«Урок-лекция по теме»Арифметическая прогрессия» 9 класс по учебнику Мордковича А.Г.»


Урок-лекция по теме: «Арифметическая прогрессия»Цель: ввести понятие об арифметической прогрессии как числовой последовательности особого вида, вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии; познакомить с формулой суммы членов конечной арифметической прогрессии, её выводом, доказать характеристическое свойство арифметической прогрессии.
План лекции:
Вводное повторение.
Изучение нового материала:
1) Определение арифметической прогрессии.
2) Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии
и формулы: y = dx + m, где x є N.
3) Вывод формулы суммы членов конечной арифметической прогрессии.
4) Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Актуализация знаний:
- Что называется числовой последовательностью?
- Какие способы задания числовых последовательностей вы знаете?
- Объясните, что значит аналитический, рекуррентный и сложные способы задания числовых последовательностей?
- Чем отличаются рекуррентный и аналитический способы задания? Приведите примеры.
- Какая последовательность называется возрастающей, убывающей?
Изучение нового материала:
Работаем с № 400 (a, b)
Последовательность задана рекуррентным способом. Перейдите к аналитическому заданию, т. е. найдите формулу n-го члена.
a) (n = 2; 3; 4; …);
b) (n = 2; 3; 4; …);
- Что можно, сказать о членах последовательности?
Ответ: - 1) - а) – возрастающая; б) – убывающая.
- 2) члены последовательности а) отличаются на 5, а в) на – 4.
Определение: Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией.
Таким образом, арифметическая прогрессия является возрастающей, если d > 0 (№ 400 (а)) и убывающей, если d < 0 (№ 400 (в)).
- Пример 1, 2, 3 (стр. 135)
- Можно ли глядя на числовую последовательность определить, является ли она арифметической прогрессией? (Да. При этом надо знать, что разность между любым и предшествующему ему членов постоянна, и что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и всей последовательности в целом).- Обозначения арифметической прогрессии

- конечная арифметическая прогрессия.
- Возвращаясь к № 400 (а, в), задаются вопросы:
Каким способом была задана последовательность? (рекуррентным)
Каким способом вы задали арифметическую прогрессию? (аналитическим)
Какой способ «лучше»? (зависит от поставленной задачи).
Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии:

= + d
= + d = (+ d ) + d = + 2d,
= + d = (+ 2d ) + d = + 3d,
= + d = (+ 3d ) + d = + 4d,
нетрудно догадаться, что = + (n – 1)d.
Перепишем формулу в виде = d · n + (- d ).
Введём обозначения = y, - d = m.
Имеем y = dn + m или y = dx + m, где x є N.
Вывод: Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию, заданную на множестве натуральных чисел N.
Угловой коэффициент этой линейной функции равен d - разности арифметической прогрессии.
- Пример 4 (стр. 138).
Формула суммы конечной арифметической прогрессии:
Задача: Найти сумму чисел циферблата часов.
- А как проще? (1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 7 + 6)
всего 12 : 2 = 6 пар 13 · 6 = 78.
- Является ли последовательность арифметической прогрессией? (Да).
- Какая это последовательность? (конечная).
- Какое свойство членов вы заметили?(+ = + = + = + = + = + ).
Каждая сумма равна + (можно предложить доказать обучающимся).
Вывод: сумма члена, находящегося на каком-то месте от начала конечной арифметической прогрессии и члена находящегося от её конца равна сумме первого и последнего членов прогрессии.
- Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно. Говорят, что немецкий математик XIX века Карл Фридрих Гаусс решил этот пример в возрасте 5 лет.
S= (1+100) + (2+99) +…+ (50+51) = 5050.
Применим эту идею для произвольной арифметической прогрессии
= + + +…+ + + ;
= + + +…+ + + ;
= (+ ) + ( + ) + (+ ) +…+ ( + ) +
+ (+) + (+) ;
= n(+ );
= .
Зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу:
= =
- Рассмотреть задачи 6, 7 стр.128.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии:
Пусть дана арифметическая прогрессия . Рассмотрим три её члена следующие друг за другом , ,
- d =
+ d = . Сложим эти равенства:
=
Вывод: каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Обратно: если последовательность () такова, что для любого n >1 выполняется равенство = , то () - арифметическая прогрессия.
Последнее равенство перепишем в виде - = - ,в частности, - = - , - = - и т.д.
Т.е. разность между любым членом последовательности и предшествующим всегда одна и та же, т.е. задана арифметическая прогрессия.
Доказали следующую теорему:
Теорема: Числовая последовательность является арифметической прогрессией, тогда и только тогда, когда каждый её член, кроме первого
(и последнего, в случае конечной последовательности) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).
- Рассмотреть пример 9, стр.130.
- Подведение итогов.
-Домашнее задание: п. 15, выучить определения и вывод формул.
_______________________________________________________________
Сообщается список задач по теме, которые обучающиеся должны сдать к уроку обобщающего повторения: № 407 (в, г); № 408 (в, г); № 409 (б, в);№ 411 (а); № 420 (в, г); № 414; № 422; № 430 (а, б); № 429 (а, б);
№ 458 (б, в); № 459 (а, б); № 439 (в, г); № 441 (в, г); № 437; № 442 (в, г);
№ 451; № 447 (а, б); № 475; № 426; № 436; № 453; № 454 (а, б); № 472.

Приложенные файлы


Добавить комментарий