Урок в 11 классе по теме Производные тригонометрических функций


11 класс
Тема урока: «Производные тригонометрических функций»
Учебник « Алгебра и начала анализа 10-11»
под редакцией Ш.А. Алимова, Колягина и других.
Производные тригонометрических функций в математике имеют особую важность, в результате их анализа учащиеся подходят к понятию дифференциального уравнения гармонических колебаний – одного из инструментов описания и исследования процессов действительности.
Цели урока:
Дидактическая: Введение понятий производных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, котангенса) через определение производной, вывод формул этих производных.
Развивающая: Формирование у учащихся умений осуществлять основные мыслительные операции (запоминание формул, сравнение, сопоставление, вывод формул), развитие самостоятельности, критичности мышления, умений использовать полученные формулы при решении задач.
Воспитательная: В ходе решения образовательных задач сформировать умения самостоятельно решать поставленную задачу (волевой компонент), прививать навыки преодоления трудностей, умение выражать свою точку зрения.
План урока
Повторение пройденного материала по теме «Производная».
Цель: закрепить умения и навыки учащихся по теме «Производная» в алгебраическом, физическом, геометрическом смысле.
Форма: индивидуальная работа трех учащихся у доски по карточкам, а в это время фронтальная работа с классом (возможна частичная запись в тетради и на доске).
I карточка: Найти производную функции f(x) = x3 – 2 по определению:
f '(x) = limh→0fx+h- f(x)hf '(x) = limh→0(x+h)3- 2- x3+2h = limh→0x3+3x2h+3xh2+ h3 - x3h = limh→0h(3x2+3xh+h2)h = 3x2 , т.е f '(x) = (x3 – 2)' = 3x2
при h→0 h2→0 3xh→0
II карточка: Составить уравнение касательной к графику функции y =- 1x , если касательная наклонена к оси ОХ под углом 45°.
Геометрический смысл производной: f '(x) = k = tgαy ' = (-x0-1)' = x0-2 = 1x02 ; 1x02 = tg45°; tg45°=11x02 = 1⇒x02 = 1⇒ x0 = ±1
y – y0 = f ' (x0)(x-x0) – уравнение касательной к графику функции
y(x0) =y(1) = -1 y+1 = 1(+1)2 (x-1) y+1 = x-1 y=x – 2
y(x0) = y(-1) = 1 y-1 = 1(-1)2 (x+1) y-1 = x+1 y = x+2
III карточка: Материальная точка массой 4 кг движется прямолинейно по закону S(t) = 4t+t2 - 16 t3 (м). Найти силу, действующую на нее в момент времени t = 2 (c).
S'(t) = Ʋ(t)
Ʋ'(t) = a(t) физический смысл производной
S'(t) = (4t+t2 - 16 t3)' = 4+2t - 12t2 (м/с)
Ʋ'(t) = a(t) = (4+2t - 12t2)' = 2-t (м/с2)
F= ma – II закон Ньютона
а(2) = 0, а значит F = 0.
Фронтальная работа с классом.
Упражнения по нахождению пределов тригонометрических функций.
1)limx→0sinxx = 1 (замечательный предел)
2)Устно: limx→05xx = 5; limx→0x2x = 123) limx→01-cosxx2 = limx→02sin2x2(x2)2·4 = 124) limx→0sin5x-sin3xsinx = limx→02sin5x-3x2·cos5x+3x2sinx = limx→02sinx·cos4xsinx = limx→02cos4x = 2
Изучение нового материала
Цель: умение самостоятельно вывести формулы sin'x, cos'x, tg'x, ctg'x.
Форма: проверка предложенного учащимися решения учителем.
Учащиеся сами выводят производную по определению:
(sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tgx)' = 1cos2x; (ctgx)' = - 1sin2x
f(x) = sinxf '(x) = limh→0f x+h- f(x)h = limh→0sinx+h- sinxh = limh→02sinx+h-x2cos x+h+x2h =
= limh→02sinh2cos(x+h2)h = limh→02sinh2h2 ∙2 ·limh→0cos(x+h2)=cosxЗначит, (sinx)' = cosxf(x) = cos x
f ' (x) = (cosx)' = (sin (π2 - x))' = cos (π2 - x)· (π2 - x)' = - cos (π2 - x) = - sinx(cosx)' = - sinx(ctgx)' = (cosxsinx)' = cos'x·sinx-sin'x·cosxsin2x = - sin2x-cos2xsin2x = - (sin2x+cos2x)sin2x = - 1sin2x(tgx)' = (sin'x·cosx-sinx·cos'xcos2x) = cos2x+sin2xcos2x = 1cos2x(sin(ax+b))' = acos(ax+b)
Закрепление нового материала
Цель: самоконтроль учащихся за полученными знаниями и внешний контроль со стороны учителя.
Форма: домашнее задание и вариативное домашнее задание отдельным учащимся.
Устно:
(sinx +cosx)' = cos x – sinx(4cosx)' = -4sinx
(sin3x)' = 3cos3x
(5cos(-2x))' = -10sin2x
(12tg2x)' = 1cos22x(-ctg(1-2x))' = -2sin2(1-2x)(sin(2x+π))' = (-sin2x)' = -2cos2x
(cos (32x-π2))' = (cos(π2-32x))' = (sin32x)' = 32cos32x(tg(3x-7))' = 3cos2(3x-7)(ctg (12x+π6))' = 1-2sin2(12x+π6)f(x) = sin43x
(sin43x)' = 4sin33x·cos3x·3 = 12sin33x·cos3x = 6sin23x·sin6x
Домашнее задание:
§47 № 847 (3,4)
№848 (2,3)
№849 (1,4)
№851 (1,2)

Приложенные файлы


Добавить комментарий