«Урок 9. Пентагон и пентаграмма. Второй золотой треугольник. Спецкурс «Математика Золотого Сечения»


9. Пентагон и пентаграмма.
Второй золотой равнобедренный треугольник
Говоря о золотых многоугольниках, нельзя не остановиться на пентагоне – правильном пятиугольнике (рис.30).
Рисунок 30
Рисунок 30
72°
Рисунок 31
А
О
В
72°
Рисунок 31
А
О
В

№ 16. Вписать в данный круг пентагон.
Решение. Так как пентагон – это правильный пятиугольник, а любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, то каждый центральный угол пентагона равен 360° : 5 = 72° (рис.31). Значит, один из способов построения пентагона состоит в делении круга на пять равных секторов с помощью транспортира.
Рассмотрим другой способ построение пентагона – деление окружности на пять равных частей, предварительно построив отрезок, равный стороне пентагона. Это способ разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471-1528).
Для этого вначале вычислим сторону АВ пентагона.
Пусть радиус окружности равен 1. Найдем АВ по теореме косинусов: .
Построение. В данной окружности (рис.32) АО и ОD – взаимно перпендикулярные радиусы, Е – середина радиуса ОА. Отрезок СE равен отрезку DЕ. Отрезок DC равен стороне пентагона, вписанного в данную окружность (рис.33).
D
C O E A
Рисунок 32
D
C O E A
Рисунок 32
D
C O E A
Рисунок 33
D
C O E A
Рисунок 33

Действительно,

.
Построение пентагона по его стороне выполняется с помощью циркуля и линейки, потому считается классическим.
У пентагона своя особенность. Пентагон с построенной в нем пентаграммой (пентаграмма - звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями пентагона), состоит из золотых треугольников: KFM, BDE, BFC, BFD и т.д. (рис.34). Углы этих треугольников равны 72°, 72° и 36°, отношение основания к боковой стороне в каждом треугольнике равно φ.
Рисунок 34
F
A
D
B
C
E
K
M
Рисунок 34
F
A
D
B
C
E
K
M

Есть и еще одна особенность: диагонали пентагона, пересекаясь попарно, делятся в золотом отношении: . Отношение стороны пентагона к его диагонали равно φ. Внутри пентаграммы образуется новый пентагон, в котором можно построить новую пентаграмму, и этот процесс не ограничен.
Выделим на этом рисунке треугольник AFD. Он равнобедренный с углами 36°, 36° и 108° и AF = FD = φAD (рис. 35). Это значит, что в нем отношение боковой стороны к основанию равно φ. Такой треугольник вполне можно называть золотым, но тупоугольным, в отличие от остроугольного золотого с углами 72°, 72° и 36°.
F
D
C
B
A
Рисунок 35
F
D
C
B
A
Рисунок 35

Есть ли у него особенность? Есть. Отрезки FB и FC (трисектрисы) делят угол при вершине на три равные части, по 36°. При этом получаются, что данный треугольник AFD разбит на три треугольника, один из которых, треугольник BFC, золотой остроугольный с углами 72°, 72° и 36°, а два другие, AFB и DFC, подобны данному, золотому тупоугольному, то есть сами являются золотыми тупоугольными. Если же в золотом тупоугольном треугольнике провести одну трисектрису, например, FB, то треугольник разбивается на два золотых, один из которых остроугольный FBD, а другой тупоугольный AFB.
Процесс деления образовавшихся золотых тупоугольных треугольников трисектрисами тупого угла бесконечен.
Определение 7. Равнобедренный треугольник, в котором отношение боковой стороны к основанию равно φ, называется золотым.

Приложенные файлы


Добавить комментарий