«Урок: Застосування похідної в різних сферах діяльності людини. Узагальнення теми «Похідна та її застосування»


Методична розробка уроку на тему:
Застосування похідної в різних сферах діяльності людини. Узагальнення теми «Похідна та її застосування».


м. Слов`янськ – 2017
Тема програми: Похідна та її застосування.
Тема: Застосування похідної в різних сферах діяльності людини. Узагальнення теми «Похідна та її застосування».
Тип уроку: урок узагальнення знань, умінь та навичок.
Мета уроку:
узагальнити знання учнів з теми «Похідна та її застосування», встановити міжпредметні зв`язки між математикою, фізикою та економікою, що підвищить ефективність політехнічної та практичної направленості навчання, розширити уявлення учнів про похідну функції, сформувати у них чітке уявлення про застосування похідної при розв`язуванні прикладних задач;
розвивати в учнів вміння узагальнювати цілісну систему знань, вміння реалізовувати практичні зв`язки курсу математики, фізики, економіки з майбутньою професією; розвивати увагу, розумову діяльність, уміння учнів робити порівняльний аналіз, спонукати до пізнавальної діяльності;
виховувати культуру мови, вміння працювати в групі, активність, інтерес до математики, створювати сприятливі умови для формування загально навчальних вмінь та навичок учнів.
Форма проведення: бінарний урок-конференція з математики та фізики.
Обладнання та наочність: презентації учнів у Power Point, екран, мультімедійний проектор, роздавальний матеріал, ескспозиція книжок з фізики та математики, рамка для картини, натюрморт (імпровізоване складання натюрморту з основних понять уроку)
Міжпредметні зв`язки: фізика, хімія, економіка.
План уроку.
І. Організаційний етап (3 хв.):
- підготовка учнів до уроку;
- відомості про відсутніх учнів
- повідомлення теми та мети заняття;
- представлення присутніх наукових експертів.
ІІ. Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних знань (10 хв.).
ІІІ. Мотивація учбової діяльності учнів. Презентація роботи творчих груп (25хв.).
ІV.Підведення підсумків уроку (5 хв.):
оцінка учбової діяльності учнів на уроці;
підведення підсумків конференції.
V. Домашнє завдання (2 хв.).
За тиждень до проведення інтегрованого уроку-конференції учні поділяються на творчі групи та отримують завдання для роботи, які будуть презентувати на уроці.
Хід уроку:
І. Організаційний етап:
- підготовка учнів до уроку;
- відомості про відсутніх учнів;
- повідомлення теми та мети заняття;
- представлення присутніх наукових експертів.
ІІ. Перевірка домашнього завдання (три учня на дошці записують рішення домашнього завдання).
Актуалізація опорних знань.
Робота частини учнів з індивідуальними завданнями. (Додаток А)
Повторення теоретичних питань у вигляді фронтального опитування:
Сформулюйте означення похідної функції в даній точці.
Розкрийте геометричний зміст похідної.
Розкрийте фізичний зміст похідної.
Чим є похідна функції в точці?
Чим є похідна функції на проміжку?
Що розуміють, кажучи «похідна – це коефіцієнт дотичної»?
Що таке диференціювання функції?
Сформулюйте теорему про похідну суми двох функцій.
Записати на дошці правило знаходження похідної добутку двох функцій.
Записати на дошці правило знаходження похідної частки двох функцій.
Які точки функції називають критичними?
Які задачі можна розв`язувати за допомогою похідних?
Повторення похідних елементарних функцій. Робота з сигнальними картками. (Додаток Б)
Усний рахунок.
1)Робота в групах. Кожній групі видається таблиця. Треба знайти відповідність між функцією та її похідною.
І група
Відповіді

ІІ група
Відповіді

ІІІ група
Відповіді

2) Знайти похідну функцій.

3) Знайти такі значення m,n і p, щоб виконувалась рівність:

Здійснюється перевірка роботи учнів, яка виконувалась на дошці та індивідуальні завдання.

ІІІ. Мотивація учбової діяльності учнів. Презентація роботи творчих груп.
Викладач математики: Основна мета нашого уроку – використання теоретичних знань при розв’язанні нестандартних практичних задач. Ключова ціль –впевнено себе почувати під час ЗНО де досить прості в розв’язанні задачі мають достатньо нестандартний зміст.
Хочу навести вам слова Л. М. Толстого, які стали епіграфом нашого уроку:
«Розум людський тільки тоді розуміє узагальнення, коли він сам його зробив або перевірив».
(Обговорення епіграфу. Учні висловлюють свої думки.)
Викладач фізики: Сьогодні на уроці ми покажемо практичне значення похідної та інших елементів математики в різних галузях народного господарства України, так як за словами видатного вченого А. М. Колмогорова «Тільки диференціальне числення дає природознавству можливість зображати математично не тільки стани, але й процеси».
Викладач математики: Блез Паскаль сказав, що "Математика досить суха і серйозна наука, і не можна упускати можливості зробити її привабливою". Ось ми і спробуємо це зробити - наш урок ми проведемо у формі конференції на якій свою роботу презентують чотири творчі групи:
І група «Політехнічна», керівник групи _______________________________
ІІ група «Радіотехнічна», керівник групи ______________________________
ІІІ група «Виробнича», керівник групи ______________________________
ІV група «Економічна», керівник групи ________________________________
І зараз слово надаємо І групі:
історична довідка про похідну (довідка супроводжується презентацією):
Розділ математики, в якому вивчають похідні та їх застосування називається диференціальним численням. Слово диференціал походить від латинського differentia, що означає різницю. Звідси й пішла назва «диференціальне числення». Ще Архімед розв`язував задачі про дотичні до спіралей і про визначення найбільших значень виразів, які тепер розв`язують за допомогою похідної. Диференціальне числення створено Ньютоном та Г. Лейбницем в кінці 17 століття. В подальшому ідеї диференціального числення розвили Лопіталь, Я. Бернуллі, Й. Бернуллі, Ж. Лагранж, К. Гаус, П. Ферма. Поява нового потужного методу, дозволило розв`язувати широке коло задач та сприяло бурхливому розвитку математичного аналізу в 18 столітті. Розвиток ідей диференціального числення 19 століття пов`язано з іменем французького математика О. Коші і чеського математика Б. Больцано. Та все ж повне і строге обгрунтування диференціального числення і всього математичного аналізу зроблено О. Коші та К. Вейєрштрассом.
Характерні два висловлювання, які відносяться до 18 століття. Відомий математик М. Ролль писав, що нове числення є колекція геніальних помилок. А великий французький мислитель Вольтер зауважив, що це числення представляє собою мистецтво обчислювати і точно вимірювати речи, існування яких не може бути доведено. Таким чином, у XVII столітті відбулися великі революційні зміни в математиці. За довгий час своєї копіткої роботи ряд вчених з різних країн світу внесли свій внесок у створення нового потужного апарату досліджень — та диференціального та інтегрального числення.
Розв`язування задач за допомогою похідної.(Учні розв`язують задачі з поясненням).
Керівник І групи: За допомогою похідної розв`язують багато задач із різних галузей науки і практики. Наведемо приклади таких задач над якими працювала наша група.
Виступ учнів, які входять до складу політехнічної групи. Учні розв`язують задачі з поясненням.
Маховик, затримуваний гальмом, обертається за законом φ(t) = 4t – 0,3t2 ( час t – у секундах, кут φ(t) – у радіанах). У який момент він зупиниться?
Через поперечний переріз провідника в кожний момент часу t проходить заряд q(t) = ln (t + 1) (q вимірюється в кулонах, а t – у секундах). У який момент часу сила струму в провіднику дорівнюватиме 0,1 А ?
Маса кристалів у розчині змінюється за законом m = √t2 + 5t, де m – маса кристалів у грамах, t – час у годинах. Знайдіть швидкість зростання маси кристалів через 4 години після початку кристалізації.
Тіло, підкинуте вертикально вгору зі швидкістю v0 = 40 м/с, рухається за законом h (t) = v0t – gt2/2, h – шлях у метрах, t – час у секундах, g = 10 м/с2 – прискорення вільного падіння. Знайдіть:
швидкість тіла через 2 с після початку руху;
час, коли швидкість тіла дорівнюється нулю;
найбільшу висоту, якої досягне тіло.

Сценка про похідну.
Біля дошки Остап Бендер та Зося Синицька.
Остап Бендер: «…Ви знаєте, Зося, - переконував Остап Бендер Зосю Синицьку, - на кожну людину, навіть партійну, тисне атмосферний стовп вагою 214 кіло».
Зося: Остап з його незнанням точних наук сильно занизив цифру. Названа ним величина справедлива для дуже великої висоти над рівнем моря. Ми знаємо, що атмосферний тиск спадає при підйомі вверх, при спадаючий швидкості.
Остап Бендер: Я зрозумів, що до диференціювання вдаються кожен раз, коли стає питання о швидкості зміни будь – якої функції по мірі зміни аргументу. Тому і в цьому випадку до наших послуг операція диференціювання.
Викладач фізики: презентацію своєї творчої роботи закінчила І група. Слово надається ІІ групі, яка розглядала питання застосування похідної в радіотехніці.
Керівник ІІ групи: наша група працювала над питанням, пов`язаним з властивістю параболи, яке має застосування в оптиці та техніці. Працювали ми під девізом «Математику не можна вивчати, спостерігаючи, як це робить сусід».
Виступ учня ІІ групи: Поверхня, що виходить при обертанні параболи
у = ах2 навколо осі Оу називається параболоїдом обертання.

Якщо внутрішня поверхня параболоїда дзеркальна і таке параболічне дзеркало висвітлюється пучком промінів світла паралельного осі Оу. Ми довели, що всі такі промені після відображення перетинаються в одній точці осі Оу. При доведенні ми використали закон оптики про те, що падаючий промінь та відображений знаходяться в одній площині; склали рівняння дотичної. Доведено, що всі промені, паралельні осі параболічного дзеркала після відображення сходяться в одній точці, яку називають фокусом параболічного дзеркала.
Виступ учнів ІІ групи: Цей принцип лежить в основі створення параболічних дзеркал, з яких створюють батареї геліоустановок.
Параболічні дзеркала:

Вид геліоустановки являє собою батарею параболічних тарілкових дзеркал і є видом сонячних електростанцій

(Повідомлення про альтернативні джерела енергії)
Якщо ж у фокусі параболічного дзеркала розмістити джерело світла, то після відображення від поверхні дзеркала промені, які йдуть від цього джерела не будуть розсіюватися, а зберуться в вузький пучок, паралельний осі дзеркала. Цей факт знаходить застосування при виготовленні прожекторів, ліхтарів та різних проекторів дзеркала яких виготовляють в формі параболоїдів.

Параболічні телескопи:


На доведеній властивості заснований устрій параболічних телескопів. Промені від далеких зірок приходять до нас у вигляді паралельного пучка. Якщо в фокус параболічного телескопу розмістити фотопластинку, то ми отримаємо можливість підсилити світловий сигнал, який йде від зірки.
Параболічні антени та антени для інтернета та інтернет мостів:

Такій саме принцип лежить в основі роботи параболічних антен, які дозволяють підсилити радіосигнали.
Виступ учня ІІ групи: повідомлення про радіолокацію.
Викладач математики: Матеріал, над яким працювала ІІІ група працювала над задачами, пов`язаними з виробництвом. І на виробництві дуже важливе питання економії матеріалу чи палива при отриманні максимально можливого результату. Слово надаємо учням ІІІ групи.
Керівник ІІІ групи: Наша група «Виробнича» і ми працювали над такими задачами, які отримали на виробництві:

Є прямокутний лист жерсті розміром 80х50 см. Треба виготовити з нього відкриту зверху коробку найбільшої місткості, вирізавши по кутах квадрати й загнувши краї. Якщо повинна бути довжина сторони такого квадрата? Розв'язання:

Позначимо через x довжину сторони квадрата, що вирізаються. Очевидно, що 0 ≤ x ≤ 25. Об’єм коробки (прямокутного паралелепіпеда) дорівнює добутку площі основи на висоту. За вказаного способу виготовлення коробки її основа – прямокутник зі сторонами 80-2x (см) і 50-2х (см), а висота коробки – х (см). Відповідно об’єм коробки дорівнює:

Задачу зведено до знаходження найбільшого значення функції на проміжку [0;25]. Знайдемо критичні точки функції :

Інших критичних точок функція не має, оскільки похідна існує для всіх х. Проміжку [0;25] належить лише одна точка х=10. Обчислимо значення функції V(x) у цій точці й на кінцях проміжку:

Отже, найбільшого значення функція V(x) набуває на проміжку [0;25] в точці 10. Це означає, що коробку найбільшого об’єму можна виготовити, вирізавши по кутах заданого листа жерсті квадрати зі стороною 10 см.
Викладач фізики: Слово надаємо ІV групі «Економічна».

Керівник творчої групи:Нашій групі було доручено з’ясувати як поняття «похідної» застосовується в економіці.
Працюючи над завданням, ми зрозуміли що, слова Є. С. Полата «Разом навчатися не тільки легше й цікавіше, але й значно ефективніше» цілком правдиві.
Виступ учня ІV групи. Працюючи над питаннями застосування похідної до розв`язування задач економічного змісту, ми зупинились на таких питаннях:
граничний дохід, граничний прибуток і граничні витрати;
максимальний дохід і максимальний прибуток;
мінімізація витрат.
Наведемо приклади таких задач над якими працювала наша група.
Виступ учнів, які входять до складу політехнічної групи. Учні розв`язують задачі з поясненням.
ТС(Q) = 2Q2 + 3Q + 4. Визначити граничні витрати, якщо обсяг виробництва становитиме 50 од.; 100 од.; 150 од.
Ціна продукції підприємства дорівнює 60 у. о. за одиницю товару. Витрати підприємства описується рівнянням TC = 50 + 10 Q2, де Q
(Q > 0) – обсяг випуску продукції (од.). Визначити:
1) при якому обсязі випуску продукції підприємство нестиме збитки;
2) рівноважний обсяг випуску продукції;
3) максимальний прибуток.
Випуск продукції (у тис. од. на місяць) задано рівнянням Q = √LK, де
L - кількість робітників; K – кількість станків. На виробництві працює 15 робітників, причому один робітник обслуговує 4 станки. У якому випадку збільшення кількості станків на 1 од. приведе до збільшення продукції менш ніж на 1 тис. од. на місяць? Знайти приріст випускупродукції після прийому на роботу ще одного робітника.
Об’єм продукції u, яку виробляє бригада робітників, описується рівнянням
(од.), 1, де t – робочий час в годинах. Обчислити продуктивність праці, швидкість і темп її зміни через час після початку роботи і за час до її закінчення.

Розв’язання.
Продуктивність праці виражається похідною
z (t) = u/ (t) = -( од./год.), а швидкість і темп зміни продуктивності – відповідно похідною z/ (t) і похідною логарифмічної функції
z/ (t) = -5t + 15 (од./год2),
(од./год.)
У задані моменти часу і відповідно маємо:
z ( 1) = 112,5 (од/год), z/ (1) = 10 (од./год2), T( 1)= 0,09 (од./год) іz(7) =82,5 (од./год.), z/ (7) = -20 (од./год2), T(7)= - 0,24 (од/год)
Таким чином, до кінця роботи продуктивність праці суттєво знижується, при цьому зміна знаку z/(t) і Tz( t )з плюса на мінус свідчить про те, що збільшення продуктивності праці у першу годину робочого дня змінюється її пониженням в останню годину.
В ході роботи ми переконались що, похідна – одне з фундаментальних понять математики. Крім того на практиці ми переконались в актуальності слів В. Кильпатрика про те, що «Усе, що я пізнаю, я знаю, для чого це мені потрібно, де і як я можу ці знання застосувати».
Викладач математики: Практичне застосування похідної набагато ширше, ніж те, що ми розглянули сьогодні на уроці. Похідна застосовується геометрії, фізиці, хімії, економіці, на виробництві. Тому на наступний урок пропоную творче завдання – підготувати цікаві задачі на застосування похідної.
ІV.Підведення підсумків уроку:
оцінка учбової діяльності учнів на уроці;
підведення підсумків конференції проводиться у формі інтерактивної гри «Мікрофон».

Уявіть собі, що до вас завітав журналіст газети «Новини нашого Центру», який хоче написати, що нового і цікавого ви дізналися на уроці. Прохання дати відповіді на такі запитання, тримаючи в руках перехідний мікрофон.
Над якою темою ми працювали на уроці?
Що нового дізналися ви при вивченні даної теми?
Чого ви навчилися, готуючи матеріал своєї творчої групи?
Що для вас складного було на уроці?
Чим вам запам’ятався урок?
Де ви зможете застосувати одержану на уроці інформацію?
V. Домашнє завданняПовторити теоретичний матеріал §6-12, підготуватися до контрольної роботи.
Розв’язати: № 415, 417 І-рівень
№ 420, 427 ІІ-рівень
№ 427, 431 ІІІ-рівень
Література:
Бевз Г.П., Алгебра і початки аналізу. 10-11кл. -К.: «Освіта», 2006
Бурда М.І., Дубинчук О.С., Мальований Ю.І. Математика. Пробний навчальний посібник для учнів шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю 10-11 кл. К.: «Освіта», 2001.
Колмогоров А.М., Абрамов О.М. Алгебра і початки аналізу 10-11. К.: Радянська школа», 1992.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. Москва, 2000.
Нелін Є.П., Долгова О.Є. Алгебра і початки аналізу 11 кл., Х.: «Світ дитинства», 2007.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. Москва, 2000.
Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 11 класу. К.: «Зодіак-Еко»,2002.
Чекова Т.Г. Алгебра і початки аналізу в таблицях 7- 11 класи, Х.: Науково-методичний центр, 2003.
http://bibl.com.ua/matematika/28297/index.html http://pandia.ru/text/79/486/25252.php http://um.co.ua/7/7-4/7-41861.html
http://kuchka.info/pidsumkovyj-urok.html
Додаток A.
Картка індивідуального опитування № 1
Знайти похідну функції:
f (x) = x3 + √x
Картка індивідуального опитування № 2
Знайти похідну функції:
f (x) = x2 + x3 – x + 5
Картка індивідуального опитування № 3
Знайти похідну функції:
f (x) = cos 3x
Картка індивідуального опитування № 4
Знайти похідну функції:
f (x) = tg2x
Картка індивідуального опитування № 5
Знайти похідну функції:
f (x) = 1|x + 5x - 2
Додаток Б
Робота учнів на індивідуальних картках у тестовій формі (правильну відповідь показують за допомогою сигнальних карток, кожна відповідь – 0,5б)
№ Функція Похіднаоцінка1. А) ; Б) ; В) ; Г) інша відповідь2. (x)= A) cos 2x; Б)2 cosx; В)-cos2x;
Г) інша відповідь3. (x)=3x2-5x+6 А) 5х-5; Б) 6х2-5; В) 6х-5;
Г) інша відповідь4. f(x)=ctg2x A); Б)-; В);
Г) інша відповідь5. (x)=x А) ; Б) ; В) ; Г) інша відповідь. 6. (x)=sinx-cosxA) –sinx +cosx; Б) cosx + sinx ; В) 0;
Г) інша відповідь .7. (x)= (3x+2)50 A) 150(3x+2)49; Б) 50(3x+2)49; В) 150x;
Г) інша відповідь8. (x)= 5x A) x5x; Б) 5xln5; В)5; Г) інша відповідь. 9. (x)= e3-2x A) e3-2x; Б) -2 e3-2x ; В) 2e3-2x;
Г) інша відповідь10. (x)= A) ; Б) 2; В);
Г) інша відповідь.
11. (x)=cos3x A) -3cos2x; Б) sin3x; В)3cosx;
Г) інша відповідь12. (x)=log2х A) ; Б) 2lnx ; В) ;
Г) інша відповідь Література:
Використання народознавчого матеріалу на інтегрованих уроках у початковій школі. www.refotext.com/referat-text-16961-7.htmlІнтеграція навчальних предметів, як засіб формування життєвих та навчальних компетенцій учнів. scool4rozdilna.ucoz.ru/index/metodichna_robota/0-9
О. Євтушенко. Роль математики в професійному становленні учнів. elenaevtyshenko.blogspot.com/p/blog-page_50.htmlО. В. Титар, Г. Г. Пінчук Інтеграція навчального процесу як чинник розвитку навчальної активності учнів. osvita.ua/school/lessons_summary/proftech/24899/www.kr-nvc.edukit.dp.ua/Files/downloads/Проект Про...адані математики.doc

Приложенные файлы


Добавить комментарий