Методы решения уравнений.

Итоговая работа.
Урок алгебры в 11 классе по теме «Методы решения уравнений»

Урок можно проводить при повторении курса алгебры и подготовки к ЕГЭ, а также как обобщающий урок по теме «Решений уравнений».

Цель: повторение и обобщение материала по теме «Методы решения уравнений».

Задачи:
- формировать умение классифицировать уравнения по методам решения;
- закрепить навыки решения уравнений различными методами;
- отрабатывать навыки самоконтроля с целью подготовки к итоговой аттестации;
- воспитывать чувство коллективизма, ответственности.

Тип урока: урок-обобщение, урок-практикум.

Оборудование: ПК, проектор, карточки с самостоятельной работой.

Методы обучения: частично-поисковый метод, репродуктивный, обобщающий.

Формы работы: фронтальный опрос, работа в группах, взаимопроверка, самопроверка.

План урока.
Конспект урока рассчитан на 2 учебных часа (90 мин.).
Организационный момент. (2 мин.)
Устная работа. (15 мин.)
Доклады учащихся. (25 мин.)
Работа в группах. (35 мин.)
Проверка решений. (10 мин.)
Итог урока. (3 мин.)

Предварительная работа: за неделю до урока в классе выбираем группу учащихся, которые готовят презентации по методам решения уравнений, а также оформляют краткое решение еще нескольких уравнений для работы в группах.

Ход урока.
Организационный момент.
Приветствие.
Тема «Уравнения» - одна из важнейших тем курса алгебры. Мы изучили различные виды уравнений, а также методы их решения. Цель урока – повторить и обобщить сведения о методах решения уравнений. Но прежде вспомним основные определения и правила.
Устная работа.
- Что называют решением уравнения? (Решением уравнения называют то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство.)
- Что значит – решить уравнение? (Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.)
- Что называют областью допустимых значений переменной (ОДЗ)? (ОДЗ переменной уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.)
- Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям? (Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, деление обеих частей уравнения на одно и то же число не равное нулю.)
- Какие действия при преобразовании уравнений можно назвать «опасными» и почему? (Деление уравнения на выражение, содержащее переменную - при этом может произойти потеря корней и возведение обеих частей уравнения в квадрат - при этом могут появиться посторонние корни.)

На доске задания для устной работы.
Укажите ОДЗ уравнения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 (х – любое число) 6) 13 EMBED Equation.3 1415 (х – любое число)
2) 13 EMBED Equation.3 1415 (х
·15) 7) 13 EMBED Equation.3 1415 (х – любое число)
3) 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415) 8) 13 EMBED Equation.3 1415 (x>-8)
4) 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) 9) 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415)
5) 13 EMBED Equation.3 1415 (х – любое число) 10) 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)
11) Имеет ли решение уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 (нет, т. к. правая часть уравнения отрицательна при любом х)

3. Назвать виды уравнений:
- линейные
- квадратные
- дробные рациональные
- иррациональные
- тригонометрические
- логарифмические
- показательные

Основные методы решения:
Разложение на множители.
Деление на многочлен.
Избавление от знаменателя.
Введение новой переменной.

Доклады учащихся.
Метод разложения на множители.
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415можно заменить совокупностью двух более простых уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Способы разложения на множители:
- вынесение общего множителя за скобки;
- способ группировки;
- применение формул сокращенного умножения.
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: x - любое число.
Вынесем за скобку множитель 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415.
ОДЗ: х – любое число.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вынесем множитель 13 EMBED Equation.3 1415 за скобку:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 х=0,2 х=5
Ответ: -1; 0,2; 5.

Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415.
ОДЗ: х – любое число.
Сгруппируем первые три слагаемых и воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел:
13 EMBED Equation.3 1415
Применим формулу разности квадратов двух чисел:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 нет корней.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Метод введения новой переменной.
Введение новой переменной позволяет разбить задачу на подзадачи и решить вместо одного сложного несколько простых уравнений.
Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: х – любое число.
Замена: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Вернемся к замене:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1,5; -0,5; 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 5. 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: х и у любые числа.
Многочлен называется однородным, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если 13 EMBED Equation.3 1415 - однородный многочлен, то 13 EMBED Equation.3 1415 однородное уравнение.
Вынесем общий множитель за скобки:
13 EMBED Equation.3 1415
Если х=0, то у – любое число.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415 и введем новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Вернемся к замене:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть а – действительное число. Тогда ответ можно записать в виде:
(0; а), (а; 2а), (2а; а).


Пример 6. 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: х – любое число.
Многочлен называют симметрическим, если коэффициенты членов, равно отстоящих от концов, равны между собой. Для многочленов с двумя переменными - если при одновременной замене х на у и у на х, многочлен сохраняет свой вид. Например, 13 EMBED Equation.3 1415.
Разделим обе части данного уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Сгруппируем 1 и 5 слагаемое, 2 и 3 слагаемое:
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вернемся к замене:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решив эти уравнения, получаем корни 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Метод деления на многочлен.
Этот метод применяют при решении уравнений высших степеней. Цель – понизить степень многочлена.
Теорема. Если 13 EMBED Equation.3 1415 - целый корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- многочлен с целыми коэффициентами, свободный член которого не равен 0, то 13 EMBED Equation.3 1415 - делитель свободного члена многочлена.
Пример 7. 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: х – любое число.
Выпишем делители свободного члена многочлена:
±1; ±2; ±3; ±6.
Число 1 обращает многочлен в 0. Значит х=1 – корень уравнения.
Разделим многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 на двучлен 13 EMBED Equation.3 1415. Получим 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1; -3; 2.

Избавление от знаменателя.
Для того чтобы избавиться от знаменателя необходимо умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Этот тип уравнений требует собой осторожности, т.к. найденные корни могут обращать знаменатель в 0.
Пример 8. 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415 при любом х, 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Умножим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение не имеет решения.
Ответ: нет корней.

Работа в группах.
Учащиеся разбиваются на 3-4 группы и самостоятельно выполняют задания. Ученики, подготовившие доклады присоединяются к группам. Задания, выполненные докладчиками не должны совпадать с заданиями для группы.

5. Проверка решений.
По окончанию работы докладчики представляют краткое решение заданий. Это может быть презентация или оформленное на бумаге решение. Члены группы могут проверять как свои работы, так и работы других участников группы, включая докладчиков.

По результатам работы выставляются оценки. Дополнительные отметки выставляются учащимся, подготовившим доклады. Д.з.




Задания для самостоятельной работы.

1 вариант.
А) 13 EMBED Equation.3 1415 (-2; 2; 3)
Б) 13 EMBED Equation.3 1415 (-5)
В) 13 EMBED Equation.3 1415 (-1; 0,5)
Г) 13 EMBED Equation.3 1415 (-2; 1)
Д) 13 EMBED Equation.3 1415 (1,2; 2)
Е) Решите уравнение относительно х
13 EMBED Equation.3 1415 (-5у; -0,4у)

2 вариант.
А) 13 EMBED Equation.3 1415 (2; -1)
Б) 13 EMBED Equation.3 1415 (-14; 1)
В) 13 EMBED Equation.3 1415 (-1; 1)
Г) 13 EMBED Equation.3 1415 (-1; 2)
Д) 13 EMBED Equation.3 1415 (0; 5)
Е) 13 EMBED Equation.3 1415 (х и у любые действительные числа)

3 вариант.
А) 13 EMBED Equation.3 1415 (-3; -1; 3)
Б) 13 EMBED Equation.3 1415 (1; 2)
В) 13 EMBED Equation.3 1415 (-1; 1)
Г) 13 EMBED Equation.3 1415 (1; 2)
Д) 13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Е) Решите уравнение относительно х
13 EMBED Equation.3 1415 (у; 4у)


4 вариант.
А) 13 EMBED Equation.3 1415 (2; 3)
Б) 13 EMBED Equation.3 1415 (-1; 0,2)
В) 13 EMBED Equation.3 1415 (64)
Г) 13 EMBED Equation.3 1415 (-2; 1; 3)
Д) 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415)
Е) 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415)
















Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий