Сборник заданий для самостоятельной подготовки к экзамену














ПОВТОРЯЕМ
школьный курс
алгебры и начал анализа









2007
§ 14. Арифметическая прогрессия.

1. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел
а1, а2, , аn,, в которой каждый последующий член получается
из предыдущего прибавлением одного и того же числа d,
называемого разностью прогрессии.
При d >0 прогрессия называется возрастающей, а при d < 0 – убывающей.
Например: 1, 2, 3, 4, d = 1.

2. Для n – го члена арифметической прогрессии справедлива формула:
аn = а1 + (n – 1)d

3. Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Sn = a1 + a2 ++an
находится с помощью выражения Sn = 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Из определения разности арифметической прогрессии следует,
что а1 + аn = а2 + аn-1=, т.е. сумма членов, равноудаленных
от концов прогрессии есть величина постоянная.
5. Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с
некоторого, через предыдущие (один или несколько) называется
рекуррентной.
При рекуррентном способе задания последовательности обычно указывают:
1) первый член последовательности (или несколько первых членов)
2) формулу, которая позволяет определить любой член последовательности по известным предыдущим членам.

Геометрическая прогрессия.

1. Геометрической прогрессией называется последовательность чисел
b1, b2,, bn,, в которой каждый последующий член получается
из предыдущего умножением на одно и то же число q,
называемое знаменателем прогрессии. При |q|>1 прогрессия называется
возрастающей, а при |q|<1 – убывающей.
Например: 3, 6, 12, 24,q = 2

2. Для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула
bn = b1
·qn-1
3. Сумма первых n членов геометрической прогрессии Sn= b1 + b2+bn
вычисляется с помощью выражений: Sn= 13 EMBED Equation.3 1415или Sn=13 EMBED Equation.3 1415 (q
·1)

4. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S= b1 + b2 ++ bn + находится по формуле S= 13 EMBED Equation.3 1415 (|q| < 1)


· Упражнения с решениями.

1.Найти разность арифметической прогрессии, если а11 = 6, а16 = 8,5.
Решение:
а11 = а1 + 10d
a16 = a1 + 15d
Подставим
6 = а1 + 10d d = 0,5 d = 0,5
- 8,5 = a1 + 15d => 6 = a1 + 10
·0,5 => a1 =1
2,5 = 5d
d = 0,5
Ответ: а1 = 1, d = 0,5.
2. Решить уравнение: 1 + 7 + 13 ++ х = 280.
Левая часть уравнения представляет собой сумму членов
арифметической прогрессии, в которой а1= 1, аn= х, d= 6.
Найдем n: an= a1+ d(n - 1)
x = 1+ 6(n +1)
n =13 EMBED Equation.3 1415
Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии имеем
Sn=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
х2 + 6х + 3355 = 0
х1 = 55, х2 = -61 (не удовлетворяет уравнению, т.к. d > 0)
Итак х = 55.
3. Найти а1 и d, если а2 + а4 = 16, а1
· а5 = 28.
Решение:
а2 + а4 = 16 a1 +d + a1 +3d = 16 2а1 + 4d = 16 | :6
а1
· а5 = 28 => a1
· (a1 + 4d) = 28 => a12 + 4a1d = 28
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· а1 = 8 – 2 · 3 a1 = 2
d = 3 => d = 3
a1 = 8 + 2 · 3 a1 = 14
d = -3 d = -3


4. Найти S12, если а1 = -3, а3 · а7 = 24.
Решение:
1) S12 = (а1 + а12) · 6 = (-3 + а12) · 6 = -18 + 6а12
2) а12 = а1 + 11d = -3 + 11d
3) a3 · a7 = 24
(a1 + 2d)(a1 + 6d) = 24
(-3 + 2d)(-3 + 6d) = 24
(2d – 3)(6d – 3) = 24
12d2 – 6d -18d +9 -24 = 0
12d2 – 24d – 15 =0 | : 3
4d2 – 8d – 5 = 0
D = 64 + 4·4·5 = 144
d1/2 = 13 EMBED Equation.3 1415= {13 EMBED Equation.3 1415}
4) находим а12
1 случай
а12 = -3 + 11· 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415- 3 = 24,5
2 случай
а12 = -3 – 11 · 13 EMBED Equation.3 1415= -8,5
5) находим S12
1 случай
S12 = -18 + 6d12 = -18 + 6 · 24,5 = 129
2 случай
S12 = -18 + 6·(-8,5) = - 69
5. Между числами 17 и 32 вставить пять таких чисел, чтобы они вместе
с данными числами составили арифметические прогрессии.
Решение:
Дано: а1 = 17, а7 = 32.
Задача сводится к определению разности прогрессии по формуле
аn = a1 + d(n-1)
32 = 17 + d · 6
d = 2,5
Найдем искомые числа и запишем прогрессию:
17; 19,5; 22; 24,5; 27; 29,5; 32
6. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии
(an), если а6 + а9 + а12 + а15 = 20
Решение:
Согласно свойству арифметической прогрессии (п.4) имеем
а1 + а20 = а6 + а15 = а9 + а12 => a1 + a20 = 13 EMBED Equation.3 1415= 10
Теперь по формуле Sn = 13 EMBED Equation.3 1415· n
S20 = 13 EMBED Equation.3 1415· 20 = 100
7. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел.
Решение:
Дано: а1 = 10, d = 1, an = 99.
По формуле аn = a1 + d(n-1) найдем номер последнего члена.
99 = 10 + 1(n-1)
n = 90
Найдем S90 = 13 EMBED Equation.3 1415= 4905



8. а7 – а3 = 2 a7 – a3 = 2 a7 = 11 a7 = 11
а7 + а3 = 20 a7 + a3 = 20 => 11 – a3 = 2 => a3 = 9
аn = 13 2a7 = 22
n-? a7 = 11


an = a1 + (n-1)d
13 = a1 + dn – d
a7 = a1 + 6d с другой стороны а3 = а1 + 2d
11 = a1 + 6d 9 = а1 + 2d
a1 = 11 – 6d а1 = 9 – 2d
11 – 6d = 9 – 2d
11 – 9 = 6d – 2d
d = 13 EMBED Equation.3 1415
a1 = 11 – 6 · 13 EMBED Equation.3 1415= 8
возвр. 13 = 8 + 13 EMBED Equation.3 1415n - 13 EMBED Equation.3 1415
13 = 713 EMBED Equation.3 1415n
13 - 713 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415n
513 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415n
n = 11
9. Арифметическая прогрессия (an) задана рекуррентно.
а1 = cos13 EMBED Equation.3 1415 + log313 EMBED Equation.3 1415
a2 = tg13 EMBED Equation.3 1415 - 5-2
an+1 = an + an-1, тогда а5=?
Решение:
Вычисляем а1 = cos13 EMBED Equation.3 1415 + log313 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415- 2
а2 = tg13 EMBED Equation.3 1415 - 5-2 = 1 - 13 EMBED Equation.3 1415
а3 = а2 + а1; а3 = 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415 - 2 = 13 EMBED Equation.3 1415
а4 = а3 + а2; а4 = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
а5 = а4 + а3; а5 = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· q = 2

q = 2 q = 2 q =2
b1(1+2n)=51 => 17b1=51 => b1= 3

Sn= 13 EMBED Equation.3 1415

3069 = 3 (2n – 1)
1023 = 2n -1
2024 = 2n
210 = 2n
n =10

12. Вычислить:
13 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнение:

52 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
52+4+6++2х = (5-2)-28
2 + 4 + 6 + + 2х = 56
Пусть a1 =2, d = 2, Sn = 56, an = 2x

Sn = 13 EMBED Equation.3 1415, 56 = 13 EMBED Equation.3 1415, n = 13 EMBED Equation.3 1415


an = a1 +d (n – 1), 2x = 2 + 2(n – 1), x = n

x = 13 EMBED Equation.3 1415, x = 7
Ответ: 7
Найти:
Sn = 13 EMBED Equation.3 1415
Sn = 1 - 13 EMBED Equation.3 1415

Sn = 13 EMBED Equation.3 1415
Sn = 13 EMBED Equation.3 1415
= 13 EMBED Equa
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· б) 13 EMBED Equation.3 1415
17. Записать в виде обыкновенной дроби:
0,(5) = 0,555= 13 EMBED Equation.3 1415
S = 13 EMBED Equation.3 1415
0,1(23) = 0,1 + 13 EMBED Equation.3 1415
S =0,1+ 13 EMBED Equation.3 1415
Дидактический материал.

Найти разность арифметической прогрессии, если:

а8 = 4, а13 =7,5

Решить уравнение:
(х + 1) + (х + 4) + + (х + 28) = 155

3. Найти а1 и d:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4. Найти S10 , если а5 = 9, а2 + а9 = 20

5. Найти сумму: а) Sn = 13 EMBED Equation.3 1415
б) Sn = 13 EMBED Equation.3 1415

Найти а1 и d:
a7 = -5, a32 = 70

Найти b5, если:
b2 – b1 =18
b4 – b3 =162
Пусть (bn) – геометрическая прогрессия со знаменателем q. Найти:
а) b1, если b3 = 10, b5 = 40
б) b1, если b6 = 13 EMBED Equation.3 1415, q = 1,5
в) b1, если S5 = 13 EMBED Equation.3 1415, q = 5
9. Вычислить:
13 EMBED Equation.3 1415
Записать в виде обыкновенной дроби 0,(12)


§15. Элементы тригонометрии.

Основные тригонометрические тождества:

sin2x + cos2x = 1, tg x = 13 EMBED Equation.3 1415, ctg x = 13 EMBED Equation.3 1415

sin2 x = 13 EMBED Equation.3 1415, при х 13 EMBED Equation.3 1415
cos2x = 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415

sin2 x = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

cos2x = 13 EMBED Equation.3 1415при при х 13 EMBED Equation.3 1415

tg x ctg x = 1

Формулы приведения:

а) sin(-x) = - sin x cos(-x) = cos x
tg(-x) = - tg x ctg(-x) = - ctg x
позволяют избавиться от отрицательных углов

б) sin(x+2Пn) = sin x cos(x+2Пn) = cos x
tg(x+2Пn) = tg x ctg(x+2Пn) = ctg x

в) sin(П+x) = - sin x cos(П+x) = - cos x
tg(П+x) = tg x ctg(П+x) = ctg x
г) sin(13 EMBED Equation.3 1415= sin x cos(13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415sin x
tg(13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415ctg x ctg(13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 tg x
Тригонометрические функции суммы и разности двух углов:
cos(13 EMBED Equation.3 1415
sin(13 EMBED Equation.3 1415
Тригонометрические функции двойного угла:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2x – sin2x = 1 – 2sin2x = 2cos2x – 1
tg 2x = 13 EMBED Equation.3 1415
ctg 2x = 13 EMBED Equation.3 1415
Тригонометрические функции половинного угла:
sin213 EMBED Equation.3 1415 cos213 EMBED Equation.3 1415 tg13 EMBED Equation.3 1415
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла:
При 13 EMBED Equation.3 1415 справедливы тождества:
sin x = 13 EMBED Equation.3 1415, cos x = 13 EMBED Equation.3 1415, ctg x = 13 EMBED Equation.3 1415

Если дополнительно выполнено при 13 EMBED Equation.3 1415 то tg x = 13 EMBED Equation.3 1415
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:
sin13 EMBED Equation.3 1415
cos13 EMBED Equation.3 1415
sin13 EMBED Equation.3 1415
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение:
sin13 EMBED Equation.3 1415
sin13 EMBED Equation.3 1415
cos13 EMBED Equation.3 1415
cos13 EMBED Equation.3 1415
Решение простейших тригонометрических уравнений:
а) уравнение вида cos x = a:
формула для корней уравнения cos x = a, где -1 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415

частные случаи:
cos x = 1, x = 213 EMBED Equation.3 1415
cos x = 0, x = 13 EMBED Equation.3 1415
cos x = -1, x = 13 EMBED Equation.3 1415

формула для корней уравнения cos2x = a, где 013 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
б) уравнение вида sin x = a:
формула для корней уравнения sin x = a, где -113 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415

частные случаи:
1. sin x = 0, x = 213 EMBED Equation.3 1415
2. sin x = 1, x = 13 EMBED Equation.3 1415
3. sin x = -1, x = - 13 EMBED Equation.3 1415
формула для корней уравнения sin2x = a, где 013 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
в) уравнение вида tg x = a:
формула для корней уравнения tg x = a, где имеет вид:
tg x = 0, x = 13 EMBED Equation.3 1415
tg x = 1, x = 13 EMBED Equation.3 1415
tg x = -1, x = -13 EMBED Equation.3 1415
формула для корней уравнения tg2x = a, где a13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415

Упражнения с решениями.

Найти tg x , если sin x = - 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Т.к. t x = 13 EMBED Equation.3 1415, найдем cos x = - 13 EMBED Equation.3 1415
tg x = - 13 EMBED Equation.3 1415
Пользуясь формулами приведения, найдите:
sin 240°= sin(180° + 60°) = - sin 60° = - 13 EMBED Equation.3 1415
cos (-405) = cos(360° + 45°) = cos 45° = 13 EMBED Equation.3 1415
tg (-315°) = - tg(360° - 45°) = tg 45° = 1
Упростить выражение и найти его значение при указанном значении 13 EMBED Equation.3 1415
cos(13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
cos(13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415 -2cos13 EMBED Equation.3 1415
Упростить:
13 EMBED Equation.3 1415 1+cos x = 13 EMBED Equation.3 1415
(sin x – cos x)2 + 2sin x cos x = sin2x – 2sin x cos x + cos2x + 2sin x cos x = 1
13 EMBED Equation.3 1415

Докажите тождество:

13 EMBED Equation.3 1415
приведем к общему знаменателю
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1=1
8. Найти значение выражения:
13 EMBED Equation.3 1415
9. sin13 EMBED Equation.3 1415
10. Упростить:

cos(12013 EMBED Equation.3 1415
= -213 EMBED Equation.3 1415
11. 13 EMBED Equation.3 1415
12. cos5x cosx +sin5x sinx = cos(5x – x) = cos4x

13. cos 36° + sin218° = cos213 EMBED Equation.3 1415

14. 13 EMBED Equation.3 1415

15. 13 EMBED Equation.3 1415

16. Докажите тождество:
2sin x cos x cos 2x = 0,5 sin 4x
sin 2x cos 2x = 0,5 sin 4x
0,5 sin 4x = 0,5 sin 4x

17. Упростить:
13 EMBED Equation.3 1415
18. 13 EMBED Equation.3 1415
19.(1+13 EMBED Equation.3 1415
20.13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415
21. Представить в виде произведения:
sin13 EMBED Equation.3 1415
22.tg(13 EMBED Equation.3 1415
= 13 EMBED Equation.3 1415
23. 13 EMBED Equation.3 1415
24. 213 EMBED Equation.3 1415
25. 13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415

26. Упростить:
(sin 2x +3cos 2x)2 + (cos 2x – 3sin 2x)2 = sin22x + 6sin 2x cos 2x + 9cos22x + cos22x –
6sin 2x cos 2x + 9sin22x = 1 + 9 = 10

27. 13 EMBED Equation.3 1415
= 13 EMBED Equation.3 1415

28. 13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415
= 13 EMBED Equation.3 1415
29. 13 EMBED Equation.3 1415
= 1 - 2sinx cosx + 2sinx cosx = 1

30. Решить уравнение:
sin x + sin 3x = 0
(по формуле sin13 EMBED Equation.3 1415+sin13 EMBED Equation.3 1415)
2sin 2x cos x = 0
sin 2x = 0 cos x = 0
2x = 13 EMBED Equation.3 1415 x = 13 EMBED Equation.3 1415
x = 13 EMBED Equation.3 1415
31. cos x +sin x = 0 (возведем обе части в квадрат)
cos2x + 2cos x sin x + sin2x = 0
1 + sin 2x = 0
sin 2x = -1
2x = -13 EMBE
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
· (разделим обе части на cos 2x 13 EMBED Equation.3 14150 )
x = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 2x = arctg13 EMBED Equation.3 1415
2x = 13 EMBED Equation.3 1415
x = 13 EMBED Equation.3 1415
33. 13 EMBED Equation.3 1415
(приведем к общему знаменателю)
1+ cos x sin x – cos x – sin x = 0
(сгруппируем)
(1 – six x) – cos x (1 – sin x) = 0
(1 – sin x) (1 – cos x) = 0
1 – sin x = 0 1 – cos x = 0
sin x = 1 cos x = 0
x = 13 EMBED Equation.3 1415 x = 213 EMBED Equation.3 1415
34. 2sin2x + cos x = 0
2 (1 – cos2x) +cos x - -2 = 0
2 – 2cos2x + cos x = 0
-2cos2x + cos x = 0
cos x(-2cos x + 1) = 0
cos x = 0 -2cos x + 1 = 0
x = 13 EMBED Equation.3 1415 cos x = 13 EMBED Equation.3 1415
x = 13 EMBED Equation.3 1415
35. Вычислить:

cos(arcctg(-13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Пусть arcctg(-13 EMBED Equation.3 1415,значит ctg 13 EMBED Equation.3 1415
используя формулу 1+ctg2x = 13 EMBED Equation.3 1415,(sin x 13 EMBED Equation.3 1415
выразим sin x = 13 EMBED Equation.3 1415

sin(arcos(-13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
1)Пусть arccos(-13 EMBED Equation.3 1415, тогда cos13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,=>13 EMBED Equation.3 1415
2)Пусть arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415,=>13 EMBED Equation.3 1415
3)Пусть arcsin13 EMBED Equation.3 1415 тогда sin13 EMBED Equation.3 1415=> 13 EMBED Equation.3 1415
Подставляем sin(13 EMBED Equation.3 1415

sin(arcsin13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пусть arcsin13 EMBED Equation.3 1415, sin13 EMBED Equation.3 1415, где 013 EMBED Equation.3 1415
Пусть arcsin13 EMBED Equation.3 1415, sin13 EMBED Equation.3 1415, где 013 EMBED Equation.3 1415
Используя формулу sin(13 EMBED Equation.3 1415
Найдем cos13 EMBED Equation.3 1415
Найдем cos13 EMBED Equation.3 1415

Дидактический материал.
Найти ctg x , если cos x =13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 270° < x < 360°
Найти sin x , если cos x = 13 EMBED Equation.3 1415 , 270° < x < 360°
Пользуясь формулами приведения, найдите:

tg 120° , tg 150° , cos 330° , sin(-225°)
Упростить:
cos(13 EMBED Equation.3 1415 9. Докажите тождество:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 10. Вычислить:
(cos x + sin x)2 + 2sin x cos x ctg13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 11. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Упростить:
12.cos(180° + x) – sin(90° - x) 13. cos(120° + x) + cos(120° - x)

14.sin 3x cos x + cos 3x sin x 15. cos225° - cos 50°

16. 13 EMBED Equation.3 1415 17. 13 EMBED Equation.3 1415

18. (1 + tg2(13 EMBED Equation.3 1415 19. 13 EMBED Equation.3 1415
20. Представить в виде произведения:
а) sin13 EMBED Equation.3 1415 б) tg(13 EMBED Equation.3 1415
в) cos13 EMBED Equation.3 1415
21. Упростить:
а) sin(x +13 EMBED Equation.3 1415 б) sin(x + 13 EMBED Equation.3 1415
в) cos(x + 13 EMBED Equation.3 1415 г) tg(x + 13 EMBED Equation.3 1415
22. Вычислить:
а) cos 2x, если sin x = - 13 EMBED Equation.3 1415 б) sin 2x, если tg x = 13 EMBED Equation.3 1415
в) 1 + cos 2x, если sin x = - 0,6
23. а) 4cos 45° ctg 60° tg 60° - 3sin 45° б) (2cos 30° - ctg 45° + sin260° +ctg260°)-1
24. Упростить:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) (2sin 3x – 3cos 3x)2 + (2cos 3x + 3sin 3x)2 г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
25. Докажите тождества:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
26. Вычислить:
а) sin(arcctg(13 EMBED Equation.3 1415 б) tg(arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415
в) cos(arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415 г) arcsin(-13 EMBED Equation.3 1415
27. Решить уравнение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 6cos2x – 5sin x + 5 = 0 г) 2cos2x – 7sin x + 2 = 0
д) cos1,5x = cos0,5x cos x е) 2sin x + sin(13 EMBED Equation.3 1415
28. Решить систему уравнений

tg13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

§ 16. Текстовые задачи.

Предлагаемые задачи можно условно разбить на следующие типы задач:
задачи на «движение»;
задачи на « совместную работу»;
задачи на «планирование»;
задачи на «сплавы, смеси, сухое вещество»
другие виды задач.

Задачи на движение.

Основными компонентами этого типа задач являются:
а) пройденный путь (S);
б) скорость(V);
в) время (t)
Зависимость между указанными величинами выражается известными формулами:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
План решения обычно сводится к следующему:
а) выбираем одну из величин, которая по условию задачи является неизвестной, и обозначаем ее через x, y или z и т.д.
б) устанавливаем, какая из величин является по условию задачи известной.
в) третью (из оставшихся) величину выражаем через неизвестную (x) и известную с помощью одной из формул.
г) составляем уравнение на основании условия задачи, в котором указано, как именно изменилась (уменьшилась, увеличилась, и т.д.) третья величина.
3. Заметим, что если два каких-либо тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивает, очевидно, одинаковое время. Аналогично обстоит дело и в случае, если одно тело догоняет другое.
4. Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.
5. В задачах на движение по реке необходимо помнить следующие формулы:
Vпо теч=Vсоб+Vтеч
Vпротив теч=Vсоб-Vтеч
Vсоб=13 EMBED Equation.3 1415(Vпо теч+Vпротив теч)
Рассмотрим теперь примерное решение некоторых задач.

Упражнения с решениями.

1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, вышел пешеход. Через два часа за ним выехал велосипедист, который проезжал за каждый час на 4,5 км больше, чем проходил пешеход. Определить скорость движения велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В одновременно с пешеходом.

Решение:

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- V пешехода, тогда (13 EMBED Equation.3 1415- V велосипедиста.
13 EMBED Equation.3 1415время пешехода, тогда 13 EMBED Equation.3 1415время велосипедиста.
Зная, что время велосипедиста на 2 часа меньше времени пешехода, составим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
приведем к общему знаменателю
2х2 + 9х – 81 = 0
х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415 (-9 не является решением)
4,5 (13 EMBED Equation.3 1415)– V пешехода, тогда V велосипедиста = 4,5 + 4,5 = 9 (13 EMBED Equation.3 1415)
Ответ: 4,5; 9

2. Лодочник проезжает расстояние 16 км по течению реки на 6 часов быстрее, чем против течения; при этом скорость лодки в стоячей воде на 2 13 EMBED Equation.3 1415 больше скорости течения. Определите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение:

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- Vсобст, тогда скорость реки 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415- скорость лодки против течения реки.
13 EMBED Equation.3 1415- скорость лодки по течению реки.
Зная, что время лодки против течения реки больше времени по течению реки на 6 часов, составим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
8 - 13 EMBED Equation.3 1415
2х = 10
х = 5 Vсобст= 5 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 5 – 2 = 3(13 EMBED Equation.3 1415)- Vтеч
Ответ: 5;3


Дидактический материал.

1. Моторная лодка прошла 28 км по течению реки и 25км против течения, затратив на весь путь столько же времени, сколько ей понадобилось бы на прохождение 54км в стоячей воде. Определить скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 213 EMBED Equation.3 1415
2. Теплоход должен был пройти 72км с определенной скоростью. Фактически первую половину пути он шел со скоростью на 3 13 EMBED Equation.3 1415 меньше и вторую половину со скоростью на 313 EMBED Equation.3 1415 больше, чем ему полагалось. На весь путь теплоход затратил 5ч. На сколько минут опоздал теплоход?
3. Моторная лодка шла 40мин по течению реки и 1 час против течения и за это время прошла 37км. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1,513 EMBED Equation.3 1415
4. Турист проплыл по реке на лодке 90км, а затем прошел пешком 10км. При этом на пеший путь было затрачено на 4ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько плыл по реке, а плыл по реке столько времени сколько шел пешком, то эти расстояния были бы равны. Сколько времени он шел пешком и сколько плыл по реке?


Задачи на совместную работу.

1. Основными компонентами этого типа задач являются:
а) работа;
б) время;
в) производительность труда(работа, выполненная в единицу времени).

2. План решения задачи обычно сводится к следующему:

а) принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.
б) находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, где t- время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно, за то время, которое он работал.

г) составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т.е. 1) к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих (если, разумеется, в условии сказано, что при совместной работе всех рабочих выполнен весь объем работы).
3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается выполненная работа. Основанием для составления уравнения может служить также указанное в условии соотношение затраченного времени или производительности труда.
Рассмотрим решение некоторых задач:

Упражнения с решениями.

1. Отец и сын, работая совместно, могут выполнить работу за 2часа 40 минут. Найти время, которое потребуется отцу на выполнение этой работы, если он может выполнить ее на 4 часа бастре сына.

Решение:

Пусть х(ч) – время работы сына, тогда (х – 4)ч – время работы отца.
13 EMBED Equation.3 1415- производительность труда сына за 1 час, тогда 13 EMBED Equation.3 1415-производительность труда отца за 1 час, а 13 EMBED Equation.3 1415- производительность труда сына и отца одновременно за 1 час.
Составим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 ОДЗ:13 EMBED Equation.3 1415
3х2 – 28 х + 32 = 0
х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 не является решением)
8(ч) – время работы сына.
8 – 4 = 4(ч) – время работы отца.
Ответ: 4;8


Дидактический материал.

1. Первый насос наполняет бассейн на 2часа быстрее, чем второй насос выкачивает воду из полного бассейна. За какое время наполняет бассейн первый насос, если при включении обоих насосов бассейн наполняется за 7часов 30минут.

2. Первый тракторист вспахивает поле на 2часа быстрее, чем второй тракторист. Работая вместе, они вспахивают это же поле за 2часа 55минут. За какое время вспахивает это поле первый тракторист?

3. Два портовых крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6часов. За какое время может разгрузить баржу, работая отдельно, каждый кран, если одному из них нужно для этого на 9часов меньше, чем другому?

4. Два грузовика, работая вместе, перевозили зерно в течении 4часа. За какое время перевезет то же количество зерна каждый грузовик в отдельности, если первому нужно для этого на 6часов больше, чем второму?


Задачи на планирование.

К задачам этого раздела относятся те задачи, в которых выполняемый объем работы известен или его нужно определить. При этом сравнивается работа, которая должна быть выполнена по плану, и работа, которая выполнена фактически.

Основными компонентами задач на планирование являются:
а) работа ( выполненная фактически и запланированная);
б) время выполнения работы (фактическое и запланированное);
в) производительность труда (фактическая и запланированная).

З А М Е Ч А Н И Е: в некоторых задачах этого раздела вместо времени выполнения работы дается количество участвующих в ее выполнении рабочих.

Упражнения с решениями.


1. Две бригады должны были изготовить по 30 деталей. Первая бригада изготовляла в день на 1 деталь больше, поэтому выполнила задание на 1 день раньше второй. Сколько деталей в день изготовляла каждая бригада?

Решение:

Пусть х (д) – в день изготовляла первая бригада, тогда (х + 1)д – в день изготовляла вторая бригада.
13 EMBED Equation.3 1415- дней выполнила первая бригада, тогда 13 EMBED Equation.3 1415- дней выполнила вторая бригада.
Зная, что первая бригада выполнила задание на 1 день раньше второй, составим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
х2 + х – 30 = 0
х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415 (-6 не является решением)
5(д) – изготовляла в день первая бригада, тогда 6 деталей в день изготовляла вторая бригада.

Ответ: 5;6

2. Чтобы перевезти груз в 45 т было заказано несколько грузовых машин. Однако с базы прислали другие машины, грузоподъемность которых на 2 т меньше, поэтому пришлось добавить еще 6 машин. Сколько машин перевозили груз?

Решение:

Пусть х(т) – грузоподъемность первых машин, тогда (х – 2)т – грузоподъемность вторых машин.
13 EMBED Equation.3 1415- количество первых машин, тогда 13 EMBED Equation.3 1415- количество вторых машин.
Зная, что вторых машин было на 6 больше, составим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
х2 – 2х – 15 = 0
х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415 (-3 не является решением)
5(т) – грузоподъемность первых машин, 5 – 2 = 3(т) – грузоподъемность вторых машин.
13 EMBED Equation.3 1415 = 15 (машин перевозило груз)
Ответ: 15

Дидактический материал.

1. Бригада должна была изготовить 40 деталей к определенному сроку. Изготовляя в час на 3 детали больше, бригада уже за 2 часа до срока изготовила на 8 деталей больше. Сколько деталей в час изготовляла бригада?

2. По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и поэтому закончила пахоту за 12 дней. Сколько га было вспахано? Найти площадь поля.

3. Велосипедист должен был проехать весь путь с определенной скоростью за 2 часа. Но он увеличил скорость на 5 км в час, а поэтому на весь путь затратил 113 EMBED Equation.3 1415ч. Найдите длину пути.

4. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?

Задачи на сплавы и смеси, сухое вещество.

Задачи этого раздела вызывают затруднения. Очень важно разобраться в самом тексте задачи. Необходимо научиться расчленять такую задачу на ряд простейших.

Упражнения с решениями.

1. В свежих фруктах воды 72 , а в сухофруктах 20 воды. Сколько получиться сухофруктов из 20 кг свежих?

Решение:


Всего
Вода
Сухое вещество

Свежие
20 кг
72%
28%

Сухие
? (кг)
20%
80%


а) найдем количество кг сухого вещества в свежих фруктах:
13 EMBED Equation.3 1415сухое вещество
б) найдем количество кг сухофруктов
13 EMBED Equation.3 1415= 7(кг) – сухофруктов
Ответ: 7


2. Сколько нужно добавить воды в 50г 30% кислоты, чтобы раствор стал 10% ?


Решение:


Всего
Вода
Кислота

1
50г
70%
30%

2
?(г)
80%
10%


а) найдем количество г кислоты в растворе:
13 EMBED Equation.3 1415= 15(г) – кислоты
б) найдем количество г раствора после добавления воды:
13 EMBED Equation.3 1415
в) 150 – 50 =100(г)- добавить воды
Ответ: 100

3. Отлит сплав из золота и серебра. Отношение массы золота к массе серебра равно 3:5. Масса серебра на 12г больше, чем масса золота. Сколько грамм составляет масса сплава?

Решение:

Пусть х(г) – в одной части сплава, тогда (3х)г – золота, а (5х)г – серебра.
Зная, что серебра на 12г больше, чем золота, составим уравнение:
5х – 3х = 12
2х = 12
х = 6 6г – в одной части сплава
(3 + 5)13 EMBED Equation.3 1415(г)- сплав
Ответ: 48

Дидактический материал:

1. Имеется раствор пищевой соды массой 150г, концентрация пищевой соды 40%. Сколько граммов воды надо добавить, чтобы концентрация раствора стала равной 15%?

2. Сплав состоит из меди и свинца. Отношение массы меди к массе свинца равно 3:2. В сплаве меди на 1,3кг больше, чем свинца. Найти массу сплава.

3. В 450г раствора содержится 8% пищевой соды. Определить концентрацию раствора , если добавить 10г пищевой соды.


Другие виды задач.

1. Дано двузначное число. Если в нем заменить цифру десятков на 1, то получится число, в 6 раз меньшее, чем исходное. С другой стороны, число полученное из исходного перестановкой цифр десятков и единиц, в 23 раза больше разности числа десятков и единиц исходного числа. Найти исходное число.

Решение:

Пусть (10х + у) – исходное число, тогда
6(10 + у) = 10х +у 60 + 6у = 10х + у 2х – у = 12 у = 6
10у + х = 23(х – у) => 10у + х = 23х – 23у => 2х – 3у = 0 => х = 9

1013 EMBED Equation.3 1415+ 6 = 96 (искомое число)
Ответ: 96

Дидактический материал:

1. Если в двузначном натуральном числе заменить цифру десятков на 8, то получится число в 6 раз большее, чем исходное число. С другой стороны исходное число на 27 меньше, чем число, полученное из него перестановкой цифр десятков и единиц. Найти исходное число.

2. Если в двузначном натуральном числе заменить цифру десятков на 7, то получится число в 3 раза большее, чем исходное. С другой стороны, число полученное из исходного перестановкой цифр десятков и единиц, на 27 больше, чем исходное число. Найти исходное число.


§ 17. Показательные уравнения.

1.Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ах = b (где а >0,а13 EMBED Equation.3 14151)
2. Решение показательного уравнения вида аf(x) = ag(x) (где а>0, а13 EMBED Equation.3 14151) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x).
3. Уравнение вида Аа2х +Вах + С = 0 с помощью подстановки ах = у сводится к квадратному уравнению Ау2 + Ву + С = 0.

Упражнения с решениями.

Решить уравнение:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 32х+2 + 32х = 30
13 EMBED Equation.3 1415 313 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2х = 1
х = 0,5
3. 52х- 613 EMBED Equation.3 1415 положим 5х = у
у2 – 6у +5 = 0
у = 1, у = 5
следовательно
5х = 1 5х = 5
х = 0 х = 1

4. 13 EMBED Equation.3 1415 разделим обе части ур-я на 36х 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 заменим 13 EMBED Equation.3 1415, тогда имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415
х = 0 х = 0,5

5. 13 EMBED Equation.3 1415
а) если х + 3 = 1
х = -2 то получим 11 = 1-1(верное равенство)
значит х = - 2 является корнем уравнения
б) если х + 3 = 0
х = -3 то получим 06 = 0-6(не имеет смысла)
значит х = -3 не является корнем
в) если отлично от 0 и 1, приравняв показатели:
х2 – 3 = 2х
х = -1, х = 3 то получим 2-2 = 2-2, 66 = 66
значит х = -1, х = 3 являются корнями
Ответ:-2;-1;3

6. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
если х = 0, то 64 = 64
если х = 1, то 68 13 EMBED Equation.3 1415129
Ответ: 0;8;-8
Дидактический материал:

1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 2х = 1 3) 36-х = 33х-2 4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415 6) 13 EMBED Equation.3 1415 7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 4х+1,5 + 2х+2 = 4 9) 62х+4 = 2х+8 33х 10) 13 EMBED Equation.3 1415

11) 3х+1 + 3х-1 + 3х-2 = 5х + 5х-1 +5х-2


§ 18. Показательные неравенства.

Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
Решение показательных неравенств вида аf(x)0, a13 EMBED Equation.3 1415
основано на следующих утверждениях:
Если а >1, то неравенства аf(x)Если 0g(x) равносильны. (это следует из того, что при а>1 показательная функция возрастает, а при 0

Упражнения с решениями.

1) 2) 3)

13 EMBED Equation.3 1415




13 EMBED Equation.3 1415
 13 EMBED Equation.3 1415
заменим 2х = у
у2 – 6у + 8 < 0
2 < y < 4
возвращаясь
2 < 2x <22
1 < x < 2
x 13 EMBED Equation.3 1415

4) 13 EMBED Equation.3 1415

а) если х – 3 > 1

х – 3 > 1
2x2 – 7x >0

x > 4
2x(x – 3,5) > 0

(4;+
·)



б) если 0< x – 3 < 1

0 < x – 3 <1
2x2 – 7x < 0

3 < x < 4
2x(x – 3,5) < 0

(3;3,5)


Дидактический материал:

1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 8х < 16 3) 36-x > 33x-2

4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) (0,5)x < 13 EMBED Equation.3 1415 6) 13 EMBED Equation.3 1415

7) 13 EMBED Equation.3 1415 8)(x2 – 8x + 15)x-6 < 1 9) 13 EMBED Equation.3 1415



§19. Логарифмические уравнения.

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение logax = b ( где a > 0, a 13 EMBED Equation.3 14151)
Решение логарифмического уравнения вида logaf(x) = logag(x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x) при дополнительных условиях f(x)>0, g(x)>0.
Отметим, что переход от уравнения logaf(x) = logag(x) к уравнению f(x) = g(x) иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить либо с помощью подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения ( эта область задается системой неравенств f(x)>0, g(x)>0.)
При решении логарифмических уравнений часто бывает полезен метод введения новой переменной.
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе частим уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.


Упражнения с решениями.


Решить уравнения:
log13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Должно быть х – 1 > 0 , т.е. х > 1. Согласно определению логарифма имеем
х – 1 = (13 EMBED Equation.3 1415, х – 1 = 42, х = 17

2) log3(x2 – 4x – 5) = log3(7 – 3x)
Решение:
Данное уравнение сводится к уравнению х2 - 4х – 5 = 7 – 3х, откуда получаем
х2 – х – 12 = 0, т.е. х1 = 4, х2 = -3
Проверим выполнимость условий х2 – 4х – 5 > 0, 7 – 3x >0.
Значение х = 4 этим условиям не удовлетворяет (и, значит, является посторонним корнем), а значение х = -3 удовлетворяет.

3) lg(x – 6) – 0,5lg2 = lg3 + lg13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Умножая обе части уравнения на 2 и используя свойства логарифмов, имеем
2lg(x – 6) – lg2 = 2lg3 + 2lg13 EMBED Equation.3 1415
lg(x – 6)2 = lg2 + lg32 + lg(x – 10)
lg(x – 6)2 = lg18(x – 10)
(x – 6)2 = 18(x – 10)
x2 – 30x + 216 = 0
x1 = 12, x2 = 18
Для проверки полученных значений найдем область определения данного уравнения, она задается системой неравенств х – 6 > 0
x – 10 > 0
Оба найденных значения этой системе удовлетворяют, и, значит, служат корнями исходного уравнения.
4) logx513 EMBED Equation.3 1415logx2 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Преобразуем данное уравнение:
logx513 EMBED Equation.3 1415(logx513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415logx5 - 13 EMBED Equation.3 1415logx5)2 полагая logx5 = y
13 EMBED Equation.3 1415
y2 – 6y + 5 = 0
y1 = 1, y2 = 5
подставим: logx5 = 1 logx5 = 5
x = 5 x = 13 EMBED Equation.3 1415

5) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. x > 0 , то 13 EMBED Equation.3 1415 и lg x = 0
х1 = 4 x2 = 1 (оба корня удовлетворяют уравнению)

6) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 2, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
(log2 x + 2)log2 x = 3 положим log2 x = y
y2 + 2y – 3 = 0
y1 = 1, y2 = -3
подставим: log2 x = 1 и log2 x = -3
х1 = 2 х2 = 13 EMBED Equation.3 1415
7) logx9x2 log32x = 4
Решение:
Из условия следует, что x > 0, x 13 EMBED Equation.3 1415 Имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
(2logx 3 + 2)13 EMBED Equation.3 1415 положим logx 3 = y
2y + 2 = 4y2
4y2 - 2y – 2 = 0
y1 = 1, y2 = -13 EMBED Equation.3 1415
подставим: logx 3 =1 и logx 3 = -13 EMBED Equation.3 1415
х1 = 3 х2 = 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить:
log349 13 EMBED Equation.3 1415

Дидактический материал:


Вычислить:
а) log27 14413 EMBED Equation.3 1415
б) log13 EMBED Equation.3 1415
в) 4913 EMBED Equation.3 1415
Решить уравнение:
log2 x + log4 x2 + log8 x3 = 3
logx+1(x3 + 4x2 + x – 2) = 3
log0,3 x = 2log0,3 6 – log0,312
log2 (x2 +4x +3) = 3
log5(x +1) + log5(2x + 3) = 1
loga x = loga 5 + loga 3
log52x - log13 EMBED Equation.3 1415
log3 x log9 x log27 x log81 x = 13 EMBED Equation.3 1415

§ 20. Логарифмические неравенства.

Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим. Например, неравенства вида loga f(x) >loga g(x), loga f(x) < loga g(x) при a >0, a 13 EMBED Equation.3 1415 являются логарифмическими.
Неравенство loga f(x) >loga g(x) равносильно системе f(x) > g(x) >0 при а 13 EMBED Equation.3 1415 и системе 0 < f(x)< g(x) при а 13 EMBED Equation.3 1415
При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

Упражнения с решениями.


Решить неравенства:

1) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
это неравенство равносильно системе

13 EMBED Equation.3 1415
первое неравенство характеризует область определения логарифмической функции, а второе - ее убывание при основании 0 < 0,5 < 1. Далее имеем:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: (0,6 ;13 EMBED Equation.3 1415
log20 x + log20 (x + 1) 13 EMBED Equation.3 1415 log20 (2x + 6)
Решение:

x > 0 x > 0
x + 1 > 0 => x (x + 1) 13 EMBED Equation.3 1415 2x + 6 =>
2x + 6 > 0
log20 x (x + 1) 13 EMBED Equation.3 1415 log20 (2x + 6)

x > 0 x > 0
x2 – x – 6 13 EMBED Equation.3 1415 0 => (x – 3)(x + 2) 13 EMBED Equation.3 1415 0

Ответ: (0; 313 EMBED Equation.3 1415

log0,3 log613 EMBED Equation.3 1415
Решение:

log6 13 EMBED Equation.3 1415 => 13 EMBED Equation.3 1415 => 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 log6 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
log6 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: (-4; -3) 13 EMBED Equation.3 1415(8; +13 EMBED Equation.3 1415


log2 (2x -1)13 EMBED Equation.3 1415(2x+1 – 2)< 2
Решение:
т.к. 2х+1 – 2 = 2 (2х – 1) , то данное неравенство можно записать в виде
log2 (2x – 1)(log2 2 + log2(2x – 1)) < 2
log2 (2x – 1)(1 + log2 (2x – 1)) < 2 полагая log2 (2x – 1) = у
y (1 + y) < 2
y2 + y – 2 < 0
- 2 < y < 1 возвращаясь к переменной х, получим:
2-2 < 2x-1 < 2
13 EMBED Equation.3 1415 < 2x < 3
log2 (13 EMBED Equation.3 1415) < x < log2 3
(log2 13 EMBED Equation.3 1415; log2 3)

Дидактический материал:

Решить неравенство:
log3 (12 – 2x – x2) > 2
log4 (x + 1) + log4 x < log4 2
log5 (x – 3) < 2
log0,5 (2x – 4) > -1
log4 (6x – 8) > 2
log0,5 x2 > log0,5 3x
log5 (x2 – 4x – 3) < 0
(5x – 2) log0,(3) x < 0
log0,5 log8 13 EMBED Equation.3 1415
log2x+3 x2 < 1
13 EMBED Equation.3 1415


Системы показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

1) Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 14153 перемножив эти уравнения, получим: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 6х+у = 64, х + у = 4
разделив эти уравнения, получим: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , х – у = 2
Решив теперь систему:
х + у = 4
х – у = 2 получаем ответ: (3;1)


2) 1 < 313 EMBED Equation.3 1415
Решение:
0 < | x2 - x | < 2

а) х2 – х > 0 x(x – 1) > 0
х2 – х < 2 => (x + 1)(x – 2) < 0 -1 < x < 0 и 1< x < 2

б) х2 – х < 0 x(x – 1) < 0
-(x2 – x) < 2 => x2 – x + 2 > 0 0 < x < 1

Ответ: (-1;0)13 EMBED Equation.3 1415(0;1) 13 EMBED Equation.3 1415(1;2)

3) хlg y = 100
lgy x = 2
Решение:
Логарифмируя первое уравнение при условиях х > 0, y > 0, y 13 EMBED Equation.3 14151, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Из второго уравнения находим у2 = х
Решаем теперь полученную систему уравнений:
х = у2 x = y2 x = y2
lg y kg x = 2 lg y lg y2 = 2 2 lg2 y = 2
последняя система распадается на две:
а) х = у2 x1 = 100
lg y = 1 y1 = 10

б) х = у2 x1 = 0,01
lg y = -1 y2 = 0,1

Ответ: (100;10);(0,01;0,1)
Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
а) lg7 – lg(-8x – x2) > 0 б) lg7 – lg(-8x – x2) > 0
lg(x + 3) > 0 lg(x + 3) > 0

lg7 > lg(-8x – x2) lg 7 lg(x + 3) > lg 1 lg(x + 3) < lg 1
-8x – x2 > -8x – x2 > 0
х + 3 > 0 x + 3 > 0

7 > -8x – x2 7 < -8x – x2
x + 3 > 1 x + 3 < 1
8x + x2 < 0 8x + x2 < 0
x > -3 x + 3

(x + 7)(x + 1) > 0 (x + 7)(x + 1) < 0
x > -2 -3 < x < -2
x(x + 8) < 0 x(x + 8) < 0








( -1; 0) (-3; -2)
Ответ: (-3;-2) 13 EMBED Equation.3 1415(-1;0)


§ 20. Определение производной.

Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения 13 EMBED Equation.3 1415 функции в точке х0 к приращению 13 EMBED Equation.3 1415 аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: 13 EMBED Equation.3 1415
Нахождение производной функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Таблица производных.



Функция
Производная

1
(u(x)+v(x)13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

2
(

13 EMBED Equation.3 1415

3
(13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415

0

6
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

7
(13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415(сложная функция)

13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415

cos x

11
13 EMBED Equation.3 1415

- sin x

12
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Упражнения с решениями.

Найти производную функции:

1) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции:

1) y(x) = -2x3 – 3x2 + 4 на промежутке [-2 ; -0,5]
Решение:
а) Находим критические точки функции. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, то имеются две критические точки: х = 0 и х = -1

б) В промежутке [-2; -0,5] лежит одна из критических точек: х = -1, то
y(-2) = 8, y(-1) = 3, y(-0,5) = 3,5

13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Дидактический материал.

Найти производную функции:

у = х – 5 11) y = 4x cos(2x2 + 3)
у = (х – 5)(2х – 5) 12) y = 5x4 + 4x3 + 3x2 – 2x -1
у = 13 EMBED Equation.3 1415 13) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
у = 1+213 EMBED Equation.3 1415 14) y = 3x2
f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 15) y = 13 EMBED Equation.3 1415
y = -2x-5 16) y = cos(4x-1)
y = 13 EMBED Equation.3 1415 17) y = 13 EMBED Equation.3 1415
f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 18) f(x) = (2x4 – 5x)6
y = 13 EMBED Equation.3 1415 19) y = 13 EMBED Equation.3 1415
y = 13 EMBED Equation.3 1415 20) y = 13 EMBED Equation.3 1415

Найти наибольшее значение функции:

1) f(x) = x4 – 8x2 – 9 на отрезке [-1; 1]
2) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [-8;-1]

§ 21. Понятие первообразной.

Определение: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка 13 EMBED Equation.3 1415(x) = f(x)13 EMBED Equation.3 1415


Таблица первообразных для некоторых функций:

Функция

Общий вид первообразной

k (постоянная)

kx + c

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

sin x

- cos x + C

cos x

sin x

13 EMBED Equation.3 1415
tg x + C

13 EMBED Equation.3 1415
- ctg x + C

13 EMBED Equation.3 1415
ln |x| +C

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415



Три правила нахождения первообразных.

1. Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g, т.е. (F + G13 EMBED Equation.3 1415 = f +g.

2. Если F есть первообразная для f, a k – постоянная, то kf есть первообразная для kf, т.е. (kf13 EMBED Equation.3 1415= kf
3. Если F(x) есть первообразная для функции f(x), а k и b - постоянные, 13 EMBED Equation.3 1415 есть первообразная для функции f(kx + b), т.е.
13 EMBED Equation.3 1415

Упражнения с решениями.

Найти общий вид первообразных для функции:
у = х3 + 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
y = sin(3x – 4)
Решение: F(x) = -13 EMBED Equation.3 1415
y = 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
y = 2sin13 EMBED Equation.3 1415
Решение: F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415


Дидактический материал:


Найдите множество первообразных функции:

1. у = -7х + 4 2. у = 3х2 + 4
3. у = 1 – cos 3x 4. y = 8(11 – 3x)5
5. y = x2 + 13 EMBED Equation.3 1415 6. y = 2x2 + 3x – 8
7. y = 13 EMBED Equation.3 1415 8. y = 13 EMBED Equation.3 1415
9. y = e2x-3 10. y = 20,5x+1
11. y = 13 EMBED Equation.3 1415 12. y = 13 EMBED Equation.3 1415


§22. Криволинейная трапеция и ее площадь.

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функции f, осью Ох и прямыми х = а и х = b.

Т е о р е м а: Пусть f - непрерывная и неотрицательная на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функция, а S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на интервале, содержащем отрезок 13 EMBED Equation.3 1415, то S = F(b) – F(a)


Упражнения с решениями.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

у = 2х – х2 и у = 0
Решение:









a) F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
б) Найдем точки пересечения кривой 2х – х2 с осью абсцисс: 2х – х2 = 0, х = 0, х = 2
т.е. (0;0) и (2;0). Значит, а = 0, b = 2
в) Находим площадь: S = F(b) – F(a) = F(2) – F(0) = 4 - 13 EMBED Equation.3 1415
2) y = x2 и у = 2х
Решение:
a) Для у = х2 F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
Для у = 2х P(x) = x2
б) Найдем координаты точек пересечения заданных
линий:
у = х2 x2 = 2x x(x – 2) = 0 (0;0)
у = 2х => y = 2x => y = 2x

в) Искомая площадь равна разности площадей треугольника ОАВ и криволинейной трапеции ОnBA, т.е. S = SОАВ - SОnBA

Т.к. SOAB = P(2) – P(0) = 4 – 0 = 4
SОnBA= F(2) – F(0) = 13 EMBED Equation.3 1415
S = 4 - 13 EMBED Equation.3 1415

Дидактический материал:

Постройте криволинейную трапецию, ограниченную линиями, и вычислите ее площадь:

у = х2, у = 0, х = 2
у = х3, у = 0, х = 2
у = -х2, у = 0, х = 2
у = 13 EMBED Equation.3 1415, у = 0, х = 1
у = sin x, y = 0, 013 EMBED Equation.3 1415
y = 13 EMBED Equation.3 1415, x = 1, x = 3
y = 2x, y = 0, x = 0, x = 2
-2

0,6

13 EMBED Equation.3 1415

х

-8

-7

-2

-1

0

0

-8

--7

-3



-2

-1

0

1

0

1

2

х

у

0

2

B

A

x

y

n



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativetEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativelEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15

Приложенные файлы


Добавить комментарий