12; –7,8; 13 EMBED Equation.3 1415 –0,95; 8,6; 21; 13 EMBED Equation.3 1415} подмножество: 1) В – положительных чисел; 2) С – отрицательных чисел; 3) D – целых чисел; 4) Е – натуральных чисел; 5) F – неотрицательных целых чисел; 6) К – отрицательных дробных чисел. Постройте круги Эйлера-Венна множеств A, B, C и D. Обведите на ней красным карандашом множество Е, зеленым – множество F, а желтым – множество К.









Предлагаю Вашему вниманию задачу, которую составила моя одноклассница.
Экзамен по математике содержал 3 задачи: по алгебре, по геометрии и тригонометрии. Из 650 студентов по алгебре решили 400 студентов, по геометрии – 480, по тригонометрии 420 человек. Задачи только по алгебре и геометрии решили 100 человек, только по геометрии и тригонометрии – 90 человек. Сколько студентов решили только одну задачу?
Решение: А – задачи по алгебре, Г – задачи по геометрии, Т – задачи по тригонометрии. По условию: АГ = 100, АТ – 90, Т – 85, Г = 75.
Нам надо найти количество студентов решивших одну задачу, т.е. m (А)+ m (Т) + m (Г), где неизвестно лишь m количество студентов решивших только алгебру. Из условия геометрию решили 480, следовательно, m (АТГ) = 480 m (Г) – m (АГ) – m (ГТ) = 480-75-100-90 = 215 – количество человек, которые решили все три задачи. Из условия тригонометрию решили 420, следовательно: m (А) = 400 – m (АГ) – m (АТГ) – m (АТ) = 400 – 100 – 215 – 30 = 55 – количество абитуриентов решили только алгебру.
Проверка: итак m (А) + m (Т) + m (Г) = 55 + 85 + 75 = 215 – количество человек, которые решили только 1 задачу. Так как всего 650 студентов, то должно выполниться равенство: 215 + 100 + 30 + 90 + 215 = 650 – верно!
Ответ: 215 человек, которые решили только 1 задачу.











Задача «Родственные узы»
Учитель математики прочитала нам задачу из раздела круги Эйлера-Венна: по дороге шли два отца и два сына. А всего три человека. Возможна ли такая ситуация и как показать это с помощью кругов Эйлера-Венна?
Решение:




Отмечу 2 множества: сыновья и отцы. Зная, какие родственные узы бывают, я делаю вывод, что по дороге шел мальчик со своим отцом и дедушкой.
Ответ: По дороге: папа с сыном и своим отцом.
По аналогии данной задачи я составил свою задачу о своей семье.
Задача: За праздничным столом собрались родственники. Папа объявил, что сегодня у нас в гостях 4 поколения, среди которых 4 мамы, 2 деда и 3 папы, 3 бабушки, 5 детей, а всего 9 человек. Известно, что среди нас 1 прабабушка и только 1 женщина является и мамой, дочкой и внучкой. Как решить данную задачу. Кто собрался за праздничным столом?
Решение:















Ответ: К своей дочери (у неё 2 детей) пришли в гости папа, мама и её бабушка по линии мамы. В гости к её мужу приехали папа и мама.


Сложные задачи
Задача 1. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский (А), немецкий (Н), французский (Ф). 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка английский и немецкий изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?
Решение. При решении данной задачи недостаточно метода «Круги Эйлера-Венна». Удобно применить составление уравнения по условию задачи, а круги Эйлера-Венна в данной задаче наглядно показывают решение.
А + Н = 34
Ф + Н = 25
Н = 6
По условию: А + Н = на 3 человека >, чем Ф + Н = х изучают одновременно 2 языка.


Составим и решим уравнение:
34 – х – 3 – 6 – х + х + 3 + 6 + х +25 – х – 6 – х – 3 = 40
– 2х = 40 – 34 + 3 – 25
– 2х = –10
х = 5
Ф + Н = 5 человек.
А + Н = 8 человек.
А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 человек.
Н = 6 человек.
Ф =25 – 5 – 6 –8 = 6 человек.
Ответ: всего 40 человек.
Пример задачи из жизни, которую я нашел в литературе. Данная задача показывает, что с помощью кругов Эйлера-Венна можно решать не только задачи по математике.
Задача 2. Министерство послало в один из лицеев инспектора для проверки, как в нем ведется преподавание иностранных языков. Сотрудник министерства в отчете записал, что в лицее учатся 100 детей. Каждый изучает по крайней мере один из трех языков: французский, немецкий или испанский. Причем все три языка изучают 5 человек; немецкий и испанский 10; французский и испанский 8; немецкий и французский 20; испанский 30, немецкий 23, французский 50. Инспектор, представивший отчет, был уволен. Почему?
Решение: Начнем, как всегда, с обозначений. Назовем Ф множество учащихся, изучающих французский язык, Н – множество учащихся, изучающих немецкий язык, И – тех, кто изучает испанский. В отчете сказано, что каждый из 100 лицеистов изучает хотя бы один из трех языков.






Проверим, соответствует ли это утверждение остальным данным отчета. Их можно записать так: Ф = 50, Н = 23, И = 30, Ф
· Н = 20, Ф
· И = 8, Н
· И = 10, Ф
· Н
· И = 5. Поскольку множество всех лицеистов есть объединение множеств Ф, Н и И, мощность которого равна 100, то 100 = Ф + Н + И – ( Ф
· Н + Ф
· И ) + Н
· И + Ф
· Н
· И. Подставим соответствующие значения и получим 50 + 23 + 30 – 20 – 8 – 10 + 5 = 70. Противоречие: 100
· 70. Попробуем из отчета инспектора понять, сколько учеников изучают только немецкий язык. Как  следует из рис.5, мощность данного множества равна Н – Н
· Ф – Н
· И + Н
· И
· Ф. Подставив соответствующие значения в последнюю формулу, получим 23 – 20 – 10 + 5 = – 2. Опять абсурд! Вывод очевиден – проверка была произведена плохо или совсем не проводилась. Не исключено, что инспектор взял произвольные числа.
 
 
Заключение
В результате работы над данной темой я пришел к следующим выводам:
1) Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество частично или полностью;
2) Любое натуральное число является элементом любого следующего множества;
3) Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.
4) Круги Эйлера наглядная геометрическая иллюстрация объемов понятий и отношений между элементами множествами. Применительно к логическим операциям: пересечение, объединение представленные в виде кругов Эйлера.
Таким образом, круги Эйлера-Венна подтверждают высказывание Б.Паскаля о том, что «Предмет математики столь серьезен, что нельзя упускать ни одной возможности сделать его более занимательным». Я убедился в этом, решая предложенные задачи в учебнике математики и составляя свои. Для себя я открыл новое представление не только о мире чисел, но и то что математика с нами и повседневной жизни.
Литература
Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. – М.: «Баласс», «Ювента», 2004. – 128 с.: ил.
Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.: ил.
Галеева Р. А. Тренируем мышление. Задачи на сообразительность / Р. А. Галеева, Г. С. Курбанов, И. В. Мельченко – Изд. 2 – е – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 272 с.: ил. – (Большая перемена).
Клименченко Д. В. Задачи по математике для любознательных: Кн. для учащихся 5 – 6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 192 с.: ил.
Игнатьев. Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995. – 616 с.
Логические задачи/О.Б. Богомолова. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 271 с.: ил.
Информатика. Задачник-практикум в 2 т. / Л. А. Залогова, М. А. Плаксин, С. В. Русаков и др. Под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера: Том. 2. – 2-е изд. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2005. – 278 с.: ил.
Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 95 с.: ил.

14

Натуральные числа

Четные числа

Простые числа

2

Баскетболистов 12

Футболистов 16

2

В






D
0;

С
9; 2;

13 EMBED Equation.3 1415; –0,3;

Е
–16; –5;








–7; 0


9; 68;

1,5; 13 EMBED Equation.3 1415;

D

C

В

0,8;
13 EMBED Equation.3 1415

–2; -36; 0; –1;

15; 4

Q

Z

N

K

C

D

F

Е

В

А















650

А 55

100

215

90

90

Г 75


Т 85


Мальчик

Дедушка

Мужчина

10

Мама



1

Бабушка

Папа

1

Дед


Дети

1

2


2

2

И

Ф

Н

хотя бы 1



Root Entry

Приложенные файлы


Добавить комментарий