«Урок 8. Золотой прямоугольник. Золотой треугольник. Спецкурс «Математика Золотого Сечения»


8. Золотой прямоугольник.
Золотой треугольник
Определение 5. Прямоугольник, у которого отношение смежных сторон равно φ, называется золотым.
С
Рисунок 23
В
D
А
С
Рисунок 23
В
D
А

В прямоугольнике АВСD на рисунке 23 .
№ 13. Построить золотой прямоугольник.
Решение.
Начертим квадрат и разделим его на два равных прямоугольника.
В одном из прямоугольников проведем диагональ АВ (рис. 24, а и б).
Циркулем проведем окружность радиуса АВ с центром в точке А (рис. 24, в).
Продолжим основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведем под прямым углом вторую сторону прямоугольника MNKP.
Рисунок 24
Рисунок 24

Прямоугольник MNKP – искомый. Докажите самостоятельно.
В золотом прямоугольнике есть особенность. Если отсечь от него квадрат, построенный на меньшей стороне (квадрат MDCN), то оставшийся прямоугольник AMNB также является золотым (рис.25).
Рисунок 25
Рисунок 25

Если и от получившегося золотого прямоугольника АМNB отсечь квадрат, построенный уже на его меньшей стороне ВN, то снова останется золотой прямоугольник (рис.26).
Рисунок 26
Рисунок 26

Заметим, что последовательность таких сечений бесконечна. Если большую сторону данного прямоугольника обозначить а, то площади золотых прямоугольников составляют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию: аφ; аφ3; аφ5; …
Определение 6. Равнобедренный треугольник, в котором основание и боковая сторона находятся в золотом отношении, называется золотым.
А
В
С
Рисунок 27
А
В
С
Рисунок 27

На рисунке 27 изображен золотой равнобедренный треугольник АВС, в нем .
№ 14. Найти углы золотого равнобедренного треугольника.
Решение. Проведем высоту ВМ к основанию АС (рис.28).
А
С
М
В
72°
Рисунок 28
А
С
М
В
72°
Рисунок 28
Рисунок 29
Рисунок 29

Так как по условию , а также , то . Известно, что , поэтому в данном золотом треугольнике ∠ А =∠ С = 72°, а ∠ В = 36°.
Ответ: 72°, 72°, 36°.
Основная особенность золотого треугольника состоит в том, что биссектриса АН угла А (рис. 29) при основании делит противолежащую боковую сторону ВС треугольника в золотом отношении: При этом появляется новый золотой треугольник АСН и его биссектриса НК делит в золотом отношении сторону АС. Если продолжить этот процесс до бесконечности, мы получим бесконечную последовательность золотых треугольников.
№ 15. Что можно сказать о площадях золотых треугольников в представленной выше бесконечной последовательности (рис.29)?
Решение. Выразим площадь данного золотого треугольника через φ. Пусть АВ = а, тогда АС = аφ, sin 72° = . Тогда SАВС = .
Все эти треугольники подобны, коэффициент подобия k в каждой паре соседних треугольников равен φ, так как поэтому .
Площади золотых треугольников составляют убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен φ2: ; ; ; … Отношения площадей каждого из треугольников к площади данного также составляют убывающую геометрическую прогрессию: φ2; φ4; φ6… Ее знаменатель также равен φ2.

Приложенные файлы


Добавить комментарий