Функционально – графические методы решения задач с параметрами 10 класс

Уравнения и задачи с параметрами

Задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах по математике и столь же часто оказываются не по силам. Это неудивительно, так как у большинства учащихся нет должной свободы в общении с параметрами.
Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не освещается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьное уравнение x2=a, ax2+bx+c, sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a, в которых a,b,c есть не что иное, как параметры.
Но мне кажется, что задачам с параметрами следовательно бы уделить больше внимания. Они представляяют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.
Целесообразно начинать изучение уравнения с параметром с решения простых уравнений без ветвлений, например:
x-a=0, Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
10x=a, Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
x : 5=a, Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
|x| = |a|, Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
x3 = a, Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
Подобные упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений. Замечу, что даже такие, казалось бы, совершенно элементарные уравнения часто требуют от учителя подробных и терпеливых объяснений.
Дальше нужно рассматривать решение простейших уравнений с небольшим числом легко угадываемых ветвлений. Например:
1) ax=10
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415нет корней,
2) 0x=a
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415 нет корней
при 13 EMBED Equation.3 1415x-любое число,
3) x=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415 нет корней,
4) |x|=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415 нет корней,
при 13 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пусть дано уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 (1)- уравнение с переменной х и параметром а.

Решить уравнение (1) с переннной х и параметром а – это значить на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения(1) при всех дествительных значениях параметра.
Для этого надо найти контрольные значения параметра.
I Линейные уравнения.
Пр1. Решить уравнение
2a(a-2)x=a-2 (2)
Решение.
Здесь контрольными значениями являются те значения параметра, для которых коэффициент при х обращается в ноль. При этих значениях невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при этих значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415

это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества:

A1={0}; A2={2}; и A3=13 EMBED Equation.3 1415
и решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

a=0, a=2, 13 EMBED Equation.3 1415

Рассмотрим эти случаи:
При а=0 уравнение (2) примет вид 0 x=-2 – это уравнение не имеет корней.
При а=2 уравнение (2) принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
При а13 EMBED Equation.3 14150 и a 13 EMBED Equation.3 14152 из уравнения (2) получаем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1) если а=0, то корней нет;
2) если а=2, то х – любое число;
3) если а13 EMBED Equation.3 14150 и а13 EMBED Equation.3 14152, то х=13 EMBED Equation.3 1415

Пр2. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Если 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, то x1 = 13 EMBED Equation.3 1415; x2=13 EMBED Equation.3 1415/
При а=-3 уравнение примет вид 0х =24, т.е. не имеет корней. При а=3 , уравнение примет вид 0х=0, т.е. любое действительное число является корнем.
Ответ:
При а 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14153, 13 EMBED Equation.3 1415,
При а =-3, Нет корней

При а =3 х- любое действительное число.

II Квадратные уравнения и параметры
Пр3. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 (3)

Решение.
В данном случае контрольным служит значение а =1. Дело в том, что при а =1 уравнение (3) является линейным, а при а13 EMBED Equation.3 14151 квадратным(в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: а=1, а13 EMBED Equation.3 14151.
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=1 уравнение (3) примет вид 6х+7=0, отсюда х=-7/6.
2) Из множества значений параметра а13 EMBED Equation.3 14151 выделим те значения, при которых дискриминант D уравнения (3) обращается в нуль. Дело в том, что если D равен нулю при а=а0, то при переходе через точку а0 он может изменить знак. Вместе с этим при переходе через точку а0 меняется и число действительных корней квадратного уравнения. Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых D квадратного уравнения обращается в нуль, так же относят к контрольным значениям. Составим D уравнения (3).
D=(2(2а+1))2-4(а-1)(4а+3)=20а+16.
Из уравнения D = 0 находим а=-4/5 – второе контрольное значение параметра а.
При этом если а<-4/5, то D<0 ; Если же а13 EMBED Equation.3 1415-4/5 и а13 EMBED Equation.3 14151, то D13 EMBED Equation.3 14150.
Таким образом остаётся решить уравнение (3) в указанных двух случаях. Если а<-4/5, то уравнение (3) не имеет действительных корней, если же а13 EMBED Equation.3 1415-4/5 и а13 EMBED Equation.3 14151, то находим.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
если а<-4/5, то корней нет,
если а=1 , то х=-7/6,
если а13 EMBED Equation.3 1415-4/5 и а13 EMBED Equation.3 14151, то 13 EMBED Equation.3 1415

Пр4. При каких значениях а, уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет 2 различных корня?
Решение:
При а=0 получается линейное уравнение 5х+3=0, х=-0.6, имеет один корень, при а13 EMBED Equation.3 14150 данное уравнение является квадратным, относительно х, имеет различные корни, когда D>0, 25-12а>0 т.е. -12a>-25, a<25/12, a<13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, при 13 EMBED Equation.3 1415, уравнение имеет два различных корня.

Правило. Для приведенного квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.3 1415, при условии D13 EMBED Equation.3 14150 сумма корней 13 EMBED Equation.3 1415

Пр5. В уравнении 13 EMBED Equation.3 1415определить а, таким образом, чтобы разность корней равнялась единице. 13 EMBED Equation.3 1415, а2-48=1, а2=49, а=13 EMBED Equation.3 1415

Пр6. При каких а сумма квадратов корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415равна 6
Запишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пр7. При всех а решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
а=0 , то х=2
а13 EMBED Equation.3 14150, то получим квадратное уравнение, D =4-16а. Если D<0 , т.е. 4-16а<0, a>1/4, уравнение решений не имеет; Если D=0, т.е. а=1/4, х=4; Если D>0, т.е. а<1/4, уравнение имеет два корня;
13 EMBED Equation.3 1415

III Дробно – рациональные уравнения.
Пр3. Решить уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Контрольным является значение a=0. Если а=0, то уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней.
Если же а13 EMBED Equation.3 14150, то после преобразований уравнение (4) имеет вид:
х(х+2)-2а(х+1)=3-а2
х2+2(1-а)х+ а2-2а-3=0
Составим D уравнения (5)
D=4(1-а)2-4(а2-2а-3)=16
Найдем корни уравнения:
х1=а+1, х2=а-3.
При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.
Имеем:
а)
х1+1=0
а+1+1=0
а=-2
х1+2=0
а+1+2=0
а=-3


б)
х2+1=0
а-3+1=0
а=2
х2+2=0
а-3+2=0
а=1


Значит, при а=-2 и а=-3, х1-посторонний корень для уравнения (4);
При а=2, а=1, х2-посторонний корень для уравнения (4).
Отсюда получаем:
если а=-3, то х=х2=-3-3=-6
если а=-2, то х=х2=-2-3=-5
если а=1, то х=х1=1+1=2
если а=2, то х=х1=2+1=3

Ответ:
если а=-3, то х=-6
если а=-2, то х=-5
если а=0, то нет корней
если а=1, то х=2
если а=2, то х=3
если а13 EMBED Equation.3 14150,1,2,-2,-3, то х1=а+1, х2=а-3.


·Мы обратим внимание на три обстоятельства по выделению контрольных значений параметра:
Обращение в нуль старшего коэффициента в уравнениях вида р(х)=0, где р(х) многочлен.
Обращение в нуль D квадратного трехчлена.
Обращение в нуль знаменателя.

Тригонометрические уравнения
Пр5. Решить уравнение:
sinx=3a-2
Решение
если -113 EMBED Equation.DSMT4 14153а13 EMBED Equation.DSMT4 14151 т.е. 1/313 EMBED Equation.DSMT4 1415а13 EMBED Equation.DSMT4 14151, то х=13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
если а<1/3: a>1, то решений нет.


Пр6. Решить уравнение:
cos2x=2a-1.
Решение.
Воспользуемся формулой понижения степени (1+cos2x)/2=2a-1, получим cos2x=4a-3, дальше рассуждаем так же, как в предыдущем примере:
если -113 EMBED Equation.DSMT4 14154а-313 EMBED Equation.DSMT4 14151, т.е. 1/213 EMBED Equation.DSMT4 1415а13 EMBED Equation.DSMT4 14151, то
х=13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
если а<1/2; a>1 , то нет решения.
Ещё один метод решения задач с параметрами – функционально – графический метод.


План – конспект урока
для учащихся 10 – го класса.

Тимерханова Н.Ф.,
учитель – методист СОШ №32
Тема урока. Функционально – графические методы решения задач с параметрами.
Цель:
Продолжить исследование функции с помощью производной.
Применение производной к решению задач с параметрами.
Повышение познавательной активности у учащихся.
Ознакомление графическим методом решение задач с параметрами.

Оборудование: карточки, кодоскоп, буквы.

Ход урока.
I. Организационный момент.
1. Устный счет в виде игры «Поле Чудес».
Условие игры. На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам. Ниже записаны числа по порядку. Каждому ученику учитель дает карточку с заданием. Ученик, выполнивший задание, называет номер своей карточки и букву, под которой записан ответ. Например, карточка №5, буква «у», если ответ 20.

а
в
д
е
л
м
о
р
ч
ш
у
х

-24
4/13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3/13 EMBED Equation.DSMT4 1415
-4
15
2
3
0
28
-4/3
20
1



1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

У
М
Х
О
Р
О
Ш
О
А
Д
В
А
Л
У
Ч
Ш
Е



Задание. Найти значение производной функции в заданной точке. Работаем по моей команде и на полях делаем самооценку.
-Какое высказывание получили?
-Ум хорошо, а два лучше.- Что это значит?
-Работаем вместе, сообща, это и есть девиз нашего урока.
II. Объяснение нового материала. Сообщается тема, цель урока. На кодоскопе задача. Найти число корней уравнения.
6х3-6х2-6а+1=0
Данное уравнение относится к типу уравнений, разрешаемых относительно параметра.
- С чего начнем решение, кто что предложит?
- Преобразуем уравнение и получим равносильное уравнение.
х3-х2+1/6=а
- Как можно по-другому переформулировать задачу?
- В скольких точках прямая у=а пересекает график функции y= х3-х2+1/6 в зависимости от а ?
- С чего начнем решение?
- Для ответа на этот вопрос требуется провести исследование этой функции.
- Она определена, непрерывна и дифференцируема на R, как многочлен.
Найдем y’(х):
y’(х)=3х2-2х
Находим критические точки.
x=0, x=2/3
f’(x)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

f(0)=1/6-max, f(2/3)=1/54-min
-Построим эскиз графика

1/6 1/54
По рисунку ответим на вопрос.
Ответ: а<1/54 и a>1/6 – одно решение; a=1/54; a=1/6 – два решения; 1/54- При решении задач такого рода для большей наглядности можно использовать эскиз графика функции y=f(x) не содержащей параметра, так как строить и исследовать легче, а затем посмотреть в зависимости от дополнительных условий, пересекается или не пересекается начерченный график с различными прямыми y=a.

III. Работа по новой теме.
На столах карточки с заданиями.
1. Исследовать с помощью производной функцию f(x)=-x4+2x2+8. Определить при каких значениях а уравнение -x4+2x2+8=а не имеет корней.
- Исследование устно.
а) D(f)=R
б) четная, точки пересечения с осями координат: (0;8), (2;0), (-2;0).
в) f’(x) =-4x3+4x, x=-1, x=0, x=1 – критические точки.

f’(x)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415











9

8










-2 2









Е(f)=(-13 EMBED Equation.3 1415, 9)

Для исследования уравнения -x4+2x2+8=а используем график, уравнение не имеет корней при всех значениях а, принадлежащих промежутку (9; 13 EMBED Equation.3 1415), т.е. а>9.

2. При каком наименьшем натуральном значении параметра k, уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет один корень. Один ученик работает на доске.
Запишем уравнение в виде: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть f(x)= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. D(f)=R
Посмотрим схематический график функции.
f’(x)=x2+2x-15, x=-5; x=3 – критические точки.

f’(x)

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

f(-5)=5813 EMBED Equation.DSMT4 1415; f(3)=-27.
(схематический график)
59

5813 EMBED Equation.DSMT4 1415



-5 3



-27




Из графика видно наименьшее натуральное значение параметра k, при котором исходное уравнение имеет один корень: при k=59.


IV. Самостоятельная работа по вариантам с последующей проверкой.

1 вариант. При каком наименьшем целом значении параметра а, уравнение x4-8x2-а=0 имеет четыре корня.
2 вариант. Найти наименьшее целое значение параметра b, при котором уравнение x4-8x2-b=0 имеет два корня.

На кодоскопе ответ, каждый оценивает себя.
1 вариант: при а=-15;
2 вариант: при b=-16.


V. Итог урока.
Домашнее задание: найти все значения р, при которых уравнение 8sin3x=p+9cos2x не имеет решений.


Карточки для устного счета:

№1. f(x)=2x3-x2+3, x0=2;
№2. f(x)= x2(x2-3), x0=-1;
№3. f(x)=( x3-1)/(x+2), x0=1;
№4, f(x)=2sin3x, x0=13 EMBED Equation.3 1415;
№5, f(x)=3cos2x, x0=13 EMBED Equation.3 1415;
№6, f(x)=3tgx+2, x0=0;
№7, f(x)=2ctg1/2x, x0=13 EMBED Equation.3 1415;
№8, f(x)=3sin4x-9x, x0=13 EMBED Equation.3 1415;
№9, f(x)= (x2-2)12, x0=1;
№10, f(x)=13 EMBED Equation.3 1415, x0=1;
№11, f(x)=13 EMBED Equation.3 1415, x0=2;
№12, f(x)=5x4-3x3+5x, x0=-1;
№13, f(x)=5tg3x-2, x0=13 EMBED Equation.3 1415;
№14. f(x)= (3x2-3)/(x+1)+17x, x0=2;
№15. f(x)= (2x-3)( x2-4), x0=-2;
№16, f(x)=3ctg1/3x, x0=13 EMBED Equation.3 1415;
№17, f(x)=sin3xcosx+cos3xsinx, x0=13 EMBED Equation.3 1415;
№18, f(x)=4tgx+5, x0=0;
№19, f(x)=(3x-5)( x2-2), x0=1;
№20, f(x)=4x3-5x2+6 x0=-2;


Найди ошибку
При каком натуральном значении параметра m функция 13 EMBED Equation.3 1415 убывает на всей числовой прямой.
Решение
13 EMBED Equation.3 1415, по условию задачи 13 EMBED Equation.3 1415, из этого следует 13 EMBED Equation.3 1415, неравенство верно, если D13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Ответ: при натуральном m=2 функция 13 EMBED Equation.3 1415 убывает на всей числовой прямой.

Дополнительное задание.
Найти все значения p, при которых уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет хотя бы один корень.

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, кроме 0.
Задача свелась к нахождению всех значениях p, при которых уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет хотя бы один корень на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, кроме 0.
Построим график функции 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415)

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
y(0)=0, y(1)=-1. y(-1)=-5.




Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415данное уравнение имеет хотя бы один корень.
------

+

+

0

2/3

max

min

х

-

------

+

+

-1

0

max

min

1

max

+

-



+

-5

3

max

min

+

-



+

0

4/3

+

-



+

0

1

max

min

t












Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 2155-5671
    Размер файла: 421 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий