«Реферат «Исследование гармонических колебаний»

Содержание

Введение 2
Механические колебания
Виды колебаний 3
Динамика периодического движения 3
Гармонические колебания 4
3.1. Гармонические колебания и способы их описания 4
3.2. Определение гармонических колебаний 5
3.3. Колебания под действием силы упругости 6
3.4. Колебания под действием силы тяжести 7
3.5. Законы колебания математического маятника 3.6. Фигуры Лиссажу 8
Заключение 9
Литература 10
Приложение
Лабораторная работа №1
Лабораторная работа №2
Лабораторная работа №3
Лабораторная работа №4
Лабораторная работа №5
Лабораторная работа №6
Лабораторная работа №7
Лабораторная работа №8






I.Введение
На уроках физики меня заинтересовали колебательные процессы потому что, колебания широко распространены в природе и технике.
Движение маятника в часах, землетрясение, переменный ток в электрической цепи, процессы радиопередачи и радиоприема – это различные, не связанные друг с другом процессы. Каждый из них имеет свои особые причины, но их объединяет один признак – признак общности характера изменения физических величин с течением времени. Эти и многие другие процессы различной физической природы во многих случаях оказывается целесообразным рассматривать как один особый тип физических явлений – колебания.
Во многих случаях колебания играют отрицательную роль. Колебания моста, возникающие из-за толчков, при прохождении поезд через стыки рельсов, колебания (вибрации) корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта, вибрации крыльев самолета (флаттер) – все это процессы, которые могут привести к катастрофическим последствиям. В подобных случаях задача заключается в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний или, помешать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров. Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники. Так, например, на колебательных процессах основана вся радиотехника.
Общий признак физических явлений, называемых колебаниями – это их повторяемость во времени. При различной физической природе многие колебания происходят по одинаковым законам, что позволяет применять общие методы для их описания и анализа.
Эту тему я посчитал актуальной для себя и решил написать программу, позволяющую наглядно демонстрировать траектории сложных колебаний. Стала понятной цель и задача работы: исследовать свободные колебания различных колебательных систем.

Исходя из целей, были сформулированы задачи:
Изучить специальную литературу с целью теоретической разработки данной темы.
Изучить уровень теоретической разработки опытов по исследованию колебательных систем.
Исследовать зависимость периодов колебаний различных механических систем от их начальных параметров.
Провести серию лабораторных работ по изучению колебательных процессов
Написать программу для построения фигур Лиссажу.

II. Механические колебания
1. Виды колебаний
В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Свободные колебания происходят в системе предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.
При вынужденных колебаниях колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.
Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием.
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого–либо параметра системы.
2. Динамика периодического движения
Принципиально возможны два варианта колебаний в системе: под действием внешних и внутренних сил.
Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием внешней периодической силы. Примером вынужденных колебаний является раскачивание боксерской груши при периодических ударах в нее. К вынужденным колебаниям относится движение иглы швейной машины.
Свободные (собственные) колебания – колебания, происходящие под действием внутренних сил в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе. Такими колебаниями являются, например, колебания маятника часов. Главной особенностью систем, в которых происходят свободные колебания, является наличие у них положения устойчивого равновесия.
Необходимые условия для возникновения свободных колебаний:
а) Наличие энергии, избыточной по сравнению с энергией системы в положении устойчивого равновесия;
б) Работа силы трения в системе должна быть значительно меньше избыточной энергии.
В отсутствии этих условий колебания быстро затухают или не возникают вообще.
При рассмотрении колебательного движения рассматривают период и амплитуду колебаний.
Период колебаний – интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание. Амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия. Именно при изучении колебательных процессов стало понятно, что явления разной природ могут подчиняться одинаковым законам и описываться одними и теми же уравнениями.
3. Гармонические колебания
3.1. Гармонические колебания и способы их описания
Из большого числа различных колебаний в природе и технике особенно часто встречаются гармонические колебания. Гармоническими называют колебания, совершающиеся по закону синуса или косинуса: Х=Х cos (wt+
·) или Х=Х sin (wt+
·),
Где Х – величина, испытывающая колебания; t – время; w – амплитуда колебаний.
Наряду с аналитическим способом описания гармонических колебаний широко используют графические способы их представления.
Первый способ – задание графика колебаний в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывают время, по оси ординат – значение изменяющейся величины Х. Для гармонических колебаний этот график – синусоида или косинусоида.
X

t






Второй способ представления колебательного процесса – спектральный. По оси ординат отсчитывают амплитуду, а по оси абсцисс – частоту гармонических колебаний. Гармонический колебательный процесс в этом случае представлен вертикальным прямой длиной Х, проведенным из точки с координатой w на оси абсцисс.
Х




W0 w
Третий способ описания гармонических колебаний – метод векторных диаграмм.
3.2. Определение гармонических колебаний
Малые колебания вблизи положения равновесия

Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначили через x. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой, в частности прямой линии и т.п. Потенциальная энергия системы в этом случае будет функцией одной переменной х:
13EMBED Equation.31415
Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении функция 13EMBED Equation.31415(х) имеет минимум. Условимся координату х и потенциальную энергию 13EMBED Equation.31415 отсчитывать от положения равновесия. Тогда 13EMBED Equation.31415. Разложим функцию 13EMBED Equation.31415(x) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь.13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
Поскольку 13EMBED Equation.31415при х = 0 имеет минимум, 13EMBED Equation.31415, а 13EMBED Equation.31415положительна. Кроме того, по условию 13EMBED Equation.31415. Введя обозначение 13EMBED Equation.31415, получим:
13EMBED Equation.31415
Это выражение идентично с выражением 13EMBED Equation.31415 для потенциальной энергии деформированной пружины. Используя соотношение между потенциальной энергией и консервативной силой, найдем:
13EMBED Equation.31415 - проекция силы на направление х.
В дальнейшем индекс х при обозначении силы будем опускать и писать:
13EMBED Equation.31415
Это выражение тождественно выражению для упругой силы деформированной пружины. Поэтому силы вида 13EMBED Equation.31415, независимо от их природы, называют квазиупругими. Эти силы всегда направлены к положению равновесия, а модуль их пропорционален величине отклонения системы от равновесного положения. Такие силы еще называют возвращающими.
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с m.
В положении равновесия сила тяжести mg уравновешивается упругой силой 13EMBED Equation.31415 :
13EMBED Equation.31415 (1)
Обозначим смещение шарика из положения равновесия координатой х, ось х направим вниз, а нуль оси х совместим с положением равновесия шарика.
Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х, то удлинение пружины станет 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415 и проекция результирующей силы на ось х примет значение:

13EMBED Equation.31415 или, учитывая (1):
13EMBED Equation.31415,т.е. результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер почти силы.
Сообщим шарику смещение 13EMBED Equation.31415, после чего предоставим систему самой себе.
Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:
13EMBED Equation.31415
Введем обозначение 13EMBED Equation.31415, получим:
13EMBED Equation.31415- (2)
- дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
13EMBED Equation.31415 , (3)
где x - смещение точки от положения равновесия, A и 13EMBED Equation.31415 - произвольные постоянные.
Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса или синуса, называются гармоническими колебаниями.
Таким образом, движение системы, находящейся под действием силы вида 13EMBED Equation.31415, представляет собой гармоническое колебание.
Параметры гармонического колебания:
А – амплитуда, т.е. максимальное смещение от положения равновесия;
13EMBED Equation.31415- фаза колебаний, которая измеряется в радианах;
13EMBED Equation.31415 - начальная фаза, т.е. фаза в момент времени 13EMBED Equation.31415;
T - период колебаний, т.е. время одного полного колебания;
13EMBED Equation.31415 - частота колебаний, т.е. число колебаний в единицу времени. (измеряется в герцах, 13EMBED Equation.31415).
Поскольку косинус – функция периодическая с периодом 13EMBED Equation.31415, то
13EMBED Equation.31415 - циклическая частота.
В случае колеблющегося шарика, подвешенного на пружине:
13EMBED Equation.31415
Продифференцировав x(t) по времени, получим выражение для скорости:
13EMBED Equation.31415,
а, продифференцировав еще раз, найдем выражение для ускорения:
13EMBED PBrush1415
На рисунке сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.
13EMBED Equation.31415
Из сравнения этих выражений следует, что скорость v опережает смещение х по фазе на 13EMBED Equation.31415, а ускорение а и смещение х находятся в противофазе.
Движение маятника.
В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении от положения равновесия на угол 13EMBED Equation.31415 возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен:
13EMBED Equation.31415,
где m – масса маятника, l – расстояние между точкой подвеса О и центром инерции C маятника. Знак “ – ” имеет тоже значение, что и в случае квазиупругой силы 13EMBED Equation.31415. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, можно написать основной закон динамики:
13EMBED Equation.31415
В случае малых колебаний это уравнение переходит в уже известное нам уравнение незатухающих гармонических колебаний:
13EMBED Equation.31415,
где через 13EMBED Equation.31415 обозначена в данном случае следующая величина:
13EMBED Equation.31415
Из этого уравнения следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания. При этом период колебаний физического маятника определяется выражением:
13EMBED Equation.31415
Проведенное выше рассмотрение имеет место и для математического маятника. В этом случае маятник представляет собой материальную точку, момент инерции которой относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен 13EMBED Equation.31415. С учетом этого, получаем формулу для периода колебаний математического маятника:
13EMBED Equation.31415
Для физического маятника вводится понятие приведенной длины 13EMBED Equation.31415. Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника, т.е. 13EMBED Equation.31415.
Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку 13EMBED Equation.31415 на рисунке). Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания 13EMBED Equation.31415 приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания точка подвеса становится новым центром качания.
II. Сложение колебаний
Что произойдет, если на маятник оказать влияние?
Колебания можно складывать. Если они направлены в одну сторону, то получаются колебания, размах которых равняется сумме размахов слагаемых колебаний. Если же направления колебаний одинакового размаха противоположны, то колебания вычитаются друг из друга и прекращаются
А если складывать два взаимно перпендикулярные колебания, сообщив их одному маятнику? Ведь нить подвеса позволяет ему колебаться в любой вертикальной плоскости. Посмотрим, что получится в результате этого сложения.
Подвесим маятник в таком месте, чтобы его колебаниям ничто не мешало (например, дверной проем). Отклоним его вправо и, перед тем как опустить, толкнем вперед. Маятник получил сразу два направления движения: ему надо качаться справа налево и одновременно вперед и назад, поскольку мы его так толкнули. Направления колебаний перпендикулярны друг другу, они складываются, и маятник теперь описывает эллипсы и даже окружности.

Энергия гармонических колебаний

Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. Колеблющаяся система обладает потенциальной энергией:
13EMBED PBrush1415
13EMBED Equation.31415,
где k – положительная постоянная. Качественно колебательное движение можно описать с помощью потенциальной кривой, т.е. графика функции 13EMBED Equation.31415. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия E состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения:
13EMBED Equation.31415.
При прохождении системы через положение равновесия полная энергия системы состоит только из кинетической энергии, которая достигает своего наибольшего значения
13EMBED Equation.31415.
Эти выражения равны друг другу, так как 13EMBED Equation.31415. Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергия гармонического колебания.
13EMBED Equation.31415- кинетическая энергия гармонического колебания.
13EMBED Equation.31415 - потенциальная энергия гармонического колебания.
Сложив эти два выражения и приняв во внимание, что 13EMBED Equation.31415, получим формулу для полной энергии:
13EMBED Equation.31415
Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной.

Затухающие гармонические колебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления 13EMBED Equation.31415 пропорциональна величине скорости:
13EMBED Equation.31415,
где R – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила 13EMBED Equation.31415 имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось х имеют разные знаки.
Второй закон Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид:

13EMBED Equation.31415

Применив обозначения:

13EMBED Equation.31415

получим: 13EMBED Equation.31415 - (4)
- дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.
Отметим, что 13EMBED Equation.31415 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при R = 0). Эту частоту называют собственной частотой системы.
При не слишком сильном затухании (при 13EMBED Equation.31415 < 13EMBED Equation.31415) общее решение уравнения (4) имеет вид: 13EMBED Equation.31415, (5)

13EMBED PBrush1415

где A0 и 13EMBED Equation.31415 - произвольные постоянные, 13EMBED Equation.31415 - величина, определяемая формулой 13EMBED Equation.31415. На рисунке дан график функции (5). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.
В соответствии с видом функции (5) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты 13EMBED Equation.31415 с амплитудой, изменяющейся по закону:

13EMBED Equation.31415.
рмонический колебание затухающий равновесие
Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t), причем величина 13EMBED Equation.31415 представляет собой амплитуду в начальный момент времени.
Скорость затухания колебаний определяется величиной 13EMBED Equation.31415, которую называют коэффициентом затухания.
Период затухания колебаний равен:

13EMBED Equation.31415 (6)

При незначительном сопротивлении среды (13EMBED Equation.31415) период колебаний практически не изменяется и равен 13EMBED Equation.31415. Последующие наибольшие отклонения в какую–либо сторону (например, 13EMBED Equation.31415 и т.д. на рис.) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 и т.д.
Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:
13EMBED Equation.31415

Это соотношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания.

13EMBED Equation.31415 . (7)

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания 13EMBED Equation.31415. Выразив в соответствии с (7) 13EMBED Equation.31415 через 13EMBED Equation.31415и 13EMBED Equation.31415, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде:

13EMBED Equation.31415.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

13EMBED Equation.31415, называемая добротностью колебательной системы.

Ранее мы установили, что полная энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды. В соответствии с этим энергия системы при затухающих колебаниях убывает со временем по закону:

13EMBED Equation.31415,

где 13EMBED Equation.31415 - значение энергии при 13EMBED Equation.31415.
Из формулы периода затухающих колебаний (6) следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При 13EMBED Equation.31415 период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим.
При 13EMBED Equation.31415 решение дифференциального уравнения (5) оказывается равным сумме двух экспонент:

13EMBED PBrush1415

13EMBED Equation.31415 ,

где 13EMBED Equation.31415и 13EMBED Equation.31415 - постоянные, значения которых зависят от начальных условий (от13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415),

13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.

Движение в этом случае носит непериодический характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.


Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, которые происходят в колебательной системе под действием внешней вынуждающей силы:

13EMBED Equation.31415,

где 13EMBED Equation.31415 - частота внешней силы.
В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

13EMBED Equation.31415

Введем обозначения

13EMBED Equation.31415

Тогда получим

13EMBED Equation.31415 - (8)

- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Это уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем (см. уравнение (4) и его решение (5)).
Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (8). Это частное решение имеет вид:

13EMBED Equation.31415, (9)
где 13EMBED Equation.31415.

Функция (9) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний

13EMBED Equation.31415 (10)

пропорциональна амплитуде вынуждающей силы, а также зависит от частоты 13EMBED Equation.31415 вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания 13EMBED Equation.31415 также зависит от частоты вынуждающей силы.

13EMBED PBrush1415
На рисунке приведены графики функции 13EMBED Equation.31415 при различных значениях коэффициента затухания 13EMBED Equation.31415. Как видно из рисунка, при некоторой определенной для данной системы частоте 13EMBED Equation.31415 амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота 13EMBED Equation.31415 - резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту 13EMBED Equation.31415, нужно найти максимум функции (10) или, что тоже самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе.
Продифференцировав это выражение по 13EMBED Equation.31415 и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее 13EMBED Equation.31415:

13EMBED Equation.31415.

Это уравнение имеет три решения: 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла. Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение

13EMBED Equation.31415. (11)

Подставив это значение частоты в (10), получим выражение для амплитуды при резонансе:

13EMBED Equation.31415 . (12)

Из этого выражения следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (11) резонансная частота при тех же условиях (при 13EMBED Equation.31415) совпадает с собственной частотой колебания системы 13EMBED Equation.31415.
Изображенная на рисунке совокупность графиков функции 13EMBED Equation.31415, соответствующих различным значением параметра 13EMBED Equation.31415, называется резонансными кривыми.
Из формулы (12) вытекает, что при малом затухании (т.е. при 13EMBED Equation.31415) амплитуда при резонансе приближенно равна 13EMBED Equation.31415.
Разделим это выражение на смещение 13EMBED Equation.31415 от положения равновесия под действием постоянной силы (13EMBED Equation.31415), равное 13EMBED Equation.31415. В результате получим:

13EMBED Equation.31415

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).
С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий, т.к. в этом случае возникают вибрации, которые могут вызвать катастрофу. Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т.д.
Размещено

Гармонические колебания.
Гармоническими называются такие колебания, для которых возвращающая сила прямо пропорциональна отклонению тела от положения равновесия.
Эти определения не эквивалентны, причем более предпочтительно первое (кинематическое), оно более полно. Так как характер движения тела в данный момент определяется не только силами, действующими на тело в этот момент, но и начальными условиями, т.е. положением и скоростью тела в начальный момент. Это утверждение означает, что характер колебаний определяется не только возвращающей силой, но и теми условиями, при которых эти колебания начались. Очевидно, что колебания можно возбудить различным образом. Например, можно отклонить тело от положения равновесия на некоторое расстояние и затем спокойно отпустить его, оно начнет колебаться. При этом расстояние, на которое отклонено тело, будет являться амплитудой колебаний. Можно отклонять тело на различные расстояния от положения равновесия, тем самым, задавая различные амплитуды колебаний. Другой способ возбуждения колебаний состоит в том, чтобы телу, находящемуся в положении равновесия, сообщить некоторую начальную скорость. При этом в зависимости от сообщенной телу начальной скорости получим различную амплитуду колебаний. Возвращающая сила определяет круговую частоту или, период колебаний тела. Получается, что период колебаний - собственная характеристика колеблющегося тела, а амплитуда и начальная фаза зависят от внешних условий, возбудивших данные колебания.

3.3. Колебания под действием силы упругости
Рассмотрим колебания пружинного маятника. Он состоит из массивного тела, надетого на пружину, один конец которой закреплен. Если оттянуть тело из положения равновесия и затем отпустить его, то оно будет совершать колебания около положения равновесия.
Какова причина этих колебаний? Отклоняя тело от положения равновесия, мы растягиваем пружину; при этом возникает сила упругости, стремящаяся вернуть пружину в положение равновесия. Под действием этой силы тело будет двигаться ускоренно. Достигнув положения равновесия, шар не остановится, хотя в этом положении на него не будет действовать сила; двигаясь по инерции, оно пройдет положение равновесия и начнет сжимать пружину. Возникшая сила упругости будет препятствовать сжатию пружины, вследствие чего тело, достигнув некоторого положения, остановиться. Затем под действием силы упругости сжатой пружины тело будет двигаться ускоренно вниз; по инерции оно опять перейдет положение равновесия и снова окажется в нижней точке, совершив, таким образом, одно полное колебание. Дальше все будет повторяться.
Итак, причинами колебаний тела на пружине являются сила упругости, возникающая при растяжении и сжатии пружины, и инерция шара.
Измерения показывают, что при увеличении смещения колеблющегося тела сила упругости пружины возрастает пропорционально смещению. Значит, если сместить тело на расстояние х от положения равновесия, то величина силы F, возвращающей его в это положение, определиться из равенства: F=kx, (1) где k – коэффициент пропорциональности – постоянная для данной пружины величина, численно равная силе, которая растягивает пружину на единицу длины. При этом сила всегда направлена к положению равновесия, смещение же отсчитывается от положения равновесия, т.е. направлено в сторону, противоположную силе. Чтобы отразить это в формуле надо правую часть равенства взять со знаком минус: F=- kx. (2)
Периодические колебания, которые совершаются под действием силы, пропорциональной смещению и направленной к положению равновесия, называются гармоническими (или простыми) колебаниями.
Согласно второму закону Ньютона. F=ma, где а – ускорение движения тела под действием силы F. Если в формулу (2) подставить вместо F произведение ma, то получим: ma=-kx, откуда: а=-kx/m.
Полученное выражение для ускорения позволяет определить гармоническое колебание следующим образом: при гармоническом колебании ускорение всегда прямо пропорционально величине смещения и противоположно ему направлено.
Упругие колебания представляют собой чрезвычайно распространенный и важный вид колебаний. К числу их относятся, например, колебания под действием нагрузок частей машин, строительных балок, рессор; к ним же относятся звуковые колебания
·3, с. 35
·.
3.4. Колебания под действием силы тяжести
Маятником может быть любое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находиться ниже точки подвеса. Очень удобным для многих опытов маятником может быть металлический шарик, подвешенный на нити.
Выведем такой маятник из положения равновесия и отпустим его – он будет колебаться. Рассмотрим причину этих колебаний.
Когда маятник покоится в положении равновесия, сила тяжести, действующая на тело, уравновешена натяжением нити. В отклоненном же положении сила тяжести и сила натяжения нити действуют на тело под углом друг к другу. Равнодействующая этих сил всегда направлена к положению равновесия; и величина ее будет тем больше, чем больше отклонен маятник от положения равновесия. Равнодействующая возвращает маятник к положению равновесия, обусловливая его колебания.
Когда маятник движется от положения равновесия, равнодействующая замедляет его движение тем сильнее, чем дальше он отклоняется. Когда же маятник начинает обратное движение к положению равновесия, равнодействующая начинает играть роль ускоряющей силы. Маятник не остановится в положении равновесия, а по инерции пройдет его и продолжит движение до полной остановки. Затем все повторится
·3, с37
·.
Таким образом, при малых амплитудах колебания маятника под действием силы тяжести являются гармоническими, или простыми, колебаниями.
3.5. Законы колебания математического маятника
Количественные соотношения, характеризующие колебательные движение, проще всего установить для так называемого математического маятника.
Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой, нерастяжимой и невесомой нити. Естественно, что на практике мы можем только с той или иной степенью точности приближаться к этому идеальному случаю. Реальной моделью математического маятника в моих опытах служит небольшой металлический шарик, подвешенный на тонкой упругой нити. Размеры шарика должны быть малы сравнительно с длиной нити. Это дает возможность считать, что вся его масса сосредоточена в одной точке, в центре тяжести шарика.
Подвесим к стойке один из таких маятников длиной около 1 м и, отведя его от положения равновесия на небольшой угол, определим, за какое время он сделает, например, 50 колебаний. Уменьшим угол отклонения (начальную амплитуду) и снова определим время, в течение которого шарик сделает 50 колебаний. Оказывается, что и при уменьшенной амплитуде шарику понадобилось для 50 колебаний то же время, что и при большей амплитуде. Меняя в небольших пределах амплитуду колебаний, можно установить, что период колебания маятника при небольших амплитудах не зависит от амплитуды колебания.
Это свойство маятника, открытое впервые Галилеем, называется изохронностью. Оно дало возможность применить маятник в часах.
Проведем следующий эксперимент: подвесим к стойке на длинных нитях два одинаковых шарика, сделанных из разных материалов, например стальной и свинцовый, так, чтобы длины полученных маятников были одинаковы. Отклоним оба маятника от положения равновесия на один и тот же угол. Они колеблются синхронно, т. е. периоды колебания их одинаковы, хотя массы маятников разные. Меняя как угодно массы маятников, можно убедиться, что период колебания не зависит от массы маятника.
Голландский ученый Гюйгенс, исследуя законы колебания маятника, установил, что период колебания математического маятника обратно пропорционален корню квадратному из ускорения силы тяжести:
T=2
·13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.
Таким образом, маятник является наиболее простым, удобным и точным прибором для определения ускорения силы тяжести. Наличие в каком–нибудь месте Земли залежей ископаемых, отличающихся по плотности от окружающих их пород, сказывается на изменении величины ускорения g в этом месте. Действительно, ускорение g обусловлено силой тяготения, а последняя будет тем больше, чем больше притягивающая масса Земли
·3, с.40
·.

3.6. Фигуры Лиссажу
IV. Наблюдение фигур Лиссажу
Кривые, которые описывает наш маятник, называются фигурами Лиссажу, по имени французского физика Ж. Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их. Фигуры Лиссажу получаются при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний. Они могут быть довольно сложными, особенно при близких частотах продольных и поперечных колебаний. Если частоты одинаковы, траекторией движения будет эллипс. Соотношение частот можно варьировать, меняя отношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса. При этом вычислить частоты колебаний маятника довольно сложно, а вот увидеть фигуры, вычерчиваемые им, значительно проще.
Вот как это, например, делается. Склеим из картона конус с маленьким (один - два миллиметра) отверстием в его вершине. Подвесим конус за две нитки в дверном проеме вершиной вниз. Зажмем обе нитки зажимом «крокодил» в каком-нибудь месте, скажем, в пяти сантиметрах от конуса. На пол положим кусок бумаги черного цвета.
Затем надо отвести маятник немного на себя и вправо и насыпать в воронку конуса просеянного, промытого, просушенного песка. Отпустив маятник, сможем наблюдать получающиеся в результате его колебаний фигуры Лиссажу. Меняя положение зажима ниток, т.е. соотношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса, можно получать разные фигуры.
В опытах с маятником следует учитывать, что более или менее правильная траектория получается только в том случае, когда нет сильных затуханий. Колебания маятника с малой массой груза и достаточно большим объемом будут быстро затухать. Такой маятник качнется несколько раз, быстро уменьшая амплитуду. Естественно, при движении с сильным затуханием увидеть и сфотографировать изменение направления колебаний маятника не удается.

V. Математическая модель фигур Лиссажу
Самые простые колебания тела – это колебания, при которых отклонение x тела от положения равновесия изменяется по закону
x=А sin (
· t +
·),
где А- амплитуда,
· - частота,
· - начальная фаза колебаний.
Такие колебания называются гармоническими.
Кривую, которая является графиком функции вида x = А sin (
· t +
·) называют синусоидой. График этой функции получается из синусоиды x= sin t сдвигом по оси Оt на –
·, растяжением (сжатием) в
· раз по оси Оt и растяжением (сжатием) в А раз по оси Ох.

Гармонические колебания совершают математический маятник, груз на пружинке, напряжение в электрическом контуре. Еще один пример синусоидальных колебаний- звук (гармонические колебания воздуха). Однако редко удается услышать чистый звук- звук, соответствующий колебанию x=А sin
·t. В большинстве случаев мы слышим ряд других звуков (обертоны), соответствующих колебаниям с меньшей амплитудой. Эти звуки музыкальных инструментов дают основному тону специфическую окраску - тембр.

Сумма двух любых гармонических колебаний с одной и той же частотой (периодом) снова является гармоническим колебанием с той же частотой (периодом):
х= А1 sin (
·1 t +
·1)+ А2 sin (
·2 t +
·2)= А3 sin (
·3 t +
·3).
Результатом сложения гармонических колебаний с различными частотами служит более сложное колебание, вообще говоря, отличное от гармонического колебания.
При сложении колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях получается более сложная траектория, которая описывается системой уравнений

X x = А1 sin (
·1 t +
·1 ),

X y= А2 sin (
·2 t +
·2 ),
где x и y – проекции смещения тела на осях X и Y.
В этой работе я рассмотрела случай, когда тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Фигуры Лиссажу - замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Фигуры Лиссажу можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая одновременно на вход X и вход Y (горизонтальные и вертикальные отклоняющие пластины) переменные напряжения кратных частот.

Рассмотрим фигуру:
X Х = А1 sin
·1 t
Y= А2 cos (
· t +
· )
где
· - угол сдвига фаз колебаний,
· = 2
·
·- круговая частота колебаний
Введем новые переменные [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получаем

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Исключая время t, получаем кривую в координатах (x, y) . Из первого уравнения найдем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и подставим во второе:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Возведем обе его части в квадрат, тогда окончательно получаем:

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- уравнение эллипса.
В зависимости от значения
· получаем различно ориентированные эллипсы.
В частности:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если
·=
·(t), то фигуры будут двигаться на экране осциллографа.
В случае кратных частот колебаний получаем соответствующие фигуры Лиссажу:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

б) при кратности частот [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]получаем фигуру Лиссажу типа короны с тремя пиками:

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

в) при кратности частот [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]получаем кардиоиду:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Сделаем такой маятник: Возьмем нитку, сложим ее пополам, а к середине привяжем еще одну нитку. К другому концу этой второй нитки прикрепим какой – нибудь предмет и маятник готов. Подвесим маятник за оба конца сложенной пополам нитки на кнопках или гвоздиках в дверной проем. Если теперь отклонить маятник от положения равновесия и затем отпустить, то маятник будет двигаться по эллипсу, причем этот эллипс будет постоянно меняться, вытягиваясь, то в одну, то в другую сторону.
Кривые, которые описывает этот маятник, называются фигурами Лиссажу, по имени французского физика Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их.
Фигура Лиссажу – это траектория тела, участвующего одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Они могут быть довольно сложными, особенно при близких частотах продольных и поперечных колебаний. Соотношение частот можно варьировать, меняя отношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса. При этом вычислить частоты колебаний маятника довольно сложно, а увидеть фигуры, вычерчиваемые им, значительно проще. Получившиеся кривые как бы вписаны в параллелограмм. На самом деле они должны быть вписаны в прямоугольник.
В опытах с маятником следует учитывать, что более или менее правильная траектория получается только в том случае, когда нет сильных затуханий. Колебания маятника с малой массой груза и достаточно большим объёмом будут быстро затухать.
Фигуры Лиссажу неизбежно появляются при настройке осциллографа.
·9, с. 77
·






III. Заключение
В своей работе я рассматривал свободные колебания.
Исследуя математический маятник, я пришел к выводу, что период колебаний не зависит от угла отклонения маятника и его начальной амплитуды, а зависит только от длины маятника
·Приложение I, лабораторные работы № 1 - 2
·.
Рассматривая колебания тела на пружине, сделал вывод о том, что период колебаний не зависит от начальной амплитуды, а зависит только от жесткости пружины (обратная пропорциональность) и массы тела (прямая пропорциональность)
·Приложение I, лабораторные работы № 3 - 5
·
Затем мною были рассмотрены колебания груза на пружинах соединенных последовательно и параллельно
·Приложение I, лабораторные работы № 6, 7
·.
А также нами были исследованы колебания груза на резиновом шнуре. Особенность колебаний груза на резиновом шнуре связана с тем, что жесткость шнура с увеличением деформации изменяется. Поэтому зависимость периода от массы не получается. Необходимо в формулу T=2
· m/k подставлять различные значения жесткости шнура при разных значениях массы грузов
·Приложение I, лабораторная работа № 8
·.
Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры Лиссажу представляют собой эллипсы, которые при разности фаз
·=0 или
·=
· вырождаются в отрезки прямых, а при
·=
·/2 и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний не совпадают точно, то
· всё время меняется, вследствие чего эллипс непрерывно деформируется. При существенно различных периодах эллипс деформируется быстро, картина размывается, и фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение - получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. При этом число касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, в который она вписывается, даёт отношение периодов обоих колебаний.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать, например, на экране электронно-лучевого осциллографа, если к двум парам отклоняющих пластин подведены переменные напряжения с равными или кратными периодами. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между периодами и фазами обоих колебаний. Если колебания, которые совершает точка, происходят не по гармоническому, а по более сложному закону, но с одинаковым периодом, то получаются замкнутые траектории, аналогичные фигурам Лиссажу, но искажённой формы. По виду этих фигур можно судить о форме колебаний. Таким образом, наблюдение фигур Лиссажу- удобный метод исследования соотношений между периодами и фазами колебаний, а также и формы колебаний.
В результате работы создан программный комплекс, позволяющий визуализировать некоторые математические процессы. Также эта работа поможет в понимании структуры тригонометрических уравнений.

Приложение I
Лабораторная работа № 1
«Исследование периода колебаний математического маятника от длины нити»
Цель: Измерить период колебаний математического маятника при различной длине нити подвеса.
Оборудование: металлический шарик на закрепленной нити.
Ход работы:

Угол
200
200
200
200
200
200
200
200

L,м
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8

Т,с
2,46
2.37
2,29
2,20
2,10
2,01
1,9
1,79


Вывод: период колебаний математического маятника зависит от длины маятника. Чем короче нить подвеса, тем меньше период и наоборот.

Лабораторная работа №2
«Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от угла отклонения»
Цель: Измерить период колебаний математического маятника при различных углах отклонения.
Оборудование: металлический шарик на закрепленной нити.
Длина маятника
150 см
150 см
150 см
150 см

Угол отклонения
200
150
100
50

Период колебаний
2,46 с
2,46 с
2,46 с
2,46 с


Вывод: период колебаний математического маятника не зависит от угла отклонения и является величиной постоянной для данной длины маятника.

Лабораторная работа №3
«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»
Цель: Изучить зависимость периода колебаний груза на пружине от жесткости пружины.
Оборудование: груз известной массы, пружины различных жесткостей.
Ход работы.
№ опыта
k, H/мm
m, кг
Амплитуда, см
Т,с

1
5,0
0,5
20
2

2
6,0
0,5
20
1,81

3
7,0
0,5
20
1,68

4
8,0
0,5
20
1,57

5
9,0
0,5
20
1,48

6
10,0
0,5
20
1,4


Вывод: период колебания груза на пружине зависит от жесткости этой пружины, т.е. чем выше жесткость пружины тем период колебаний меньше.

Лабораторная работа №4
«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»
Цель: Изучить зависимость периода колебаний груза на пружине от массы груза.
Оборудование: грузы различных масс, пружина известной жесткости.
Ход работы.
№ опыта
k, H/мm
m, кг
Амплитуда, см
Т,с

1
5,0
0,5
20
2

2
5,0
0,6
20
2,04

3
5,0
0,7
20
2,20

4
5,0
0,8
20
2,35

5
5,0
0,9
20
2,50

6
5,0
1,0
20
2,63


Вывод: период колебания груза на пружине зависит от массы груза, т.е. чем больше масса груза, тем период колебаний больше.

Лабораторная работа №5
«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»
Цель: Изучить зависимость периода колебаний груза на пружине от амплитуды колебаний.
Оборудование: груз известной массы, пружина известной жесткости.
Ход работы.
№ опыта
k, H/мm
m, кг
Амплитуда, см
Т,с

1
5,0
0,5
20
2

2
5,0
0,5
19
1,99

3
5,0
0,5
18
1.99

4
5,0
0,5
17
1.99

5
5,0
0,5
16
1.99

6
5,0
0,5
15
1.99

Вывод: период колебания груза на пружине не зависит от амплитуды этих колебаний.

Лабораторная работа №6
«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»
Цель: Рассчитать и измерить периоды колебаний груза на двух пружинах соединенных последовательно.
Оборудование: набор грузов известной массы, две пружины, линейка масштабная, часы с секундной стрелкой.
Описание работы. При последовательном соединении пружин, жесткость которых k1 и k2, общая деформация пружин х равна сумме деформаций х1и х2 каждой пружины:
х=х1+х2.
Так как сила упругости F в обеих пружинах одинакова, то по закону Гука можно записать: F/k=F/k1+F/k2 , откуда следует: 1/k=1/k1+1/k2; k=k1k2/(k1+k2).
Тогда период колебаний груза массой m подвешенного на последовательно соединенных пружинах, равен Т1=213 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где k=k1k2/(k1+k2).

m, кг
k1
k2
T,c
t,с
n
T,c

1
2
5
5
5,6
29
5
5,8

2
0,5
5
6
2,68
13,5
5
2.7

Вывод: результаты эксперимента практически совпадают с расчетными значениями, таким образом подтверждая теорию.

Лабораторная работа №7
«Исследование зависимости периода колебания системы от ее параметров»
Цель: Рассчитать и измерить периоды колебаний груза на двух пружинах соединенных параллельно.
Оборудование: набор грузов известной массы, две пружины, линейка масштабная, часы с секундной стрелкой.
При параллельном соединении пружин общая сила упругости F равна сумме сил упругости F1 и F2 каждой пружины: F=F1+F2.
При одинаковой деформации обеих пружин х по закону Гука можно записать:
kx=k1x+k2x и k=k1+k2.
Период колебаний груза массой m на таких пружинах равен
T2=213 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415)
Результаты расчета периодовТ1 и Т2 колебаний проверяются экспериментально путем измерения времени t, за которое совершается n колебаний:
Т=t/n

m, кг
k1
k2
T,c
t,с
n
T,c

1
2
5
5
2,8
14,5
5
2,9

2
0,5
5
6
1,34
7
5
1,4


Вывод: результаты эксперимента практически совпадают с расчетными значениями, таким образом подтверждая теорию.

Лабораторная работа №8
Цель: Исследовать зависимость периода колебаний груза на резиновом шнуре от массы груза. Дать объяснение полученным результатам.
Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, резиновый шнур из набора для авиамоделей, набор грузов, секундомер, линейка.
Вывод: Особенность колебаний груза на резиновом шнуре связана с тем, что жесткость шнура с увеличением деформации изменяется. Поэтому зависимость T=const m не получается. Необходимо в формулу T=2
· m/к подставлять различные значения жесткости шнура при разных значениях массы грузов.
Выводы
В результате работы создан программный комплекс, позволяющий визуализировать некоторые математические процессы. Также эта работа поможет в понимании структуры тригонометрических уравнений.

IV. Литература
Тарасов Л.В., Тарасова А.Н. Вопросы и задачи по физике (Анализ характерных ошибок поступающих во втузы).- М.: Высшая школа, 1990. – 256 с.
Кабардин О. Ф., Кабардина С. И. Методика факультативных занятий по физике. – М.: Просвещение, 1988 - 240 с.
Перышкин А. В. Курс физики для 9 кл. – М.: Учпедгиз, 1962. – 234с.
Мякишев Г. Я. Буховцев Б. Б. Учебное пособие для 10 кл. – М.: Просвещение, 1975. – 368 с.
Кабардин О. Ф. и др. Факультативный курс физики: 10 кл.: Учебное пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1987. – 208 с.
Савельев И. В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1966. – 404 с.
Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. – М.: Шрайк, 1995 – 608 с.
Аганов А. В. Физика вокруг нас. – М.: Дом педагогики. 1998. – 336 с.
Опыты в домашней лаборатории. – М.: Наука, 1980, 144 с.


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native· М
·—
·wEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeG М
·—
·wEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий