«Урок на тему «Корни многочлена. Схема Горнера»

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики
БОУ ДП(ПК)С «Чувашский институт образования» Минобразования Чувашии






Курсовая работа
Элективный курс «Приёмы и методы решения уравнений высших степеней»



Выполнила учитель математики
МБОУ «СОШ №49 с углубленным
изучением отдельных предметов»
г. Чебоксары
Румянцева Юлия Изосимовна





Г. Чебоксары

Тема урока: Корни многочлена. Схема Горнера
Цель урока:
научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера;
формировать умения и навыки в нахождении корней многочленов;
научить обобщать и систематизировать материал;
развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля;
воспитывать требовательность к себе, усердие.
План урока:
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
III. Подготовка к изучению нового материала
IV. Закрепление изученного материала
V. Нахождение корней многочлена
VI. Самостоятельная работа
VII. Исследовательская работа учащихся
VIII. Задание на дом
IX. Подведение итогов урока и выставление отметок


ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся
1. Проверка домашнего задания.
а) Найти НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) по алгоритму Евклида (ученик готовит на доске).
6
Решение:
НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.
Ответ: x 2 – 1.
б) Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2) (проверяется фронтально). [1]
Решение. По теореме Безу, если f(1) = 0, то f(x) делится на (x – 1). Проверим это.
f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится на (x – 1); f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1); f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).
Ответ: делится на (x – 2).
в) Многочлен P(x) при делении на (x – 1) дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает остаток 5. Найти остаток от деления многочлена P(x) на (x 2 – 3 x + 2).
(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).
Решение.
P(x) = (x – 1) Q 1(x) + 3                                        (1) P(x) = (x – 2) Q 2(x) + 5                                        (2) Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3, P(2) = 5. Пусть P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b или P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b                    (3)
Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2, b = 1.
Ответ: 2 x + 1.
г) При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.
Решение. При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).
Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x) только в случае, когда m = 1, n = –30.
Ответ: m = 1, n = –30.
2. Теоретический опрос
а) Как читается теорема
б) Привести пример, где используется теорема Безу?
в) Из правила перемножения двух многочленов как найти старший коэффициент произведения?
г) Имеет ли степень нулевой многочлен?
III. Подготовка к изучению нового материала
В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:
Значение f(0) равно свободному члену многочлена.
Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Нахождение значений многочлена не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.
Например, чтобы вычислить значение многочлена f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 при x = 7 (то есть узнать делится ли он на (x – 7) по теореме Безу), надо подставить вместо x число 7. Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком. Чтобы облегчить нахождение значения f(7) применим схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по следующему алгоритму:
1. Строка коэффициентов записывается первой. 2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (в нашем случае число 7), при котором вычисляем значение многочлена.
Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.
Таблица 1
 
2
– 9
– 32
0
–57

7
2
 
 
 
 

3. Это делается по единому правилу: для пустой клетки, стоящей справа, число 2 умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Ответ записывается в первую пустую клетку. Так делают для заполнения остальных пустых клеток. Поэтому, в первой пустой клетке ставится число 2 7 – 9 = 5, во второй пустой клетке ставится число 5 7 – 32 = 3, в третьей ставится число 3 7 + 0 = 21, а в последней 21 7 – 57 = 90. Полностью эта таблица выглядит так:
Таблица 2
 
2
– 9
– 32
0
–57

7
2
5
3
21
90

Последнее число второй строки является ответом.
Замечание: программа для вычисления значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме Горнера.
IV. Закрепление изученного материала
Рассмотрим решение домашнего задания № 1 (б) по схеме Горнера. Итак, применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.
Таблица 3
 
3
– 5
0
– 7
0
12

1
3
– 2
– 2
– 9
– 9
3

– 1
3
– 8
8
– 15
15
– 3

2
3
1
2
–3
– 6
0

В последнем столбце в третьей, четвертой и пятой строках – остатки от деления. Тогда f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0. [2]
V. Нахождение корней многочлена
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на единицу меньше. Иногда этим приемом – он называется “понижением степени” – можно найти все корни многочлена.
В частности, подобрав один корень кубического уравнения, тем самым понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.
При решении таких задач большую пользу приносит та же схема Горнера. Однако, на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) – это коэффициенты частного отделения на (x – a).
В таблице 3:
f(1) = 3, f(–1) = – 3, f(2) = 0,
f(x) = (3 x 4 – 2 x 3 – 2 x 2 – 9 x – 9) (x – 1) + 3; f(x) = (3 x 4 – 8 x 3 + 8 x 2 – 15 x + 15) (x + 1) – 3; f(x) = (3 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 3 x – 6) (x – 2).

Пример 1. Найти корни многочлена f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3).
Решение. Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена. При x = 1 очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера на корень число – 1 и другие делители свободного члена.
Таблица 4
 
1
– 1
– 6
– 1
3

– 1
1
– 2
– 4
3
0

– 1
1
– 3
– 1
4
 

· корень второй раз x = –1 не корень проверим x = 3 x = 3 – корень. f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,

Замечание. При нахождении корней многочлена не следует проводить лишних точных вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые оценки приводят к нужному результату. Например, схема Горнера для проверки значений 31 и – 31 как “кандидатов в корни” многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2  – 4 x + 31 может выглядеть следующим образом:
Таблица 5
 
1
– 41
0
32
– 4
31

31
1
– 10
– 310




– 31
1
– 71
+
+
+
+

31 и – 31 не являются корнями многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2  – 4 x + 31.
Пример 2. Найти корни многочлена f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.
Решение. Делители 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Заметим, что – 1 и 1 не являются корнями многочлена. Следует проверить остальные делители.
Замечание. Очень важно учащимся овладеть “длинной” схемой Горнера. В данном примере как раз удобна “длинная” схема.
Таблица 6
 
1
2
– 6
– 22
53

– 5
1
– 3
9
– 57


5
1
7
29
+
+

– 11
1
– 9
93

+

11
1
13
137
+
+

– 55
1
– 53
2 909

+

55
1
57
3 129
+
+

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, корней нет.
Ответ: корней нет. [2]
VI. Самостоятельная работа
На доске три человека решают для последующей проверки.
Найти корни многочлена по схеме Горнера:
а) f (x) =  x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;
Ответ: – 1; 2; – 3.
б) f (x) =  x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;
Ответ: 1; 2; 3.
в) f (x) =  x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.
Ответ:
(Проверка осуществляется в парах, выставляются оценки).
VII. Исследовательская работа учащихся
– Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?
(Ответы учащихся).
– Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.
– В каких числах получались ответы?
(Ответы учащихся).
– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.
VIII. Задание на дом
1. № 129 (1, 3, 5, 6) – Н. Я. Виленкин – 10, стр. 78. [3] 2. Выучить теорию данного урока.
IX. Подведение итогов урока и выставление отметок
Литература
М.Л. Галицкий. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. // Просвещение, 1997 г.
Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной переменной. // Санкт-Петербург. Специальная литература, 1997 г.
Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10 класс // Просвещение









Пояснительная записка.
Курс разработан для учащихся 10 класса физико-математического профиля, имеющих хороший уровень математической подготовки, и призван помочь им подготовиться к разным конкурсам и олимпиадам по математике, способствовать продолжению серьёзного математического образования. Он расширяет базовый курс по математике, является предметно-ориентированным и даёт учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами математики, и методами решения уравнений высших степеней. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения.
Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений решения уравнений высших степеней, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Курс является продолжением учебника, где предусматривается обучение школьников способам самостоятельной работы, приёмам решения уравнений высших степеней. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению уравнений высших степеней, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо через уравнения высших степеней прививать учащимся не только навыки логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления.









2
Цели и задачи курса.

Развитие интереса к математике, эвристического мышления.
Способствовать продолжению серьёзного математического образования.
Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор.
Способствовать формированию научного стиля мышления.
Подготовиться к ЕГЭ.













3 Содержание курса и распределение часов курса по темам.
Данный элективный курс рассчитан 34 тематических занятий.

Тема
Количество часов

1
Равносильные (Эквивалентные) уравнения. Понятие об уравнениях высших степеней.
1

2
Трёхчленные уравнения.
2

3
Симметрические уравнения чётных и нечётных степеней.
3

4
Отыскание корней многочленов.
3

5
Теорема Безу. (Метод понижения степени уравнения).
3

6
Метод неопределённых коэффициентов.
3

7
Возвратные уравнения.
3

8
Метод разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения.
3

9
Однородные уравнения
3

10
Метод замены переменных
4

11
Метод алгебраического сложения систем уравнений
2

12
Метод почленного умножения и деления уравнений системы
2

13
Система однородных уравнений и приводящиеся к ним системы
2

14
Решение задач из КИМ ЕГЭ
2







4
Общие методические рекомендации.
Учащимся сообщается цель и назначение элективного курса. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части – лекции, консультации практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.
Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить терему Виета для урвнений любой степени. Умение выполнять действия делений многочленов облегчит в дальнейшем решение задач из математического анализа.
Изучение схемы Горнера и теоремы о рациональных корнях многочлена даёт общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит знаительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических и иррациональных уравнений и неравенств.
Литература
1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.
2Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И Задачи по математике. Алгебра.
3 Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Нестандартные методы решения уравнений и неревенств.
4..Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Уравнения и неравенства.
5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике.

5

Оглавление
Цели и задачи курса 1
Содержание курса и распределение часов курса по темам 2
Общие методические рекомендации 3
Литература 4
Приложение 6












1
Рисунок 1Рисунок 3 Заголовок 115

Приложенные файлы


Добавить комментарий