Система работы над сложными выражениями в курсе математики 2-3 классов (Система Л.В.Занкова)

Система работы над сложными выражениями в курсе математики 2-3 классов (система Л.В.Занкова)

Орешкина Ирина Юрьевна,
учитель начальных классов МОУ «СОШ № 23» г. Саратова.

Обучение математике в развивающей системе Л.В.Занкова ведётся по учебнику авторов: И.И.Аргинской, Е.И.Ивановской, С.Н.Кормишиной.
Среди основополагающих свойств данного учебного пособия надо отметить процессуальность. Процессуальность – это ряд органически вытекающих друг из друга этапов, приводящих к подлинному овладению ЗУН. Высокое качество учения ребёнка достигается только при постоянном углублении ЗУН за счёт установления всё новых и новых связей между изучаемым материалом, изученным ранее и тем, с которым ещё предстоит познакомиться. Рассмотрим, как работает это свойство системы при изучении сложных выражений
. Анализ контрольных работ по математике показывает, что выполнение заданий, где необходимо определить порядок выполнения действий и выполнить вычисления, вызывает затруднения у 23% учащихся, обучающихся по традиционной системе. При этом учащиеся, правильно определившие порядок выполнения действий, допускают ошибки при их выполнении:
2 1 3
Слайд 2. 40 + 24 : 8 + 28
Выполнив первое действие (24 : 8), слабые учащиеся часто выполняют действие (40+24), так как видят рядом эти два числа, объединённые знаком второго действия. Это происходит вследствие недостаточной работы над сложным выражением.
Сравнение результатов контрольных работ по разным УМК показывает, что частотность ошибок подобного вида мала в УМК «Школа 2100» и в системе Л.В.Занкова.
Сложным выражением в системе Занкова называются выражения, для определения значений которых нужно выполнить более одного действия. Я не ставила перед собой цель показать работу учащихся на уроке, ведь все этапы проходят в совместном обсуждении или с целым классом, или в малой группе, или в паре, это очень интересно, но является темой другой статьи. Здесь я хочу показать логику подачи материала в учебнике и постепенное наращивание сложности на основе однажды открытого учащимися алгоритма действий.
Во втором классе учащиеся знакомятся с правилом порядка выполнения действий в таких выражениях. Начинается это изучение во втором полугодии. К этому времени учащиеся хорошо усвоили таблицу сложения, применяют её при нахождении значения суммы и разности, познакомились с действиями умножения и деления. При изучении этих тем вводится понятие обратного действия, в каждом задании после нахождения значения выражения предлагается к каждому равенству записать все возможные равенства с обратным действием. Задачей учителя на этом этапе является подвести к осознанию разницы между понятием сумма, разность, частное, произведение и самим значением этого выражения.
Работе со сложными выражениями в учебнике второго класса посвящены задания: 334, 358, 377, 386, 396, 399, 407, 413, 450. 463. (Математика 2, часть 2). Это составляет около 2 % всех заданий. Задания 358, 377, 386 знакомят детей с порядком выполнения действий в выражениях, включающих действия разных ступеней. До задания 334 значения выражений вида (58 + 37) - 28 , (48 +13) + 27 ( слайд 3) предлагается выполнять удобным способом, используя способы сложения числа с суммой и вычитания числа из суммы. Особенностью всех заданий в учебнике является то, что после репродуктивного задания на нахождения значения выражения обязательно предлагается составить свои выражения подобно решаемым:
Слайд 4.
№ 334. 1) Не выполняя действий, определи количество способов, которыми можно найти значение данных выражений.
(49 + 44) – 39 (39 + 45) -67 (58 + 23) – 38
Объясни свой ответ.
2) Найди значения выражений всеми возможными способами. Подчеркни самый удобный.
3) Найди значения выражений удобным для тебя способом.
(45 +47) – 45 (69 +12) -57 (36 +38) -27
4) Составь три выражения на вычитание числа из суммы, значения которых можно найти только одним способом. Выполни вычисления.
При знакомстве с правилом о порядке выполнения действий в сложном выражении (№ 386) последним пунктом задания предлагается определить правильность указанного порядка действий и исправить ошибки, причём эти ошибки содержатся не во всех выражениях.
Слайд 5
4) Верно ли указан порядок выполнения действий в этих выражениях? Исправь ошибки.
3 2 1 1 2 1 2 3
28 : (7 – 1 х 3) 83 – (27 + 18) (72 – 54) : 9 х 3
Дети начинают искать ошибки в порядке действий, сверяясь с правилом, не находят их в первом и третьем выражении, снова обращаются к тексту правила на этой же странице, удивляются. Многократное обращение к правилу способствует его непроизвольному запоминанию.
Следующим этапом работы над сложным выражением является его преобразование. Учащимся предлагается задание № 407
Слайд 6.
№ 407.
1)Рассмотри запись. Как её получили?
98 - 59 + 6 х 3 = 98 – 59 + 18 = 39 + 18
2) Верно ли, что в этой записи действия постепенно заменяли их значениями? Перепиши запись и закончи её.
3) Найди так же значения выражений.
98 – (59 + 6 х 3) 9 х 9 – 9 : 3
9 х ( 9 – 9 : 3) 9 х ( 9 -9) : 3
Обращаю ваше внимание на третий пункт задания, в котором одинаковые числа находятся в разных отношениях из-за наличия скобок. Учителю необходимо подвести учащихся к осознанию этих отношений.
В № 413 происходит продолжение работы над выражением. Предлагается задание выбрать удобный способ нахождения значения выражения.
Слайд 7
1) Сравни выражения.
78 – 36 : 6 + 3 х 8 78 – 36 : ( 6 + 3) х 8
(78 – 36) : 6 + 3 х 8 78 + 3 х 8 – 36 : 6
Чем они похожи? Чем различаются?
2) Укажи порядок действий в каждом выражении и найди их значение.
Сравни своё решение первого выражения с такими:
3 1 4 2
а) 78 – 36 : 6 + 3 х 8 = 78 – 6 + 3 х 8= 78 – 6 + 24 = 72 + 24 =96
3 1 4 2
б) 78 – 36 : 6 + 3 х 8 = 96
1) 36 : 6 =6 2) 3 х 8 = 24
3) 78 – 6 = 72 4) 72 + 24 = 96


Какой способ в данном случае более удобный?
3) Если ты все выражения решал одним способом, выбери любое из данных выражений и реши его другим способом.
Дети выделяют схожесть чисел в данных выражениях, отмечают различие не только в наличии скобок, по-разному объединяющих эти числа, но и перестановку выражений произведения и частного в четвёртом выражении. После нахождения значений выражений они убеждаются в том, значения первого и четвёртого выражений одинаковы. В сильном классе возможно сформулировать правило. Надо отметить, что на данных заданиях постоянно отрабатываются вычислительные навыки учащихся.
При обучении в третьем классе дети продолжают совершенствовать умения верно находить значения сложных выражений как на базе репродуктивной деятельности, которой ученики занимаются, находя значения данных в задании или составленных ими выражений (см. задания 3 п.3; 16 п.1; 26 п.2; 83 п.4 и т.д.), так и включаясь в разнообразную продуктивную деятельность: преобразование выражений в соответствии с условием задания.
Пункты, побуждающие включиться в продуктивную деятельность, есть в каждом задании, относящемся к теме, разница в том, что в некоторых заданиях они отступают на задний план ( см. задание 3 п.4 и др.), в других же составляют основное содержание задания ( задания 49. 61, 86, 167 и т.д.)
Особо важными являются задания, в которых:
-восстанавливаются сложные выражения (задания 49. 61, 86, 167, 178, 281, 292. 305, 315, 356, а также 28 и 124);
-восстанавливаются знаки действий и скобки для получения верных равенств ( задания 24, 54, 92. 123, 151., 197, 210, 244, 274, 348, )
В своей статье я остановлюсь подробно на построении системы работы над восстановлением сложного выражения, предложенного авторами учебника. Восстановление сложных выражений по сути является обратным процессом по отношению к определению порядка действий в выражении. Путём анализа полученных значений дети находят их взаимосвязь и получают сложное выражение. Работа, проводимая во втором классе над выражениями, является фундаментом для успешной работы в дальнейшем. Первая встреча с заданиями на восстановление выражения происходит в № 49
Слайд 8.
№ 49. 1) При решении сложного выражения ученик выполнил действия в таком порядке:
36 - 27, 9 х 8, 72 – 16.
Какое это было выражение? Запиши выражение и найди его значение.
2) Найди значение выражений.
62 + 54 9 х 6 70 – 8 64 : 8
Восстанови сложное выражение, для решения которого нужно было выполнить эти вычисления.
3) Попробуй составить подобное задание и предложи его одноклассникам.
При выполнении п.1 происходит повторение порядка выполнения действий в выражении. Дети предлагают версию, что если действие 36 – 27 выполняется первым, при наличии действий второй ступени, оно должно находиться в скобках. Найдя значение разности, учащееся замечают, что оно совпадает с первым числом произведения 9 х 8. В свою очередь значение этого произведения является уменьшаемым в разности 72 -16. При необходимости учитель помогает наводящими вопросами обратить внимание учащихся на эти особенности. Действуя таким образом, получаем восстановленное выражение
(36 – 27) х 8 – 16
Проверяем правильность своих рассуждений, указав порядок выполнения действий в нём

1 2 3

· 27) х 8 – 16
Во втором пункте этого задания сначала находятся значения выражений:
62 +54 = 116 9 х 6 = 54 70 – 8 = 62 64 : 8 = 8
Так как в пункте 2 не указано, что действия выполнялись в порядке записи выражений, учащимся при восстановлении необходимо этот порядок определить. Этому служит наблюдение над значениями выражений и определении одинаковых чисел в простых выражениях. Необходимо подвести учащихся к мысли о возможности замены числа простым выражением. Дети видят, что в первом выражении возможно заменить число 62 разностью 70 – 8, в то же время число 8 этой разности получено в результате решения выражения 64 : 8. Рассуждая так же, приходим к выводу, что число 54 это значение простого выражения 9 х 6. Таким образом, восстановленное сложное выражение имеет вид:
2 1 4 3
( 70 – 64 : 8) + 9 х 6
Отработка алгоритма продолжается в задании, в котором последний пункт предполагает уже самостоятельную творческую работу учащихся: придумать своё похожее задание. На этом этапе работы даже сильные ученики стараются оперировать действиями с однозначными числами, как более знакомыми, уделяя большее внимание соблюдению требований к новому заданию, а именно, что задуманное выражение должно включать скобки.

Слайд 9. Задание № 61 .
При определении значений выражения Даша выполнила такие действия:
40 – 16, 56 : 7, 24 : 6, 8 х 5.
Найди значения каждого из них.
Определи, в каком порядке их выполняла девочка.
Запиши сложное выражение, значение которого нашла Даша.
Значение какого выражения находил Коля, если ему пришлось выполнить такие действия:
48 : 6, 72 – 37, 8 + 35, 9 х 8, 13 + 35 ?
4) Придумай своё похожее «загадочное» задание.
Здесь действия учащихся усложняются
В первом пункте сначала выполняется второе действие, вторым – последнее, третьим – первое, четвёртым – предпоследнее. Порядок определяется по значениям данных выражений, как и в рассмотренном выше сложном выражении. Новым в пункте 2 является то, что количество действий в скобках возрастает, выражение усложняется.
( 56 : 7 х 5 – 16) : 6
В третьем пункте первым выполняется последнее действие, вторым – первое, третьим – четвёртое, четвёртым – второе, пятым – третье.
( 13 + 35) : 6 + ( 9 х 8 – 37)
Учитель при выполнении детьми третьего пункта должен обратить внимание на возможность нескольких скобок в сложном выражении.
Своё развитие тема восстановления сложных выражений получает развитие в № 167.
Слайд 10

№ 167 1) Запиши выражения в строку и найди их значения.
7 х 7 490 - 445 48 + 33 56 : 7 312 – 231
+ 46 : 5 : 9 х 8 : 9
: 9 х 7 + 45 - 36 +40
+249 - 27 : 4 : 7

2) Найди выражения, одно из которых может продолжать другое, и составь из них новые выражения.
3) Найди значения новых выражений. Нужно ли выполнять все действия?
Как видно из записи, изменился вид подачи задания, что вызывает всплеск интереса к нему у детей. Здесь надо восстановить не одно, а несколько выражений. Анализ первой записи показывает учащимся невозможность деления 46 на 9, поэтому они приходят к выводу о необходимости постановки скобок. Вторая заставляет задуматься, ведь деление трёхзначных чисел ещё не изучено. Правильно найденный способ для записи второго выражения позволяет легко найти решение для третьего. Коллизия мнений при поиске четвёртого выражения приводит к возникновению равноценных двух вариантов. А пятая запись опять заставляет задуматься и прийти к выводу, что в выражении могут быть двойные скобки, так как невозможно без них выполнить деление 40 на 7..
Вот что получилось у детей:
(7 х 7 + 46) : 9 = 9 (490 – 445) : 5 х 7 +249 =312
( 48 + 33) : 9 + 45 - 27 = 27 56 : 7 х 8 – 36 : 4 = 47
(56 : 7 х 8 – 36) : 4 = 5 ( ( 312 – 231) : 9 + 40) : 7 = 7

При выполнении только первого пункта произошла большая мыслительная работа учащихся, причём все вычисления выполнятся « в уме».
Второй пункт выполняется довольно быстро, ведь значения выражений найдены, и необходимо только сравнить значения выражений. Это вторая и последняя запись. А третий пункт позволяет сделать вывод о возможности сокращения вычислений, используя ранее выполненные.
Второе полугодие третьего класса начинается с изучения внетабличного умножения, снова происходит обращение к восстановлению выражений на новом уровне сложности.
Слайд 11.
№ 315
При определении значений двух сложных выражений ученики должны были выполнить следующие действия.
229 – 152 186 + 196 124 х 6 687 : 3 744 : 4 879 - 192

Какие из них относятся к разным выражениям?
В каком порядке их выполняли?
2) Восстанови выражения, значения которых находили ученики, и найди их значения.
3) Попытайся составить такое «загадочное» задание с другими выражениями.
Алгоритм работы над восстановлением выражения уже усвоен учащимися. Изменился числовой материал, здесь необходимо применить умения умножать и делить трёхзначные числа. Вычислив значения каждого простого выражения, учащиеся находят те, которые образуют новые сложные выражения.
( 879 – 192) : 3 – 152 124 х 6 : 4 + 196
В данном случае вычисление выполняются письменно. Знание алгоритма позволяет самостоятельно составлять «загадочные» задания из пункта 3
Последнее задание на восстановление сложного выражения содержится в № 356
( учебник Математика 3 класс, ч. 2)
Слайд 12
№ 356 1) Для определения значений трёх сложных выражений ученики выполнили следующие действия.
320 х 3 318 + 507 169 х 3 248 : 4
256 + 248 231 х 3 62 + 169 504 : 4 256 + 62
126 + 169 256 + 693 960 - 295
Выполни все указанные действия.

2)Восстанови сложные выражения, если одно из действий встречается в двух из них.
3) Предложи одноклассникам своё продолжение задания.
Как видно из задания, первый пункт носит репродуктивный характер, учащиеся находят значения выражений на основе имеющихся знаний. Усложнение происходит за счёт увеличения количества подлежащих восстановлению выражений и дополнительного условия о принадлежности одного из действий сразу двум выражениям, в пунктах 2, 3 продуктивного характера. Путём анализа полученных значений выражений учащиеся определяют три конечных выражения, так как их значения не встречаются в остальных выражениях:
318 + 507 = 825 256 + 693 = 949 960 – 295 = 665
Наблюдения также позволяют определить действие, встречающееся сразу в двух выражениях. Это 248 : 4, так как его значение 62 встречается в выражениях 62 + 169 и 256 + 62.
Таким образом, восстановленные выражения имеют вид:
( 248 : 4 + 169) х 3 + 256 = 949
320 х 3 – ( ( 256 + 248) : 4 + 169) = 665
256 + 248 : 4 +169 х 3 = 825
Как, на каком этапе урока работать над восстановлением сложных выражений, решает учитель. По своему опыту я убедилась, что данное упражнение органично включается на этапе устного счёта. Для оптимального использования времени урока каждый ученик выбирает, какое из простых выражений пункта №1 он будет решать, предлагает его решение, участвует в проверке правильности нахождения значений остальных выражений. Учитель должен отслеживать, чтобы учащиеся практиковались в выполнении разных действий. Значения выражений фиксируются на доске. Далее начинается коллективная работа по восстановлению сложного выражения в малых группах или парах в зависимости от сложности и объёма задания.
В заключении хочу отметить, что подобное построение работы над сложными выражениями позволяет учащимся хорошо отработать вычислительные навыки, осознать красоту и логику математических выражений. Каждое упражнение предполагает решение задания на развитие логического мышления, абстрагирование, даёт простор для максимального раскрытия возможностей ребёнка. При выполнении заданий учащиеся делают выводы, осознанно рассуждают о взаимосвязи законов, явлений и процессов математики и окружающего мира. Изучение темы идёт со всех сторон, и каждое новое задание дополняет и обогащает изученный ранее материал. При подаче материала соблюдается требование процессуальности, при котором истинное познание возникает только при постоянном поступательном движении каждого элемента до овладения содержанием соответствующего целого. От задания к заданию я имела возможность наблюдать, как повышается степень сформированности учебной деятельности, степень развития основных качеств умственной деятельности (умение наблюдать, сравнивать, анализировать, обобщать, связно излагать свои мысли, творчески решать учебные задачи). Если в начале работы над сложными выражениями слабые учащееся несколько отстранялись от выполнения пунктов 3, 4, в которых предлагалось придумать свои выражения, задания, то к концу обучения в третьем классе активность их повысилась. Предложенные ими собственные задания пусть и не отличались особой сложностью, но показывали, что ими понята логика их выполнения.
Надеюсь, что моя работа будет полезна для учителей, впервые начинающих работать по системе общего развития Л.В.Занкова.












13PAGE 15


13PAGE 14615






Добавить комментарий