«Урок по теме «Равносильность уравнений» (11 класс)»


Тема: «Равносильность уравнений»
Место урока в изучении раздела: первый урок.
Оборудование: компьютер, проектор.
Основные понятия:
равносильные уравнения;
уравнения-следствия;
теоремы равносильности («спокойные» и «беспокойные»);
посторонние корни, потеря корней.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: традиционный урок.
Методы обучения: фронтальный, индивидуальный, групповой, наглядно-практический.
Приобретаемые навыки учащихся: применение знаний к решению уравнений.
Форма организации: индивидуальная и групповая.
Задачи урока:
выработать у учащихся умение пользоваться теоремами равносильности уравнений;
осуществлять формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений;
познакомить учащихся с частными случаями равносильных уравнений и отработать навыки по решению таких уравнений.Цели: изучить понятие равносильности уравнений и теоремы о равносильности уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Найдите корни уравнения.
а). 0,2x=2; б). x2=9121; в). 2x=18; г). x=4;
д). 12x=3; е). sinx=-1; ж). x3=-27; з). log3x=4.
III. Объяснение нового материала.
Данная тема является достаточно важной и содержательной. Уроки, отведённые на неё, будут носить больше теоретический характер. Зато при изучении последующих тем этот материал пригодится для решения уравнений, неравенств и их систем.
На этом уроке основное внимание следует уделить теореме о равносильности уравнений и ввести понятие уравнения-следствия.
Объяснение проводить согласно пункту учебника в несколько этапов.
1. Понятие равносильности уравнений. (слайд №1)
Вы уже знакомы с данным понятием, однако, следует актуализировать ваши знания и закрепить определение.
Я предлагаю вам устное задание: выяснить, являются ли уравнения равносильными.
а). 2x=6 и x-3=0; б). log4x=12 и x2=4;
в). x=2 и 8x=2; г). x4+1=0 и 5x-2=-5.
2. Уравнение-следствие. (слайд №2)
После введения определения нужно его закрепить, поскольку вы часто путаете, какое уравнение из какого следует. Для этого ответьте на несколько вопросов:
- Сформулируйте определение уравнения-следствия.
- Может ли уравнение и его следствие иметь разное количество корней?
- Если количество корней уравнения и его следствия неодинаково, то у какого уравнения их больше?
-Могут ли уравнение и его следствие не иметь корней?
Задание. Какие из уравнений являются следствиями уравнения 5x=25?
а). x-1=1; б). x2=4; в). 15x=125г). log3x=27; д). 1x+2=0; е). xx+1x-2=0.
3. Три этапа решения уравнений. (слайд №3)
Вас постепенно нужно подвести к осознанному выявлению трёх этапов в решении любого уравнения.
Нам необходимо поставить вопросы, которые предстоит изучить, чтобы осуществить эти этапы (с. 345). Но на этом уроке будет разобран только первый вопрос.
4. Теоремы о равносильности уравнения. (слайд №4)
Некоторые теоремы вам уже известны. На этом этапе следует обобщить и систематизировать ваши знания, разобрав все шесть теорем.
Целесообразно к каждой из теорем привести несложные примеры, особенно это касается последних трёх теорем.
Теорема 4.
Обе части уравнения x-3=5 можно умножить на выражение x2+1, поскольку оно не обращается в нуль, но нельзя умножить выражение на x+1.
Теорема 5.
Обе части уравнения x+1=x2+2 можно возвести в квадрат, поскольку они неотрицательны в области определения. А если возвести обе части уравнения x-2=x+3, то могут получиться неравносильные уравнения.
Теорема 6.
Уравнение log2(x4+2)=log23x и x4+2=3x будут равносильными, поскольку выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны. А уравнения log2x=log2(x2-1) и x=x2-1 могут быть неравносильными.
IV. Формирование умений и навыков.
№55.1, №55.3 (а,б).
№55.4 (а), №55.5 (а), №55.6 (б).
При выполнении этих номеров необходимо, чтобы вы обосновывали свой ответ, ссылаясь на соответствующие теоремы о равносильности уравнений.
Решение:
№ 55.4.
Подкоренные выражения в уравнении 2x2+2=x4+3 положительные при любых значениях x. Значит по теореме 5 это уравнение равносильно уравнению 2x2+2=x4+3.
Предлагаю выполнить дополнительное задание: привести пример подобной пары уравнений, которые могут быть неравносильными. В качестве такого примера может выступать пара: x+2=x2-3 и x+2=x2-3.
№55.5.
Преобразуем данное показательное уравнение.
3x+4∙13x=1;
3x+4∙3-x=30;
3x+4-x=30;
x+4-x=0.Все сделанные преобразования не изменяли область определения уравнения, поэтому полученное уравнение равносильно данному.
Прошу обратить ваше внимание, что в подобных показательных уравнениях всегда можно совершать такие преобразования.
№55.6 (б).
sinx+1sinx+2=0,5Обе части уравнения согласно теореме 4 можно умножить на выражение sinx+2, поскольку оно не обращается в нуль. Получаем уравнение sinx+1=0,5sinx+1, которое равносильно данному.
Я снова предлагаю вам составить подобную пару уравнений, которые могут оказаться неравносильными.
Например, sinx+12sinx+0,5=1 и sinx+1=2sinx+0,5.
№55.7 (а), №55.8 (а), №55.11 (б), №55.12 (а,б).
Выполнение этих заданий имеет важное практическое значение. Вы должны осознать, что решение некоторых уравнений сводится к нахождению ОДЗ, которая оказывается пустой. Зачастую так решаются уравнения повышенного уровня сложности, предлагаемые в контрольно-измерительных материалах.
Решение:
№55.7.
3x-5=9-7x.
Найдём ОДЗ уравнения:
3x-5≥09-7x≥0; 3x≥5-7x≥-9; x≥53x≤97.
Получаем, что ОДЗ является пустым множеством, значит, уравнение решений не имеет.
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
- Какие уравнения называются равносильными?
- Какое уравнение называется следствием другого уравнения?
- Могут ли уравнение и его следствием иметь различное количество корней? Приведите пример.
- Перечислите этапы решения любого уравнения.
- Сформулируйте теоремы о равносильности уравнений.
- Как иногда, не решая уравнение, можно доказать, что оно не имеет корней?
Домашнее задание: № 55.2, №55.4 (б), № 55.5 (б), №55.6 (а), №55.8 (б), №55.11 (а), №55.12 (в).
(2cos2x-7cosx+3)log41(-sinx)=0; -π3+2πk; -π2+2πn;k,n∈z.(2sin2x-7sinx+3)log41(-cosx)=0; 5π6+2πk; π+2πn; k,n∈z.

Приложенные файлы


Добавить комментарий