«Урок по алгебре на тему «Арифметическая прогрессия»(9 класс)»


КИЕВСКИЙ РАЙОН
МОУ «Специализированная школа с углубленным изучением иностранных языков №19 г. Донецка»
Лекция: «Арифметическая прогрессия»
Учитель математики, специалист высшей категории, учитель-методист Радионова И.Е.

г. Донецк 2017
Задача. I. Дать учащимся полное представление об арифметической прогрессии.
1)Познакомить: а) с определением арифметической прогрессии; б) с определением разности арифметической прогрессии; в) с формулой ее n-ого члена; г) со свойствами членов этой прогрессии; д) что любая арифметическая прогрессия задается формулой вида an = k n + b, где k, b – некоторые числа; е) формулой суммы n-первых членов рассматриваемой прогрессии. II. Научить учащихся воспроизводить доказательство формулы n-ого члена и суммы n-первых членов арифметической прогрессии и применять их на практике. III. Развивать логическое мышление, познавательную активность учащихся на уроке; умение работать в заданном темпе. IV. Воспитание инициативы, трудолюбия, формирования устойчивого интереса к математике.
План лекции
Актуализация знаний.
Изучение определения арифметической прогрессии.
Вывод формулы n-ого члена арифметической прогрессии.
Изучение свойств членов рассматриваемой прогрессии; формулы,
задающей арифметическую прогрессию.
Применение теоритического материала при решении несложных задач (в ходе лекции). Рассмотрение древнейших задач на арифметическую прогрессию.
Ход урока
I. Организационный момент.II. Актуализация знаний.
Двое учащихся готовят домашнее задание на перемене:
№566
Решение
bn=2n2 + 3n
b5 = 2∙52+3 ∙ 5 = 50 +15 =65;
b10 = 2∙102 +3 ∙ 10 = 200 + 30 =230;
b50 = 2∙502 +3 ∙ 50 = 5000 + 150 = 5150.
№570(а)
Решение
b1 = 5; bn+1 = bn ∙ 5;
b1 = 5;
b2 = b1 ∙ 5 = 5 ∙ 5 =25;
b3= b2∙5= 25 ∙ 5 =125;
b4= b3∙5=125 ∙ 5 =625
Давайте, ребята, вспомним, что мы изучали на прошлом уроке? Ответ: Познакомились с понятием последовательности: конечной и бесконечной; узнали, что последовательности можно задать с помощью формулы n-ого члена последовательности; с помощью рекуррентной формулы. На доске в №566 последовательность задана формулой n-ого члена, а в №570(а) рекуррентной формулой. Задание у вас не вызвало затруднений? Ответ: нет. Откройте тетради и сравните результаты своей работы. И вам была предложена еще следующая задача: Даны три последовательности а) 3; 9; 15; 21;?; … б)?; 4; 7; 10; … в) 5;?; 19; 26; 33;?; … Они составлены по одному закону. 1) Укажите, какое число пропущено в каждой последовательности? 2) По какому закону они составлены? Ответы: 1) а) пятый член равен 27; б) первый член равен 1; в) второй член – 12, шестой член - 40. 2) а) каждое последующее число больше предыдущего на одно и число 6; б) на 3; в) на 7. А первый член отвечает этому закону? Ответ: нет.
III. Лекция Итак, пусть a1; a2; a3; …; an-1; an - последовательность, заданная указанным выше способом, тогда a1; a1 + d; a2 + d; …; an-1 + d Имеем последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Эту последовательность назвали арифметической прогрессией. А это число назвали разностью арифметической прогрессии. Почему? Ответ: Чтобы найти это число, нужно найти разность последующего и предыдущего членов. Давайте запишем это математически: d = an - an-1. А если нам известны не соседние члены, то как найти это число d? Пусть известны члены ak и an, где n>k, тогда d = an - akn-k. Проверим на примере a2= 9; a5 =27; d = 27-95-2 = 183 = 6; a5 = 9 +3∙6 = 27.
Вернемся к названию последовательности: 1) Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio) буквально означает «движение вперед» (как и слово прогресс). Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать ее в одном направлении, например, последовательность натуральных, четных, нечетных чисел, простых чисел, которые знали еще в далекой древности. 1) 1; 2; 3; 4; 5; … - последовательность натуральных чисел; 2) 2; 4; 6; 8; 10; … - последовательность четных чисел; 3) 1; 3; 5; 7; 9; … - последовательность нечетных чисел; 4) 2; 3; 5; 7; … - последовательность простых чисел. 2) А почему последовательность называется арифметической? Выразите в последовательности под а) a2 через a1 и a3; a3 через a2 и a4 a2 = a1+ a32;a3 = a2+ a42 ; 9 = 3+152;15 = 9+212; 9 = 9. 15 = 15. a1 и a3 – равноудаленные от a2; a2 и a4 - равноудаленные от a3, то можно сделать вывод: каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифметическое двух равноудаленных от него членов этой прогрессии. Итак, ребята! Вам понятно, почему последовательность a1; a1 + d; a2 + d; …; an-1 + d; … называется арифметической прогрессией. Заметим, что при d >0 прогрессия возрастающая, а при d <0 – убывающая. 3) А теперь выведем формулу n-ого члена этой прогрессии. Пусть (an) - арифметическая прогрессия, a1 – ее первый член, d – разность. a1; a2 = a1 + d; a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d; a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d . Какую закономерность вы увидели? Ответ: Числовой коэффициент, стоящий перед d на единицу меньше номера определяемого члена. Таким образом, всякий член арифметической прогрессии равен ее первому члену, сложенному с произведением разности на число членов, предшествующих определяемому, то есть an = a1 + (n -1) d - формула n-ого члена. Пример: (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = 2, a25 = 12 + 24 ∙ 2 =12 + 48 = 60. Формулу n –ого члена можно записать иначе: an = d n + (a1 – d).
Пусть d = k, a1 – d = b, тогда an = k n + b (аналогия y(x) = k x + b). Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an = kn + b,где k и b – некоторые числа (то есть арифметическая прогрессия задается линейной функцией). Верно и обратное: последовательность, заданная формулой вида an = kn + b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией. an+1 - an = k(n + 1) + b – (k n + b) = k n + k +b – k n – b = k = d. Пример. Является ли последовательность (an) – арифметической прогрессией, если она задана формулой: а) an = 7- 3n; б) an = 2n2 + 1; в) an = 0,8n; г) an = 0,64n +23; д) an = n-1n+1; е) an = 45n- 35. Ответ: а), в), г), е). Из определения арифметической прогрессии вытекают следующие свойства: 1) Каждый член арифметической прогрессии , начиная со второго, равен, предыдущему,сложенному с разностью d, an+1 = an + d. 2) Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифметическое двух равноудаленных от него членов этой прогрессии k, m – любые натуральные числа, причем k > m ak = ak-m+ ak+m2 = a1 + (k – 1)d 3) Для любой конечной арифметической прогрессии сумма двух членов, равноотстоящих от ее концов, есть величина постоянная для данной прогрессии, равная сумме крайних членов ak+ am = ar+ as, где k; m; r; s – номера членов, удовлетворяющих условию k + m = r +s Пример. Дана арифметическая прогрессия 3; 7; 11; 15; 19; 23. ar ak am as Назвать крайние члены (a1 и a6) и равноотстоящие от ее концов (a2 и a5; a3 и a4) 7 + 19 = 3 + 23; 11 + 15 = 3 + 23; 1 + 6 = 2 +5; 1 +6 = 3 +4; 26 = 26. 26 = 26. 7 = 7. 7 = 7. Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работы, дал детям задание: вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, но маленький Гаусс это задание выполнил почти моментально. Задача очень не проста; Как сделать, чтобы быстро сложить в уме все числа? Пять первых связок изучи, найдешь к решению ключи 1 + 100 =?; 2 + 99 =?; 3 + 98 =?; 4 + 97 =?; 5 + 96 =? Давным – давно один мудрец Сказал, Что прежде надо связать начало
и конец у численного ряда. 1 +2 + 3 + … + 99 +100 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1 (100 +1) ∙ 100 =10100; 10100: 2 = 5050 4) А сейчас выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии (an). Обозначим через Sn- сумму первых n членов Sn = a1+ a2 + a3 + …+ an-1 + an (1) Запишем слагаемые в обратном порядке Sn = an + an-1 + … + a3 + a2+ a1 (2) Сложим (1) и (2) 2 Sn =(a1+ an) + (a2 + an-1) + … + (an-1+a2) + (an+ a1); 2 Sn =(a1+ an) ∙ n; Sn = a1+ an2 ∙ n; (3) an = a1 + (n -1) d Sn = a1+a1 + ( n -1) d 2 ∙ n = 2a1+ ( n -1) d 2 ∙ n (4) Если известны в условии крайние члены, то используем формулу (3). Если известен первый член и разность, то используем формулу (4). Задача. Найти сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии, если a1 = 3, a60 = 57. Решение S60 = a1+ a602 ∙ 60 = 3+572 ∙ 60 = 60 ∙ 30 =1800 Хочется отметить, что эту формулу знали китайские и индийские ученые, в частности Ариабхант (V в). 5) Древнейшая задача на прогрессию – задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ранда Папирус этот, разысканный Рандом в канун прошлого столетия, составляет около 2000 л. до н.э. и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося к третьему тысячелетию до н.э. В числе задач имеется такая. ЗАДАЧА Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому? Решение Количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a1 = x, d = y. a2 = x + y; a3 = x + 2y; a4 = x +3y; a5 = x + 4y x+x+y+x+2y+x+3y+x+4y=100;7 x+x+y= x+2y+x+3y+x+4y,
5x+10y=100;14x+7y=3x+9y, x+ 2y=20;11x=2y, x=20-2y;1120-2y=2y,
x=20-2y;220=24y,x= 53y= 556 Хлеб был разделен на следующие части: 53; 656; 20; 1756; 1153. Итог урока. Выучить теоритический материал (Приготовиться к тематческому зачету).







Приложенные файлы


Добавить комментарий