Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

МОУ Сычёвская средняя общеобразовательная школа.





11 класс

















Преподаватель математики – Егорова Е.В.



Цель урока – повторить и обобщить знания по данной теме.

На доске:
«Обобщение понятия часто бывает полезным
для достижения его сущности» А.Н.Колмогоров




1этап (организационный момент)

Сегодня у нас с вами обобщающий урок по теме : «Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла».
Эпиграфом к нему я взяла слова известного русского математика Андрея Николаевича Колмогорова : «Обобщение понятия часто бывает полезным для достижения его сущности». Прямое вычисление площадей некоторых фигур проделывали ещё математики Древней Греции и Рима. Эти задачи носили название – задачи о квадратуре.
Классической задачей является задача о квадратуре круга. Она заставила задуматься ни один ум . И лишь в XVII веке Ньютону и Лейбницу удалось открыть общий способ вычисления площадей плоских фигур. Этим способом и пользуемся и сегодня.
Начнём урок.



2 этап (повторение основных теоретических фактов)

а) Ранее мы с вами делали опорные конспекты по этой теме, теперь сложим всё воедино.
В 4 основных случаям нахождения площадей, представленных на доске справа, записать условия, накладываемые на функции, определить, чем ограничены данные фигуры и записать формулы вычисления площадей.
(1 человек самостоятельно у доски)

б)В это время повторим теорию. Внимательно слушайте вопросы. Я жду чётких ответов.

1.Что называется криволинейной трапецией?
(Фигура,ограниченная графиком непрерывной, не меняющей знака на [a;b] функции, отрезком [a;b] оси ОХ , прямыми х=a и х= b ).

2.Формула Ньютона-Лейбница.
(Интеграл от а до b функции эф от икс дэ икс называется приращение функции эф большое от х на отрезке от а до b, где эф большое от х есть первообразная для функции эф.

3.Каков алгоритм вычисления площади плоской фигуры , ограниченной заданными линиями.
( 1. Построить фигуру.
2. Найти пределы интегрирования.
3. Записать формулу вычисления площади через интеграл, используя 4 основных случая.
4. Вычислить интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.
5.Записать ответ.)

А теперь проверим выполнение задания на доске.

1 случай

Фигура ограничена графиком непрерывной, неотрицательной на [a;b] функции, отрезком [a;b] оси ОХ , прямыми х=a и х= b ,является криволинейной трапецией .





2 случай

Фигура ограничена графиком непрерывной, неположительной на [a;b] функции, отрезком [a;b] оси ОХ , прямыми х=a и х= b ,является криволинейной трапецией .

3 случай

Фигура ограничена графиками непрерывных на [a;b] функций, при чём f>g на [a;b], прямыми х=a и х= b ,её площадь является либо суммой (в случае когда f и g разного знака на [a;b]) площадей криволинейных трапеций,либо разностью(в случае когда f и g одного знака на [a;b])


4 случай

Фигура ограничена графиками непрерывных, неторицательных на [a;b] функций, отрезком [a;b] оси ОХ ,прямыми х=a и х= b ,её площадь является суммой площадей криволинейных трапеций.Где с-абсцисса точки пересечения графиков функций f и g.



3 этап(Совместная устная работа.Отработка алгоритма)


На доске слева построены различные фигуры .Необходимо определить,чем ограничена площадь и записать формулу для её вычисления.

1 рис.

Площадь ограничена графиком функции у=2sinx, отрезком [0;] оси ОХ, прямой х= .Фигура является криволинейной трапецией и её площадь вычисляется по формуле





2 рис.

Площадь ограничена графиками функций у1=-(х-2)2+2 и у2=1, является
разностью площадей криволинейных трапеций и вычисляется по формуле

4 этап (Решение задачи с параметром)

Переходим к 4 этапу нашего урока.

Решим задачу с параметром, предлагаемую на вступительных экзаменах в ВУЗ.

ЗАДАЧА.

При каком а площадь, ограниченная линиями у=х2, х=а , х=а+1, у=0 принимает наименьшее значение. Найдите эту площадь.

Решение:

Так как фигура ограничена графиком неотрицательной ,непрерывной функции, осью абсцисс, прямыми х=а, х=а+1, то она является криволинейной трапецией и её площадь вычисляется по формуле



Итак,
Рассмотрим квадратичную функцию у=х2+х+1/3
Её наименьшее значение достигается в вершине соответствующей параболы, т.е. при х=-1/2
Итак, при а=-1/2 площадь принимает наименьшее значение и равна

S= 1/12

Ответ :

При а=-1/2 площадь принимает наименьшее значение равное 1/12 кв.ед.




5 этап (индивидуальная работа по карточкам)

На следующем этапе мы перейдём к работе по карточкам.
Дабы, как сказал Лев Николаевич Толстой : «Ум человеческий только тогда понимает обобщение, когда он сам его сделал и проверил»

На карточках записаны варианты ответов и соответствующие им слоги, а на карточках повышенной сложности - целые слова.
При правильном решении мы вместе получим с вами имя известного математика.
Если кто-то уже получил ответ, работает с дополнительными заданиями на обратной стороне карточки. В путь!

Примеры карточек даны в приложении.




Итак, на доске полученные вами слоги:

ГОТ НИЦ
ЛЕЙБ ГЕЛЬМ
ВИЛЬ ФРИД




На доску вывешивается портрет.

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646-1716)-
немецкий математик, физик, философ,
создатель Берлинской академии наук.
Основоположник дифференциального и
Интегрального исчисления, ввёл знак
интеграла
·.
«Предупреждаю,чтобы остерегались отбрасывать dx,- ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд».
Г.В.Лейбниц

Оценки за решение вы узнаете на следующем уроке, так как в 11 классе очень важно не только получить правильный ответ, но и записать его решение.

6этап (домашнее задание)

Запишем домашнее задание:
Повторить теорию.
Решить в тетради:
1 уровень- стр.298 №275(а,г)
2 уровень – стр 298 №290
Уровень каждый определяет для себя сам.



7этап(дополнительное задание)

В оставшееся время (разворачивается крыло доски с готовым заданием)
хочу вернуться к проблеме квадратуры круга.

Задача на сообразительность.

Вычислите



Решение :

Так как данная фигура является полукругом, то её S = Ѕ пR2 , т.е.
S = Ѕ па2 , значит






До свидания. Урок прошёл плодотворно.





Приложение

I. Обучающая карточка, рассчитана на слабого учащегося.
Справа - решённое задание, слева - необходимо решить аналогичную задачу.

С помощью интеграла вычисли площадь фигуры, ограниченную линиями

у= х2 и у = 4 у= х2 и у = 1

Решение: Решение:

Построим фигуру:




Найдём пределы интегрирования:
х2 = 4
х = 2 или х = -2


3.


Выбери ответ.
ГОР
ФРИД
ПИ
ФА

13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415

II. Карточка, рассчитана на среднего учащегося.

С помощью интеграла вычисли площадь фигуры, ограниченную линиями
y = sin, y =
·x, x = п и выбери ответ.

ГОТ
ФРИД
КОЛМО
РИХ

13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415


III. Карточка, рассчитана на сильного учащегося.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у= 8х - 2х2, касательной к этой параболе в точке с абсциссой х=1 и прямой х=0.
Выберите ответ.

Гаусс
Пифагор
Лейбниц
Колмогоров

13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415


Учебник : А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын, Б.М.Ивлев,С.И.Шварцбурд,М.:Просвещение


Это заключительный урок по данной теме. Навыки и умения выработаны. Далее будут разбираться другие приложения интеграла.
Цели урока
– обобщить и привести в порядок (собрать воедино) полученные знания,
- рассмотреть решение нестандартной задачи, делая акцент на оформление её решения,
- каждому учащемуся определить степень усвоения данного материала
Организационный момент урока даёт возможность плавно войти в тему, прочувствовать цель урока и просто настроиться на рабочий лад.
Заметна алгоритмизация всей темы. 4 основных случая решения, выработанные учащимися ранее должны быть зафиксированы в «долговременной» памяти. Для этого на уроках используются:
метод постоянного повтора, запись опорного конспекта (легко воспроизводимого в разных вариантах, а на данном уроке – полностью),
активизация зрительной памяти (на доске весь урок записан конспект, ярко выделенный цветным мелом), требовательность учителя к своей речи и речи учащихся.
Весь урок явно разбит на блоки.
Смена видов деятельности, не даёт уставать. При этом не потеряна взаимосвязь между решаемыми задачами. От простого к сложному, от сложного к нестандартному.
Пик урока завершился. Дети устают, необходимо «искусственно» заинтересовать их новой проблемой.
И начинается новый этап – индивидуальная работа по карточкам, но с целью узнать имя великого математика. Каждый занят индивидуальным заданием, но в тоже время, он частица в достижении общей цели. И работа, совершаемая для удовлетворения какого-либо интереса ни столь утруждает.
Работа по карточкам – дело тонкое. Одни их катастрофически бояться,
другие , наоборот , готовы весь урок работать самостоятельно. Поэтому карточки раздаются с учётом не только знаний учащегося, но их индивидуальных особенностей.
Цель достигнута, имя математика известно. И каждый может подвести итог своей работы. Учитель оценит их позже, ведь работа в 11 классе предполагает, не только правильный ответ, но и логическое решение.
Домашнее задание разбито на два уровня, и каждый выбирает для себя свой.
В оставшееся время можно отдохнуть, решив задачу на сообразительность. Оказывается можно вычислять интегралы, не имея о них никакого представления.
Цель урока достигнута. Дети удовлетворены своими знаниями.


















Преподаватель математики – Егорова Е.В.

















Вычисление площади плоской фигуры с помощью интегралаRoot Entry

Приложенные файлы


Добавить комментарий