Урок по геометрии 10 класс


Урок 12
Тема: «Эллипс, гипербола, парабола».
Цель деятельности учителя Создать условия для того, чтобы научиться строить эллипс, гиперболу и параболу.
Основное содержание темы, термины и понятия Кривые второго порядка, эллипс, гипербола, парабола, канонические уравнения
Планируемый результат
Предметные умения Универсальные учебные действия
Предметные: усвоение систематических знаний кривых второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, канонические уравнения Познавательные: умение понимать и использовать математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации.
Регулятивные: умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.
Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры.
Личностные: формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики.
Организация пространства
Формы работы Фронтальная (Ф.); парная (П.); индивидуальная (И.)
Образовательные ресурсы 1. Геометрия. 10–11 классы / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина (М.: Просвещение, 2015).
I этап. Актуализация опорных знаний.
Цель: выяснить затруднения учащихся (Ф).
1). Проверить решение домашней работы. Ответить на вопросы учащихся.


II этап. Построение эллипса.
Цель: научиться строить эллипс, записанный в каноническом уравнении (Ф/И)
Как построить эллипс?
Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:
Пример 1
Построить эллипс, заданный уравнением 
Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения  заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .
В данном случае :Отрезок  называют большой осью эллипса;отрезок  – малой осью;число  называют большой полуосью эллипса; число  – малой полуосью.в нашем примере: .
Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки не является рациональным по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса  на черновике быстренько выражаем: 
Далее уравнение распадается на две функции: – определяет верхнюю дугу эллипса; – определяет нижнюю дугу эллипса.
Любой эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами .Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.
Отметим на чертеже точки  (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс.
Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл
Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах .
В нашем случае: 
Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси  будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: .
Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .
Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат.
Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса  пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: . При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.
Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на окружность (смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат)
Пример 2: Построить график линии, заданной уравнением 
Решение: выделим полный квадрат: – окружность радиуса  с центром в точке .Выполним чертёж:
III этап. Построение гиперболы.
Цель: уметь строить гиперболу,
записанную в каноническом уравнении (Ф/И)
Пример 1: Построить гиперболу 16x2 − 9y2 = 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;  г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
Решение.
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
16x2−9y2 = 144|:144⇒16x2 / 144 − 9y2 / 144=1⇒
⇒x2/9 – y2 /16 = 1⇒ x2/ 32 - y2/ 42 =1.⇒
а) Находим полуоси a=3, , b=4.
б) Фокусы найдем по формулам F1(−c,0)  и F2 (c,0), где c = ⇒ F1(−5,0),F2(5,0).
в) Эксцентриситет e = c/ a = 5/3
г) Асимптоты гиперболы находим по формулам y=± b/ax:
y=±4/3x.
д) Уравнения директрис находим по формулам D1: x=−a/e и  D2: x = a/e:
 D1: x=−9/5 и D2: x=9/5.
Сделаем рисунок:

Ответ: а)  a=3,a=3, b=4;b=4; б) F1(−5,0),F2(5,0); в) e=5/3; г) y=±4/3x; д) D1: x=−9/5   и  D2: x = 9/5.
IV этап. Построение параболы.
Цель: уметь строить параболу,
записанную в каноническом уравнении Пример 1:
Построить параболу 
Решение: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение  определяет верхнюю дугу параболы, уравнение  – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки   и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка  называется фокусом параболы, прямая  – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения  называется фокальным параметром, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением . В нашем примере :

Пример 2: Решение: преобразуем уравнение:Вершина параболы находится в точке , ветви направлены влево. С помощью уравнений  найдём дополнительные точки: Выполним чертёж:Парабола  получена путём поворота параболы   на 180 градусов и её параллельного переноса в точку . Из канонического уравнения  находим фокальный параметр , фокус  и уравнение директрисы .Примечание: в случае необходимости нетрудно найти координаты фокуса и уравнение директрисы неканонически расположенной параболы . Учитывая поворот и параллельный перенос: .
V этап. Итоги урока. Рефлексия
(Ф/И)
- Чему научились на уроке?
- Задайте три вопроса по теме урока. (И) Домашнее задание:
1) Установить, что уравнение 
5x2+9y2−30x+18y+9=05 определяет эллипс, найти его центр C, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.
2) Установить, что уравнение 
16x2−9y2−64x−54y−161=0 определяет гиперболу, найти ее центр C, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.
3) Построить параболу y2 = 6x и найти ее параметры.

Приложенные файлы


Добавить комментарий