«Реферат на тему «Исследование квадратных уравнений»


«Исследование квадратных уравнений».

Автор: Куракин Андрей

ГБОУ школа 1375 11 класс
Научный руководитель: Гверцители Софио,
учитель математики
ГБОУ школа 1375 .
Москва - 2016




Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc444181398" 14Введение 13 PAGEREF _Toc444181398 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc444181399" 14Цель работы: 13 PAGEREF _Toc444181399 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc444181400" 14Основные этапы работы: 13 PAGEREF _Toc444181400 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc444181401" 14Из истории квадратных уравнений 13 PAGEREF _Toc444181401 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc444181402" 14Численные методы решения нелинейных уравнений. 13 PAGEREF _Toc444181402 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc444181403" 14Этапы приближенного решения нелинейных уравнений. 13 PAGEREF _Toc444181403 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc444181404" 141.3. Уточнение корней методом деления отрезка пополам. 13 PAGEREF _Toc444181404 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc444181405" 14Алгоритм приближенного вычисления корня методом половинного деления. 13 PAGEREF _Toc444181405 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc444181406" 14Метод хорд 13 PAGEREF _Toc444181406 \h 14111515
13 LINK \l "_Toc444181407" 14Метод касательных 13 PAGEREF _Toc444181407 \h 14121515
13 LINK \l "_Toc444181408" 14Комбинированный метод хорд и касательных 13 PAGEREF _Toc444181408 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc444181409" 14Графический метод 13 PAGEREF _Toc444181409 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc444181410" 14Метод половинного деления 13 PAGEREF _Toc444181410 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc444181411" 14Уточнение корня уравнения методом половинного деления. 13 PAGEREF _Toc444181411 \h 14151515
13 LINK \l "_Toc444181412" 14Разложение левой части уравнения на множители. 13 PAGEREF _Toc444181412 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc444181413" 14Решение квадратных уравнений по формуле. 13 PAGEREF _Toc444181413 \h 14171515
13 LINK \l "_Toc444181414" 14Решение уравнений с использованием теоремы Виета. 13 PAGEREF _Toc444181414 \h 14171515
13 LINK \l "_Toc444181415" 14Решение уравнений способом «переброски». 13 PAGEREF _Toc444181415 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc444181416" 14Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 13 PAGEREF _Toc444181416 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc444181417" 14Графическое решение квадратного уравнения. 13 PAGEREF _Toc444181417 \h 14191515
13 LINK \l "_Toc444181418" 14Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. 13 PAGEREF _Toc444181418 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc444181419" 14Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. 13 PAGEREF _Toc444181419 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc444181420" 149. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. 13 PAGEREF _Toc444181420 \h 14211515
13 LINK \l "_Toc444181421" 14Геометрический способ решения квадратных уравнений. 13 PAGEREF _Toc444181421 \h 14221515
13 LINK \l "_Toc444181422" 14 Решение квадратных уравнений с помощью полуокружности и ломаной 13 PAGEREF _Toc444181422 \h 14221515
13 LINK \l "_Toc444181423" 14Заключение 13 PAGEREF _Toc444181423 \h 14241515
13 LINK \l "_Toc444181424" 14Список литературы: 13 PAGEREF _Toc444181424 \h 14251515
15



Введение
Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Поэтому важность и актуальность изучения способов, методов решения квадратных уравнений несомненна. Также интересна история развития проблем решения квадратных уравнений и многообразие рациональных способов решений квадратных уравнений, которые не рассматриваются в школьном курсе математики. В связи с этим я задалась целью найти все известные и неизвестные школьникам способы решения квадратных уравнений

Цель работы:
изучить историю развития квадратных уравнений;
- рассмотреть все виды квадратных уравнений и описать способы их решения;
- подготовить пособие «Алгоритмы решения квадратных уравнений» для учащихся.
- по собранному материалу сделать электронное пособие «Квадратные уравнения»

На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы.

Основные этапы работы:
изучить теоретический материал;
сравнить методы решения уравнений;
выбрать оптимальный метод решения;
написать программы решения уравнений.
разработать пособие для решения квадратных уравнений
Написанную программу планируется использовать на уроках математики в качестве учебного пособия.

Из истории квадратных уравнений
Древний Вавилон. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, полные квадратные уравнения: 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Квадратные уравнения в «Арифметике» Диофанта.
В «Арифметике» Диофанта содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Решая задачу «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96», Диофант рассуждает так: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х.
(10 + х)(10 - х) = 96, 100 - х2 = 96, х2 - 4 = 0 , Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Индия. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а > 0. В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными.
Ал – Хорезми. В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.
Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. Решает задачу: «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х), примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это есть корень.
Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний в других странах Европы.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, кроме положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Теорема Виета. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A2, равно BD, то A равно В и равно D». Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, означало у него неизвестное (наше х), а В,D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х - х2 = ab, т.е.
х2 - (а + b)х + аb = 0, то х1 = а, х2 = b.
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако Виет не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Численные методы решения нелинейных уравнений.
Пусть имеется уравнение вида f (x) = 0.
где f (x) - заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций - показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)
Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.
Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.
Поставим задачу найти такое приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство
·x* – xпр
·< ( , где ( (эпсилон) – малая положительная величина – допустимая ошибка, которую мы можем заранее задать по своему усмотрению. Если корень найден с точностью (, то принято писать x* = xпр ± (.
Будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.











Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:
Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f (x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения (1), необходимо построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415. Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения (рис. 1).
Рис. 1. Графическое отделение корней (1-ый способ).
На практике же бывает удобнее заменить уравнение (1) равносильным ему уравнением
13 EMBED Equation.3 1415, 2)
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - более простые функции, чем 13 EMBED Equation.3 1415. Абсциссы точек пересечения графиков функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 дают корни уравнения (2), а значит и исходного уравнения (1) (рис.2).

Рис 2. Графическое отделение корней (2-ой способ).

Пример 1. Отделить графически корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Для решения задачи построим график функции 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 3).

Рис. 3. График функции 13 EMBED Equation.3 1415.

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку 13 EMBED Equation.3 1415, второй – отрезку 13 EMBED Equation.3 1415. Так как рассматриваемое уравнение имеет третью степень, то должен существовать еще один корень на интервале 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Отделить графически корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Преобразуем уравнение к виду 13 EMBED Equation.3 1415 и построим графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 4).

Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит отрезку 13 EMBED Equation.3 1415.

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1. Если непрерывная функция 13 EMBED Equation.3 1415 принимает на концах отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 значения разных знаков, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения (1) (рис. 5).

Рис. 5. Существование корня на отрезке.

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная 13 EMBED Equation.3 1415 сохраняет знак внутри отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f (x) = 0 (рис. 6).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 6. Существование единственного корня на отрезке.

Пример 3. Подтвердить аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Для отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 имеем: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 Значит, 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, корень отделён правильно.

Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Наиболее распространенными являются метод деления отрезка пополам, метод касательных (Ньютона), метод секущих (хорд).

1.3. Уточнение корней методом деления отрезка пополам.
Метод деления отрезка пополам имеет другие названия: метод половинного деления, метод дихотомии, метод проб, метод бисекций.
Метод дихотомии получил свое название от древнегреческого слова
·
·
·
·
·
·
·
·
·, что в переводе означает деление надвое. Его мы используем довольно часто. Допустим, играя в игру "Угадай число", где один игрок загадывает число от 1 до 100, а другой пытается его отгадать, руководствуясь подсказками "больше" или "меньше". Логично предположить, что первым числом будет названо 50, а вторым, в случае если оно меньше - 25, если больше - 75. Таким образом, на каждом этапе неопределенность неизвестного уменьшается в 2 раза. Т.е. даже самый невезучий в мире человек отгадает загаданное число в данном диапазоне за 7 предположений вместо 100 случайных утверждений.
Алгоритм метода половинного деления основан на теореме Больцано - Коши о промежуточных значениях непрерывной функции и следствии из неё.
Теорема Больцано - Коши: если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает любое значение между ними.
Следствие (теорема о нуле непрерывной функции): если непрерывная функция принимает на концах отрезка положительное и отрицательное значения, то существует точка, в которой она равна 0.

Пусть корень уравнения f (x) = 0 отделен на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Алгоритм приближенного вычисления корня методом половинного деления.
Исходные данные:
f (x) – функция;

· – требуемая точность;
a, b – границы заданного интервала (границы поиска корня).
Результат: xпр – приближенный корень уравнения f (x) = 0.
Метод решения:
Шаг 1. Выбрать середину 13 EMBED Equation.3 1415 отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 в качестве приближенного корня.
Шаг 2. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то c – искомый корень уравнения, на этом прекращаем вычисления. В противном случае перейти к шагу 3.
Шаг 3. Точный корень уравнения x* отличается от c не более чем на половину длины отрезка, т.е. не более чем на 13 EMBED Equation.3 1415 (полученная точность). Проверяем условие 13 EMBED Equation.3 1415. Если условие не выполняется, т.е. полученная точность нас не устраивает (она больше, чем требуемая), то перейти к шагу 4; в противном случае прекратить вычисления, поскольку мы достигли требуемой точности, и приближенным корнем уравнения f (x) = 0 считать середину c отрезка 13 EMBED Equation.3 1415.
Шаг 4. Определить интервал дальнейшего поиска корня. Из двух образовавшихся при делении отрезков переходим к той из его половин 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, на концах которого функция принимает значения разных знаков.
Случай 1 (рис. 7). Корень на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, граница b сдвигается влево – заменить b на с: b:= c.
Случай 2 (рис. 7). Корень на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, граница a сдвигается вправо – заменить a на с: a:= c.

Рис. 7. Графическая иллюстрация метода половинного деления.

Перейти к шагу 1.
Основное достоинство метода состоит в том, что его скорость сходимости не зависит от вида функции f (x). Данный метод не имеет дополнительных условий сходимости, кроме 13 EMBED Equation.3 1415.
Метод хорд
При решении уравнения методом хорд нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [a, b] заменяется линейной, в качестве которой берется хорда – прямая, стягивающая концы нелинейной функции. Вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится "хорда", соединяющая точки (a, f(a)) и (b, f(b)).
При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b] на котором существует только одно решение, и точность
·. Затем через две точки с координатами (a, f(a)) и (b, f(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс, точка c. Если при этом f(a)
·f(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |f(c)|<
·.

f(a)
·f(c)<0 (да)
f(a)
·f(c)<0 (нет)

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415


Запишем уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (a, f(a)) и (b, f(b)):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Прямая заданная полученным уравнением пересекает ось абсцисс при условии у=0. Найдем точку пересечения хорды с осью Х.
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415
Далее необходимо вычислить значение функции в точке с. Если | f(c) | < 0, то полученное число и есть корень уравнения с выбранной точностью, иначе необходимо построить следующую хорду и выполнить все рассмотренные ранее действия.
Блок-схема метода хорд
Метод касательных
Метод касательных, иначе метод Ньютона впервые был предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном, под именем которого и обрел свою известность.
Идея, на которой основан метод касательных, аналогична той, которая реализована в методе хорд, только в качестве прямой берется касательная, проводимая в текущей точке данной функции f(x).
В одной из точек промежутка [a;b], в котором находится корень уравнения, например с, проведем касательную.



Уравнение этой прямой y=kx + m.
Так как данная прямая является касательной и проходит через точку 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Отсюда следует:


Найдем точку пересечения касательной с осью Х:


Если 13 QUOTE 1415, то требуемая точность достигнута и x – корень уравнения; иначе, переменной с необходимо присвоить x, провести касательную через новую точку с и так продолжать до тех пор, пока 13 QUOTE 1415.
Осталось решить, что выбрать в качестве начального приближения с.
В этой точке должны совпадать знаки функции и её второй производной. А так как нами сделано допущение, что вторая и первая производные не меняют знак, то можно проверить условие 13 QUOTE 1415 на обоих концах интервала и в качестве начального приближения взять ту точку, где оно выполняется.

Комбинированный метод хорд и касательных
Если выполняются условия:
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415 сохраняют знак на отрезке 13 QUOTE 1415.
то приближения корня 13 QUOTE 1415 уравнения 13 QUOTE 1415 по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.
Алгоритм решения уравнения комбинированным методом:
Вычислить значения функции 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415.
Найти производные 13 QUOTE 1415.
Для метода касательных выбирается в качестве первого приближения 13 QUOTE 1415 выбирается тот из концов отрезка 13 QUOTE 1415, в котором выполняется условие 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 одного знака.
Приближения корней находятся:
а) по методу касательных: 13 QUOTE 1415,
б) по методу хорд: 13 QUOTE 1415.
Вычисляется первое приближение корня: 13 QUOTE 1415 .
Проверяется выполнение условия: 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415- заданная точность.
Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по предыдущей схеме.
В этом случае отрезок, на котором расположен корень, сужается и имеет вид 13 QUOTE 1415.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение 13 QUOTE 1415, при котором 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 совпадут с точность 13 QUOTE 1415.

Графическое решение таких уравнений можно осуществить путем построения компьютерных моделей:
построением графика функции в системе объектно-ориентированного программирования Visual Basic или Turbo Delphi
в электронных таблицах Microsoft Excel или OpenOffice.org Calc путем построения диаграммы типа График
Пример программы:
Найдем корень уравнения х3-cosx=0 приближенными методами (графическим и численным методом деления пополам числового отрезка аргумента)
Формальная модель задана уравнением, для нахождения корня уравнения разработаем компьютерную модель на языке Visual Basic.
Графический метод
1 Dim Graph1 As Graphics
Dim Pen1 As New Pen (Color.Black, 2)
Dim drawBrush As New SolidBrush (Color.Black)
Dim drawFont As New Font (“Arial”, 10)
Dim X, Y As Single
Графическое решение уравнения
Private Sub Button1_Click()
Graph1=Me.PictureBox1.CreateGraphics()
Graph1.Clear (Color.White)
Печать шкал математической системы координат в компьютерной системе координат
For X=-150 To 150 Step 50
Graph1.DrawString (X/100, drawFont,_
drawBrush, X+150, 50)
Next X
For Y=0 To 200 Step 50
Graph1.DrawString ((Y-150)/100, drawFont,_
drawBrush, 150, 200-Y)
Next Y
Преобразование компьютерной системы координат в математическую систему координат
Graph1.ScaleTransform(1, -1) поворот оси Y
Graph1.TranslaterTransform (150, -50) Сдвиг по осям X и Y
Рисование осей математической системы координат
Graph1.DrawLine (Pen1, -150, 0, 300, 0) ось Х
Graph1.DrawLine (Pen1, 0, -150, 0, 50) ось Y
For X=-150 To 150 Step 50 засечки на оси Y
Graph1.DrawLine (Pen1, X, -5, X, 5)
Next X
For Y=-100 To 100 Step 50 засечки на оси Y
Graph1.DrawLine (Pen1, -5, Y, 5, Y)
Next Y
График функции
For X=-1.5 To 1.5 Step 0.01
Y=X^3-Math.Cos(X)
Graph1.DrawEllipse (Pen1, X*100, Y*100, 1, 1)
Next X
End Sub
График функции пересекает ось Х один раз, следовательно, уравнение имеет один корень. По графику грубо приближенно можно определить, что х
·0.8 cм
Метод половинного деления
Уточнение корня уравнения методом половинного деления.
При решении уравнения, как правило, заранее задается допустимая погрешность е приближенного значения корня E. В процессе уточнения корней требуется найти их приближенные значения, отличающиеся от точных не более чем на е.
Гораздо более эффективным является так называемый метод половинного деления.
Пусть уравнение F(x)=0 имеет на отрезке [а; b] единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [а; b] пополам точкой с = (а + b)/2. Если F(c) <> 0 (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: F(x) Меняет знак либо на отрезке [а; с] (рис. 2.6, а), либо на отрезке [a; b] (рис. 2.6, б). Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.
 

 
Рис. 2.6. К решению уравнения F(x) методом половинного деления:
а функция F(x) меняет знак на отрезке [а; с];
б функция F(x) меняет знак на отрезке [c; b]
Метод половинного деления вполне можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на каком-то этапе процесса получен отрезок [а; b], содержащий корень, то, приняв приближенно х = (а + b)/2, получим ошибку, не превышающую значения

 (заметим, что речь в данном случае идет о погрешности метода). Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на компьютере (блок-схему алгоритма см. на рис. 2.7). Отметим, что даже если на каком-то этапе деления отрезка пополам получится F(c) = 0, это не приведет к сбою алгоритма.
 

 
Рис. 2.7. Блок-схема алгоритма уточнения корня уравнения F(x)=0 на отрезке [а; b] с точностью е методом половинного деления

В курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.
Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0,
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.
Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2 х 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3)2 Преобразуя левую часть уравнения х2 + 6х - 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32, имеем: х2 + 6х - 7 = х2 + 2 х 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 – 16 Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7. [1]
Решение квадратных уравнений по формуле.
ах2 + bх + с = 0, а
· 0 х1,2=13 EMBED Equation.3 1415 (1) Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + c = 0. (2) Его корни удовлетворяют теореме Виета: x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p
По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней: если сводный член q положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны. Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.
б) Если свободный член q отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 . Например, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.
Решение уравнений способом «переброски».
Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а
· 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда 13 QUOTE 1415 , тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем 13 QUOTE 1415 , 13 QUOTE 1415
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. [ 5 ]
Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета
у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5
у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3. Ответ: 2,5; 3.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
1. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а
· 0.
а) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а
· 0, получим приведенное квадратное уравнение x2 + b/a x + c/a = 0. Согласно теореме Виета
x1 + x2 = - b/a,
x1x2 = 1 c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a,
x1x2 = - 1 ( - c/a),
т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать. Например: решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = -208/345. Ответ: 1; -208/345.
2. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать:

Пример. Решим уравнение 3х2 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = 14, с = 16, k = 7;
D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;
Ответ: 2; 8/3
Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней 13 QUOTE 1415 примет вид: 13 QUOTE 1415.
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р четное число. [4]
Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.
График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:
- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Примеры.
1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.
2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 - 2х + 1 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х - 1. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 1. Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.
3) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4).
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х - 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 5. Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Рассмотрим способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC, откуда OC = OB OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Итак:
1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SB, или 13 QUOTE 1415, окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (13 QUOTE 1415окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке х1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.
Пример.
Решим уравнение х2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам: Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1). Ответ: х1 = - 1; х2 = 3. [ 5 ]
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0 позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11): Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Примеры.
1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни
z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).
2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 - 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
3) Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 - 5t + 2,64 = 0, решим посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0. [ 2 ]
Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми. Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25. Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим 13 QUOTE 1415/
Решение квадратных уравнений с помощью полуокружности и ломаной
Один из приближенных графических методов решения уравнения х2 – а, где а> 0 состоит в построении полуокружности диаметра 1+а и затем в измерении длины перпендикуляра, выделенного на рисунке. Способ для приближенного решения алгебраических уравнений любых степеней были предложены французским инженером Лиллем в 1876 году. Сущность этого метода рассмотрим на примере квадратного уравнения общего вида: ах2 + bх + с = 0, где а
· 0 и b
·0 (случай b= 0 рассмотрен выше). Построим схему трехчлена р(х), которая строится по коэффициентам и представляет собой ломаную линию ОАВС со следующими свойствами:
Точка О выбирается на плоскости произвольно; 2. ОА =
·а
·, АВ =
·b
·, и ВС =
·с
·;
Отрезок ОА откладывается вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0;
Отрезок АВ откладывается впаво, если b > 0, и влево, если b < 0;
Отрезок BC откладывается вниз , если c > 0, и вверх, если c < 0, (С совпадает с В, если с=0)
По построенной схеме квадратного трехчлена легко приближенно (графически) найти его корни. Например, для трехчлена р(х)= х2- 4х+2 его схема – ломаная ОАВС- показана на рис. 9. Построим на отрезке ОС как на диаметре полуокружность и рассмотрим ломаную ОМВС. Ясно, что угол ОМС= 900
Если угол АОМ =
·, то АМ = ОА·tg
· = tg
· и МВ = АВ – АМ = 4 - tg
·. Треугольники ОАМ и СМВ подобны, поэтому угол ВМС =
·, ВС = МВtg
· и тем самым, 2 = (4 -tg
·)·tg
·. Следовательно, число х = tg
· является корнем рассматриваемого уравнения.




Заключение
Были изучены методы приближенного решения уравнений:
метод половинного деления
метод хорд
метод касательных
комбинированный метод хорд и касательных.
: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи, до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
. 1) Изучение научно – методической литературы по теме выполненной работы показали, что использование различных способов решения квадратных уравнений является важным звеном изучении математики, повышает интерес, развивает внимание и сообразительность.
Система использования различных способов решений уравнений на разных этапах урока является эффективным средством активизации учащихся, положительно влияет на повышение качества знаний, умений и навыков учащихся, развивает умственную деятельность.
Основным в решении квадратных уравнений является правильно выбрать рациональный способ решения и применить алгоритм решения
Изучение данного вопроса позволит нам компенсировать недостаточность в знаниях по обозначенной теме, оценить свой интеллектуальный уровень, выпустить презентацию «Способы решения квадратных уравнений» для работы учителей


Список литературы:
Н.И.Данилина, Н.С.Дубровская. Численные методы. Москва. Высшая школа.
А.А.Кузнецов, Н.В.Апатова. Основы информатики. 8-9 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений. Москва. Дрофа.
Н.Д.Угринович. Информатика и ИКТ. Учебник для 11 класса. Профильный уровень. Бином. Лаборатория знаний.
Л.З.Шауцукова. Информатика. Учебное пособие для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Москва. Просвещение.
Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.
2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.
3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.
4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.
5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.
6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.
7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]










13 PAGE \* MERGEFORMAT 141415



Приближенные методы

Отделение корней

Решение уравнений с заданной точностью

Графический метод
f(x)=0, где f(x) - непрерывная функция

Численные методы
Метод половинного деления
Метод хорд
Метод касательных
Комбинированный метод


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

О



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

О

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415

y

x

O

a

b

x1

x2

x3

y = f (x)

y

O

x

a

b

x*

y

x

a

b

x*

O

13 EMBED Equation.3 1415>0

13 EMBED Equation.3 1415<0

y

x

1)

2)

a

c

b

O

a



1

В

М

М

О



л Ѓ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Н
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ѓ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·!
·
·
·
·
·
·
·
·
·ё
·
·
·
·
·°
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·з
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·„
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·њ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·v
·
·
·
·н
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·°
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·A
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·@
·
·
·
·а
·
·
·
·
·
·
·“
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ы
·Џ
·
·
·
·
·
·
·
·
·П
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·—
·
·
·°
·A
·
·
·Ђ
·
·
·
·
·
·
·
·№
·Ђ
·
·
·°
·ђ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·K
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·!
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ѓ
·
·
·
·Ѓ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ђ
·
·
·
·
·@
·
·
·
·
·@
·
·
·
·Б
·
·
·
·д
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·м
·j
·Ђ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ђ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·‚
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·J
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·@
·
·©
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·°
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·G
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·†
·
·
·
·Ђ
·
·
·
·C
·
·
·
·
·@
·
·
·
·
·!
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·°
·
·
·
·
·°
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·‚
·
·
·
·†
·
·
·
·A
·
·
·
·C
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·!
·
·
·
·
·
·°
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·У
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·y
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·6
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·‹
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Љ
·
·
·
·В
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ї
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ќ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·x
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·@
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·?
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·§
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ђ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Р
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·З
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Щ
·
·
·
·a
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·•
·
·Є
·
·
·’
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·‰
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·џ
·
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий