«Урок по математике на тему «Бином Ньютона»

Министерство образования, науки и молодежной политики
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края
«Курганинский аграрно-технологический техникум»


Методическая разработка
урока по теме "Бином Ньютона"







Из опыта работы преподавателя физики и математики
Ю.А. Спесивцевой



г. Курганинск, х. Красное Поле, 2016г.

Тема урока: «Бином Ньютона»
Дата проведения: 01.12.2016
Группа: ПК-16А «Программирование в компьютерных системах»
Преподаватель: Спесивцева Ю.А.
Цели урока: Введение понятия степень двучлена, формулы Бином Ньютона и формулы комбинаторики о числе сочетаний .
Задачи урока:
Образовательная:
Вычисление биномиальных коэффициентов, построение треугольника Паскаля.
Представление степени двучлена в виде многочлена по формуле Бином Ньютона.
Обобщение знаний и умений по темам "Формулы сокращённого умножения", "Действия с многочленами". Формирование умений решать задачи повышенной сложности;
Развивающая:
Развитие логического мышления, мыслительных операций, таких как синтез и анализ, обобщение и сравнение.
Воспитательная:
продолжить формирование познавательного интереса к предмету «Математика»;
Создание условий для формирования информационной культуры учащихся.
Тип урока: изучение нового материала
Метод организации: индивидуальный, фронтальный, групповой.
Материальное обеспечение: Компьютер, проектор, экран (для демонстрации презентации по данному уроку), презентация по теме: “Бином Ньютона”
Время проведения: 45 минут.
Место проведения: кабинет математики.
Методы обучения:
Принцип организации учебного процесса – проблемно-диалогический, объяснительно - иллюстративный, частично-поисковый.
Педагогическая технология  – деятельностный подход, исследовательская, диалогическая деятельность.
По организационным формам – индивидуальная, групповая.
По типу управления познавательной деятельности – под руководством преподавателя, самостоятельная работа.
По подходу к ребенку – личностно-ориентированное, свободное воспитание.
По преобладающему методу обучения – методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, методы стимулирования и мотивации учебной деятельности, методы контроля и самоконтроля.
Технологии применяемые на уроке:
- технология личностно-ориентированного обучения;
- здоровьесберегающая технология;
- поисково-исследовательской деятельности;
- информационно-коммуникативные технологии.
План урока:
Организация урока: постановка задач и цели урока – 3 минуты.
Повторение теоретического материала – 7 минут.
Изучение нового материала – 20 минут.
Первичный контроль усвоения знаний (обучающая самостоятельная работа)-13 минут
Подведение итогов, домашнее задание, рефлексия – 2 минуты.
Ход урока
Организационный момент (слайд1)

Сегодня на уроке мы рассмотрим Бином Ньютона. Цель изучения Бинома Ньютона - упрощение вычислительных действий. Полученные знания и навыки в применении биноминальных формул, закрепим на решении математических задач.
Повторение теоретического материала
Вопросы к учащимся: (слайд 2)
1. Дайте определение числу возможных сочетаний из n элементов по m элементов. (Определение: Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается С13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 , читается С из n по m, вычисляется по формуле:
С13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 = 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, где n! = 1 2 3 (n-2)(n-1)n (читается n-факториал).
2. Назовите основные свойства числа сочетаний.
С13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 = С13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 ;
С13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 = С13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 = 1;
С13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 = С 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 + С 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 , где n, r >1
3. Решите задачу: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.
(Решение: Данные цифры - это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа - это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С = = ==10.)
Таким образом, 10 двузначных чисел можно построить из элементов заданного множества. Вы можете это проверить простым перебором, при небольших значениях n и m, это несложно.
4.Прочитайте выражения: (х +2у)2, (а- b)3, (c - d)2, (а+1)3, (с+3а)4, (х -2)5.
(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; и т.д.)(слайд 3)
5.Что общего в заданных выражениях?
(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)
6. Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?
(Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы и разности для первых четырёх примеров, для 5 и 6 придётся степень представить в виде произведения степеней и выполнить умножение многочленов.)
(х +2у)2 = х2 +4ху + 4у2
(а - 2)3 = а3 - 3а2 2 +3а 22 - 23= а3 - 6а2+12а -8.
(c - 0,1d)2 = с2 - 0,2cd + 0,01d2.
(а+2у)3 = а3 + 3а22у +3а(2у)2 +(2у)3= а3 + 6а2у +12ау2 +8у3.
(с+а)4 = (с+а)2 (с+а)2 = (с2 +2са + а2) (с2 +2са +а2) =
= с4 + 2ас3 +а2с2 + 2ас3 +4а2с2 +2а3с +а2с2 +2а3с +а4 =
= с4+ 4с3а +6с2а2 + 4са3 +а4.
(х -2)5 = (х -2)3(х -2)2 = (х3 - 6х2 +12х - 8) (х2 - 4х+ 4) =
= х5 - 4х4 +4х3 - 6х4 +24х3 - 24х2 +12х3 - 48х2 + 48х - 8х2 +32х -32 =
= х5 -10х4 + 40х3 - 80х2 +80х -32.
7. Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?
(Выше степень двучлена, нет известной формулы сокращённого умножения для этих степеней.)
8.В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, от чего зависело количество подобных слагаемых?
Логично предположить, что если есть формулы для второй и третьей степени двучлена, то возможно существует формулы и для более высоких степеней. И количество подобных слагаемых тоже подчиняется какой-либо закономерности.
Формулы сокращённого умножения являются частным случаем Бинома Ньютона.
Изучение нового материала
На прошлом уроке мы с вами изучали перестановки и размещения, сегодня мы остановимся на одном из самых замечательных применением формулы перестановок. Числа 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение. Такая запись называется треугольником Паскаля (слайд 4)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Блез Паскаль - французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей. В 1641г. сконструировал суммирующую машину. (слайд 5)
Правило записи треугольника легко запомнить. Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке. Давайте распишем несколько строк.
Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений в треугольнике Паскаля можно записать еще вот так:13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415(слайд 6)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Треугольник можно продолжать до бесконечности, но на практике чаще составляют таблицу для первых 10 степеней. (слайд 7)
Как оказалось треугольник Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Треугольник Паскаля - это треугольник, составленный из чисел, являющихся коэффициентами в формуле бином Ньютона. (слайд 8)
Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы
Самое первое правило, которое мы с вами выучили это квадрат суммы.

Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов:


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Выпишем для наглядности все наши формулы:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.(слайд 9)
Первое на что стоит обратить внимание, показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части, для любого слагаемого. Для четвертой степени, очевидно слева показатель равен четырем. В правой части показатель степени, при первом слагаемом, для а равен 4, для b равен 0, в сумме 4. Для второго слагаемого сумма показателей равна 3+1=4, для следующего 2+2=4, и так до самого конца сумма показателей равна 4.
Посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части, ни чего не напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.
В теории многочленов часто двучлены называют биномами.(слайд 10)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Проанализировав закономерности, возникающие в формулах сокращённого умножения можно сделать вывод, что формулы являются частным случаем Бинома Ньютона и позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени
Полученная нами формула:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
называется Бином Ньютона. (слайд 11)
Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми – Биномиальные коэффициенты. (слайд 12)
Исаак Ньютон - английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. (слайд 13)
Свойства бинома Ньютона:(слайд 14)
Число слагаемых на 1 больше степени бинома.
Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля.
Коэффициенты симметричны.
Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.
Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.
Рассмотрим пример раскрытия скобок при помощи бинома Ньютона, посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний: (слайд 15)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой
(слайд 16)
1. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля:
а) (х+у)6
б) (1- 2а)4
2. Найти значение выражения (С+ С) : С
Решение: (слайд 17)
1а) (х+у)6= х6 +6х5у +15х4 у2 +20х3у3 +15х2у4 +6ху5 +у6.
1б) (1- 2а)4 = 1 14 (2а)0 - 413 2а + 612(2а)2 - 4 11 (2а)3 + 1 10(2а)4 =
= 1 - 8а + 24а2 - 32а3 + 16а4.
2. (С+ С) : С= = +=
(напомним, что =n; = .) = = 1.
Подведение итогов урока
Домашнее задание (слайд 18)
Выучить формулу бином Ньютона.
Представить в виде многочлена:
(х - 1)7
(2х - 3)4
Рефлексия (слайд 19)
Используем метод незаконченных предложений.
Сегодня на уроке я узнал(а)
Мне оказались непонятны следующие моменты
Мне понравилось на уроке
Я понял(а), что надо еще раз посмотреть тему
Заключение (слайд 20)
Наш урок мне хочется закончить словами известного мудреца.
Когда-то давно жил выдающийся арабский поэт – математик Омар Хайям:
...Мне мудрость не чужда была земная,
Разгадки тайн ища, не ведал сна я
За 70 перевалило мне,
Что ж я узнал! –
Что ничего не знаю.
Как вы думаете, что он этим хотел сказать?
Спасибо за урок. (слайд 21)

Рисунок 1

Приложенные файлы


Добавить комментарий