«Реферат «Что такое бесконечность»

Что такое бесконечность?
Выполнил:
Юсупова Рената Радиковна
ученица 8 класса МБОУ «Тюрнясевской СОШ»
Руководитель:
Ярмухаметова Нина Николаевна, учитель математики
Содержание
Введение.
Цели работы.
Методы и методики исследования, использованные в работе.
Гипотеза 1
Задача «Отель Гильберта»;
Знакомство с Давидом Гильбертом;
Вклад Давида Гильберта в математику;
Что такое бесконечность;
Решение задачи.
Цели работы
Дать определение бесконечности.
Решить задачу «Отель Гильберта».
Изучить вклад Гильберта в науку.
Методы и методики исследования, использованные в работе
Анализ литературы и ресурсов Интернета по данной теме.
«Гостиница Гильберта»
Представьте себе гостиницу с бесконечным числом комнат. Комнаты пронумерованы натуральными числами, от 1 до ю. В один прекрасный день в нашу гостиницу вошел человек и попросил снять комнату. К сожалению, для нашего гостя не нашлось комнаты, так как именно в этот день отель был полностью заполнен бесконечным числом гостей. Выгнать гостя? Или все же есть возможность предоставить ему свободную комнату, не выселяя никого из постояльцев?
А как быть, если гостей - несколько? А если бесконечно много?
Эту задачу предложил немецкий математик Давид Гильберт где-то в третьем десятилетии XX века, он же дал ее изящное решение. Прежде чем ознакомить вас с ответом, дадим вам немного времени поразмыслить самостоятельно, а пока познакомимся с краткой биографией гения, который научил человечество справляться с бесконечностью.
Давид Гильберт
Давид был одним из величайших умов своего времени. Среди большого числа его учеников, которые впоследствии стали видными учеными, были Джон Фон Нейман (один из родоначальников информатики), Герман Вейль (физик-теоретик), Рихард Курант (математик и педагог), Эммануил Ласкер (гроссмейстер). Гильберт также консультировал Эйнштейна при разработке тензорного анализа фундамента теории относительности.
Его называют последним всесторонним математиком и самым замечательным учителем математиков 20 века. Но биография у Гильберта была самая обыкновенная. Он родился в столице Пруссии Кенигсберге (ныне Калининград) незадолго до того, как Пруссия под руководством
Бисмарка объединила все немецкие государства в новую (вторую) Германскую империю. Гильберт пережил взлет этой державы, а затем ее распад в конце первой Мировой войны. Потом возникла недолговечная Веймарская республика; за нею последовали Гитлеровская империя и вторая Мировая война. Этих потрясений хватило бы на много жизней; но до поры до времени Гильберт ухитрялся избегать участия в политике и войнах.
Вундеркиндом он не был, а был типичным "классиком". То есть, Гильберт поочередно старался понять каждую область математики на всю ее глубину и решить в ней те задачи, которые его интересовали. Когда полет фантазии и творческий взрыв прекращались, Гильберт оставлял это поле деятельности своим ученикам. Но оставлял в полном порядке, написав хороший учебник для всех последователей и прочтя соответствующий курс для студентов.
Еще в Кенигсберге Гильберт ощутил себя лидером среди сверстников в науке, хотя зазнайство было ему чуждо. Стать главою математической школы такая мечта пришла на ум сама собой. Но где свить свое гнездо? Этот вопрос потребовал долгих раздумий. В Кенигсберге профессия математика была не в почете; в столичном Берлине слишком большую роль играли военные и чиновники. Зато тихий Геттинген, осененный славными именами Гаусса и Римана, оставался местом паломничества немецкой математической молодежи. В 1895 году Гильберт переехал туда и успешно проработал до 1933 года пока к власти не пришел Гитлер.
Подобно Гауссу, Гильберт начал свои исследования с алгебры. 19 век преобразил эту науку; пришла пора навести в ней порядок, и Гильберт начал реформу с теории чисел. Поводом стал заказ от Математического общества: сделать обзорный доклад о современном состоянии теории чисел и о перспективах ее развития. С этим заданием Гильберт справился бы за полгода, но увлекся этой работой на добрых 5 лет. В итоге "Доклад о числах" превратился в учебник объемом в 400 страниц, где отразились все яркие новинки, такие как достижения Эрнста Куммера или Феликса Клейна. Гильберт довел эту область алгебры до совершенства и оставил ее в покое.
Один из примеров - давняя проблема англичанина Варинга. Известно, что каждое натуральное число является суммой не более чем 4 квадратов, или не более 9 кубов. Правда ли, что для всякой степени (n) найдется число (к) такое, что любое натуральное N будет суммой не более чем (к) разных (п)-ных степеней? Только в 1909 году эта проблема покорилась усилиям Гильберта.
После первых алгебраических увлечений интерес Гильберта сместился в геометрию, причем сразу в две ее области: классическую геометрию
Евклида и геометрию бесконечномерных пространств, называемую функциональным анализом. Среди всех векторных пространств, составленных из функций, Гильберт выделил самое удобное: то, в котором определены расстояние между точками, угол между векторами и предел последовательности точек. Этот аналог евклидова пространства теперь называют гильбертовым пространством. Его геометрические свойства проявляются в решениях дифференциальных уравнений и в более сложных задачах "криволинейной" геометрии.
В евклидовой геометрии Г ильберт хотел просто навести порядок. Ведь за 23 столетия требования к строгости рассуждений значительно выросли, и пробелы в тексте Евклида сделались нетерпимы. В 1899 году Гильберт предложил новую систему из 20 аксиом, среди которых явно не было ни одной лишней и (казалось) не было пробелов. Гильберт подчеркнул логическое совершенство своей конструкции шутливой фразой: "Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"!
Этот успех внушил Гильберту надежду, что в каждой области математики можно ввести полную и строгую систему из необходимых и достаточных определений и аксиом. Вывод всех прочих утверждений из этих основ можно будет формализовать так, что он станет доступен вычислительной машине. Правда, она будет медленно ползти к той цели, которой человеческий разум нередко достигает одним дерзким прыжком. Зато каждую догадку можно будет проверить медленно, но надежно.
Гильберт сознавал, что эта его надежда является гипотезой и требует тщательной проверки. В качестве контрольного примера он выбрал общую теорию множеств, а в ней знаменитую континуум-гипотезу Кантора. Существует ли на отрезке несчетное множество мощности меньшей, чем сам отрезок? Безуспешно пытаясь построить такое множество, Георг Кантор довел себя до психического расстройства. Напротив, Гильберт попробовал доказать НЕДОКАЗУЕМОСТЬ континуум-гипотезы и это ему удалось. Но когда он попытался доказать ее НЕОПРОВЕРЖИМОСТЬ, то потерпел неудачу. Успех в этом деле пришел лишь в 1963 году к американцу Полю Коэну и чеху Карелу Вопенке.
Такой результат немало порадовал бы Гильберта: он доказывает, что континуум-гипотеза является одной из необходимых аксиом теории множеств. Но еще при жизни Гильберта постигло в этой сфере тяжкое разочарование. В 1931 году молодой австриец Курт Гедель доказал, что утверждения вроде континуум-гипотезы (не доказуемые и не опровержимые)
найдутся в ЛЮБОЙ системе аксиом. Были они в системе Евклида: таков "пятый постулат" о параллельных прямых. Есть они в теории множеств: такова "аксиома выбора", такова же континуум-гипотеза. Есть они даже в арифметике и впредь будут во всякой формальной модели любой из областей математики!
Значит, надежда Гильберта на полную формализацию каждой области математики была ошибкой? Да, таков приговор природы; обжалованию он не подлежит. Но его можно воспринять и с оптимизмом: из теоремы Геделя следует, что развитие любой области науки никогда не прекратится! Правда, для этого придется регулярно изобретать новые определения и аксиомы, вытекающие из существа дела. Гильберт это знал по опыту; поэтому он не только огорчался, но и радовался поразительному открытию Геделя. Приятно, когда природа оказывается еще богаче, чем ты надеялся!
Но если изобретение универсальной системы аксиом не может стать единственным или главным знаменем для развивающейся математики, то, что нужно добавить к этому знамени? Ясно, что: решение новых задач! Эта работа приносит ученому все новые радости, побуждает его к новым усилиям. Значит, в любой момент времени все математики должны иметь ясное представление о важнейших нерешенных проблемах своей науки. Долг сильнейших математиков не только решать такие задачи, но и ставить новые проблемы на смену решенным. Гильберт вступил на этот путь в 38 лет
в 1900 году, когда он сделал на Парижском математическом конгрессе доклад "Математические проблемы". С тех пор прошел целый век и видно, что ни один математик не превзошел Гильберта своим влиянием на развитие науки.
Какие же задачи Гильберт считал тогда главными для математики? Во- первых, обоснование ее новых, бурно развивающихся ветвей: теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа. В каждой их этих областей Гильберт выделил одну-две задачи, наиболее просто формулируемые и трудные для решения. Таковы континуум-гипотеза и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел и трансцендентность числа е... , классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений.
К концу 20 века все эти задачи либо решены, либо доказана их неразрешимость. Но каждая решенная проблема породила букет новых проблем еще большей сложности и такой же красоты так что Гильберт верно угадал самые перспективные точки роста на тысячелетнем древе математической науки.
Особняком стоит в списке Гильберта проблема 6: "Дать математи
ческое изложение аксиом физики". Это прямое развитие программы Ньютона на пути великих успехов и неудач Максвелла, Планка и Эйнштейна. Гильберт не стал подробно излагать этот вопрос, будучи уверен: каждое крупное открытие в физике ставит перед математиками уйму новых красивых задач, и этому процессу конца не будет!
Лет через 20 молодые ученики в шутку спросили Гильберта: решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики? Стареющий профессор ответил вполне серьезно: "Поймать муху на обратной стороне Луны!" Ученики опешили, а Гильберт объяснил: "Сама эта задача никому не нужна. Но подумайте: если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!"
Жизнь подтвердила правоту Гильберта и в этом случае. Вспомним, что электронные компьютеры были изобретены по заказу противовоздушной обороны и для быстрого расчета водородной бомбы. Запуск искусственного спутника Земли, высадка первых людей на Луне, прогноз погоды на всем земном шаре все эти задачи были решены как "побочный продукт" гораздо менее красивых проблем в гонке вооружений.
Сам Гильберт не дожил до этих событий. В последние 10 лет жизни он бессильно наблюдал распад Геттингенской математической школы под властью новых варваров нацистов. Понимал ли он, что невежественное владычество Гитлера просто сдвигает центр мировой научной мысли из Германии на запад в США? Вероятно, он догадывался об этом и горько усмехался про себя, сравнивая безумный проект построения "тысячелетнего царства арийской расы" с ловлей мух на обратной стороне Луны. Странно шутит История...
Сейчас, в конце 20 века, мы видим: Давид Гильберт оказался самым прозорливым и влиятельным математиком этого столетия. Хорошо, если и впредь в науке будут появляться подобные лидеры!
Вклад Гильберта в науку
Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Гёттинген в первой трети XX века являлся одним из основных мировых центров математической мысли. Диссертации большого числа крупных математиков (среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под его научным руководством.
Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:
Теория инвариантов (18851893).
Теория алгебраических чисел (18931898).
Основания геометрии (18981902).
Принцип Дирихле (математическая физика) и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (19001906).
Теория интегральных уравнений (19021912).
Решение проблемы Варинга в теории чисел (19081909).
Математическая физика (19101922).
Основания математики (19221939).
Бесконечность
«Какое число является самым большим?" - это один из первых вопросов, которые задают дети относительно чисел. Этот вопрос является важным шагом в процессе понимания мира абстрактных понятий. Ответ на этот вопрос, как правило, ограничивается утверждением, что большие числа считаются бесконечными. Однако в определённый момент выясняется, что числа могут быть такими большими, что их практическое применение в реальной жизни и невозможно, и бессмысленно, и единственное, что оправдывает их существование это факт их формального существования.
Все люди знают это число, и постоянно используют для преувеличения
например, как число «зиллион» (zillion - англ. несуществующее числительное, используемое в англоязычной среде для описания невообразимо крупных размеров, аналог в русском языке - сто тысяч миллиардов). Однако бесконечность не такое простое понятие, как кажется на первый взгляд.
Согласно правилам бесконечности, существует бесконечное число, как четных, так и нечетных чисел. Тем не менее, нечетных чисел будет ровно половина от общего количества чисел. Бесконечность плюс единица равняется бесконечность, если отнять единицу получаем бесконечность, сложив две бесконечности получим бесконечность, а бесконечность поделённая на два равняется бесконечности, а если вычесть бесконечность из бесконечности, то результат не вполне ясен, а вот бесконечность поделённая на бесконечность, скорее всего, равняется единице.
Ученые определили, что в известной нам части Вселенной существует
80
1080 субатомных частиц, это та часть, которую ученые исследовали. Многие ученые уверены, что Вселенная бесконечная, а ученые, которые скептически
относятся к бесконечности Вселенной, в данном вопросе всё-таки допускают такую вероятность.
Если Вселенная бесконечна, то с математической точки зрения получается, что где-то находится точная копия нашей планеты, поскольку существует вероятность, что атомы «двойника» занимают такое же самое положение, как и на нашей планете. Шансы, что такой вариант существует, ничтожно малы, хотя, в бесконечной Вселенной, это не только возможно, но и обязательно должно произойти, и, по меньшей мере, бесконечное число раз, при условии, что Вселенная все-таки бесконечно бесконечна.
Однако не все уверены, что Вселенная бесконечна. Израильский математик, профессор Дорон Зельбергер (Doron Zeilberger), убежден, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если вы прибавите к нему единицу, вы получите ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».
Решение задачи «Отель Гильберта»
Несмотря на то, что задача явно говорит, что все номера заняты, мы все же можем выделить сколько угодно свободных комнат. Давайте просто переселим человека из первой комнату во вторую, человека из второй комнаты в третью и так далее. То есть, каждого гостя из комнаты с номером n переселим в комнату с номером n+1, n^n+1. В результате этого у нас освобождается комната с номером один, и мы с радостью можем поселить нашего нового гостя.
Бесконечное число гостей. Задача стала интереснее.
Может ли бесконечность вместить еще одну бесконечность? Для решения предыдущей задачи мы переселили каждого гостя на один номер вперед. Этот подход можно применить для любого конечного числа постояльцев. Если n номер комнаты постояльца, а m число прибывших гостей, тогда каждого постояльца надо переселить в номер n+m, чтобы освободить m номеров для m гостей. Но что если число гостей бесконечно, то есть т=да?. Чему равно n+да? Ответ: п+ю=ю. То есть, надо переселить каждого постояльца на да номеров. Нет, это нам не подходит. Но задача имеет решение, давайте взглянем на определение четного числа:
Четное число целое число, которое делится без остатка на 2.
Что если мы возьмем номер постояльца и умножим его на два? В результате мы получим четное число, так как оно будет делиться на два. Следовательно, если мы переселим каждого гостя из номера n в номер 2*n, n^2^n, мы получим бесконечное число нечетных свободных комнат, и мы сможем поселить бесконечное число гостей.
Этот парадокс хорош тем, что он отлично показывает странные, но вполне логичные свойства бесконечности в простых и понятных сущностях.











15

Приложенные файлы


Добавить комментарий