Статья РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИАГОНАЛЬНЫХ СХЕМ.

Автор статьи: Епифанова Татьяна Николаевна
учитель математики ГБОУ СОШ №1358 г. Москвы.
В статье приведены задачи, аналогичные прототипам задач из «Открытого банка заданий по математике ЕГЭ 2012» (www. mathege.ru)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
ДИАГОНАЛЬНЫХ СХЕМ.

Среди заданий ГИА и ЕГЭ встречаются задачи на смеси и сплавы. Практика показывает, что подобные задачи решают немногие учащиеся. Я хочу рассказать читателям о простом и удобном способе решения таких задач с помощью диагональных схем.
ПРИМЕР 1. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором 40%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить новый сплав, содержащий 50% меди.
Решение. Возьмём xг 70%-го сплава и yг 40%-го сплава.
Составим диагональную схему:

50%

70% (xг)

10%









40% (yг)

20%

Получаем: x : y = 10 : 20 13 QUOTE 1415 x : y = 1 : 2.
Значит, первый и второй сплавы надо взять в отношении 1:2, чтобы получился новый сплав, содержащий 50% меди.
Примечание: На диагональной схеме 70% и 40%- это процентные содержания меди в исходных сплавах, 50%-это процентное содержание нового сплава, а справа «крест-накрест» записаны соответствующие разности 50%-40%=10% и 70%-50%=20%.
Для обоснования диагональной схемы можно показать ученикам решение этой задачи с помощью таблицы.

Процентное содержание меди в сплаве, %

Масса сплава, %

Масса меди, %

70
х
0,7х

40
у
0,4у

50
х+у
0,5(х+у)

Составим и решим уравнение:
0,7х+0,4у=0,5(х+у)13 QUOTE 14152х=у13 QUOTE 1415х:у=1:2
ПРИМЕР 2. Из банки, доверху наполненной молоком 6%-ной жирности, отлили 1,5 л и долили 1,5 л молока жирностью 2,5%. После чего жирность молока составила 3,5%. Сколько литров молока вмещает банка?
Решение. Пусть банка вмещает хл молока.
Составим диагональную схему:

3,5%

6% (x-1,5л)

1%









2,5% (1,5л)

2,5%

(х-1,5):1,5=1:2,513 QUOTE 1415(х-1,5):3=1:5 13 QUOTE 1415 х=2,1
Ответ: банка вмещает 2,1 л.
ПРИМЕР 3
·. Более сложная задача с двукратным применением диагональной схемы.
Косметолог приготовила 300г раствора солей Мёртвого моря одной концентрации и 500г раствора тех же солей другой концентрации. Смешав эти растворы, она получила раствор 25%-ной концентрации. Если бы она смешала равные массы этих растворов, то получила бы раствор, содержащий 24% соли. Какова концентрация каждого из этих двух растворов?
Решение. Пусть концентрация первого раствора равна х% , второго у% и х13 QUOTE 1415у.

Дважды воспользуемся диагональной схемой:

25%

х% (300г)

25- у









у % (500г)

х -25




24%

х% (100г)

24- у









у % (100г)

х -24


Составим и решим систему13 QUOTE 1415

Ответ: 20% и 28%.

ПРИМЕР 4. Диагональные схемы применимы не только для решения задач на смеси и сплавы, но и в других задачах на соотношения.
В новом учебном году количество учеников в начальной школе уменьшилось на 15%, а в средней школе увеличилось на 25%. При этом общее количество детей в этой школе возросло в 1,1раза. Сколько процентов от общего числа учеников составляли ученики младших классов в прошлом учебном году?
Решение. Пусть в прошлом учебном году в начальной школе было х учеников , а в средней уучеников.
Составим диагональную схему:

110%

85% (xуч.)

15%









125% (yуч.)

25%







Получаем: x : y = 15 : 25 13 QUOTE 1415 x : y = 3 : 5.

Ответ: 37,5%.

ПРИМЕР 5. Цена конфет «Белочка» больше цены конфет «Ласточка» в 1,5 раза. В каких пропорциях нужно смешать конфеты этих двух видов, чтобы получить ассорти, которое дороже конфет «Ласточка» в 1,4 раза?
Решение. Пусть смешивают хкг конфет «Белочка» и укг конфет «Ласточка».
Составим диагональную схему:


1,4

1 (xкг.)

0,1









1,5 (yкг.)

0,4







Получаем: x : y = 0,1 : 0,4 13 QUOTE 1415 x : y = 1 : 4.
Ответ: 1 : 4.








13PAGE 15




13PAGE \* MERGEFORMAT14215


13PAGE \* MERGEFORMAT14115




Заголовок 1 Заголовок 2 Заголовок 3 Заголовок 4 Заголовок 5 Заголовок 6 Заголовок 7 Заголовок 8 Заголовок 915

Приложенные файлы


Добавить комментарий