«Рабочая тетрадь по математике «Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы»


Министерство образования и науки Республики Бурятия
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Бурятский республиканский техникум строительных и промышленных технологий»
Рабочая тетрадь по математике
/часть 2/
ФИ студента:___________________________________________________
Группа, курс, профессия:___________________________________________
Тема: Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы

г. Кяхта, 2017г.
Рассмотрено на заседании ЦК
Общеобразовательных дисциплин
Протокол № ____ от ____________20__ г.
Председатель ЦК
Цыдыпова Т.С./____________
ФИО, подпись
Разработчик: Цыдыпова Т.С., преподаватель математики.

Рабочая тетрадь по математике предназначена для самостоятельной работы с учебником, а так же для контроля знаний обучающихся по теме: Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы. Является пособием для проверки теоретических знаний. Включает разнообразные задания, тесты позволяющие закрепить теоретические знания по данной теме.
Рабочая тетрадь предназначена для самостоятельной работы студентов. Служит рубежным контролем знаний по теме: «Производные».
Предполагает вписывание ответов непосредственно в бланк рабочей тетради.
Пояснительная записка
Рабочая тетрадь по математике для студентов составлена в соответствии с рабочими программами и учебниками «Математика», пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования (базовый уровень) часть 1 и 2 под редакцией М.И. Башмакова.
Основной целью является формирование необходимых знаний, умений и навыков по теме «Производная» на доступном для студентов уровне.
Задачи: - побуждение и развитие интереса к математике;
- способствовать формированию математических компетенций;
- формирование навыков работы с учебной литературой.
Рабочая тетрадь может быть использована студентами для самостоятельной работы, для выполнения домашних заданий.
Тетрадь содержит упражнения по основным темам главы «Производная». Имеются сложные задачи, решение которых требует определенных умений и навыков, и могут служить основой для дальнейшего изучения курса алгебры и начала анализа.
Методическую разработку можно использовать при изучении нового материала, формировании и совершенствовании знаний, умений и навыков, обобщении и систематизации знаний на практических занятиях, внеаудиторных самостоятельных работах. Рабочая тетрадь ориентирована на студентов со средними учебными возможностями и на «слабых».
Необходимость разработки рабочей тетради по математике для студентов образовательного учреждения обусловлена контингентом, поступившим после окончания основной школы со слабыми знаниями по алгебре и геометрии.
В тетради приведены примеры с подробными решениями, на которые указан значокНа окончание решения примеров указывает красная линия.
Исследование функции на монотонность
Что такое исследовать функцию на монотонность?
Исследовать функцию на монотонность – это значит, выяснить на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает.
Теорема 1.Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f´(x)≥0 (причем равенство f´(x)=0 либо не выполняется, либо выполняется в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
Рассмотрим исследование функции на монотонность
Пример: Докажите, что заданная функция у = 2х5 +4х3 - 1 возрастает.
Решение: Область определения функции множество действительных чисел у´= 10х4 + 12х2 = 5х4 + 6х2.
Очевидно, что 5х4 + 6х2 ≥0.
Значит, функция возрастает на промежутке.

По образцу исследования функции на монотонность докажите, что следующие функции возрастают.
Задача 1.Докажите, что функция у = 4х – 5 возрастает.
Задача 2. Докажите, что функция у = х7 +2х5 +5х + 10 возрастает.
Задача 3. Докажите, что функция у = х5 +3х3 +9х возрастает.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f ´(x)≤ 0 ( причем равенство f ´(x)=0 либо не выполняется, либо выполняется в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.
Пример: Докажите, что заданная функция у = 5 – 2х убывает.
Решение: Область определения функции множество действительных чисел у´= (5 – 2х)´ = - 2, у´ ≤ 0
Значит, функция убывает на промежутке.

По образцу нахождения промежутков убывания докажите следующее:
Задача 4. Докажите, что функция у = 3 - 12х убывает
_______________________________________________________________
Задача 5. Найдите промежутки убывания функции у = 8х2 – 3х + 1
Задача 6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
у = х2 + 3х – 4
Рассмотрим примеры на нахождение промежутков возрастания и убывания сложных функций.
Алгоритм:
Найти область определения функции
Найти производную функции
Найти точки, при которых производная равна нулю
Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой ∞
Найти знаки производных на промежутках
Указать промежутки возрастания и убывания функции
Пример: Исследовать намонотонность функцию у = - х2 + 2х – 3
О.О.Ф. – (- ∞; +∞)
у ´= - 2х +2
у ´= 0
- 2х +2 = 0 х = 1
+ 1 -

На (- ∞;1| возрастает, |1;∞)убывает

По образцу исследования на монотонность найдите промежутки возрастания и убывания функций.
Задача 7. Исследовать функцию у = 5х2 – 3х + 1 на монотонность
Задача 8. Исследовать функцию у = х3 – 3х2 на монотонность
Исследование функции на монотонность и построение графика функции
Алгоритм:
Найти область определения функции
Найти производную функции
Найти точки, при которых производная равна нулю
Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой ∞
Найти знаки производных на промежутках
Указать промежутки возрастания и убывания функции
Построить график функции
Пример исследования и построения графика функции у = х3 – 27х
о.о.ф. - ( - ∞; +∞)
у ʹ = 3х3 – 27
у ʹ = 0
3х3 – 27 = 0 х=3, х= - 3
+ - +
-3 3
6. На ((- ∞;- 3| ˅ |3;∞) возрастает, |- 3;3| убывает 7. Построение графика
у
у = х3 – 27х


- 3 0 3 Х


По данному образцу исследуйте функцию с построением графика.
Задача 9.Исследовать функцию и построить график функции
у = 2х3 – 3х2 - 36х + 40


Задача 10. Исследовать функцию и построить график функции
у = х3 – 3х – 6


Проверочная работа (Проверь себя!)
Найти производную функции:
у = 16х3 + х2+ 10 ________________________________________
у = - 5х2 + 12х + 8 ________________________________________
у = cos(3x + π4) __________________________________________
у = 2sin(π2 + 7x) _________________________________________
По графику функции определить промежутки монотонности.
У y = f '(x)у y = f '(x)

- 2 0 2 Х 4 - 3 0 2 3 Х
_________________________________________________ _____________________________________________

у y y = f '(x)
y = f '(x)

- 6 0 Х - 2,5 0 2,5 x
____________________________ ________________________
Исследуйте функцию у = - х3 + 3х +2 на монотонность
Точки экстремума функции и их нахождение
Определение1. Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≥ f (x0)
Определение2. Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0)
Точка минимума и точка максимума – это точки экстремума.
Как найти точки экстремума?
Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х = х0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых функция равна нулю называют стационарными. Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими.
Упрощенная формулировка: Если в точке х0 производная функции меняет знак с (-) на (+), то х0 есть точка минимума(min).
Если в точке х0 производная функции меняет знак с (+) на (-), то х0 есть точка максимума (max).
Условная схема:
- +
х0 – min
+ -
x0- max
-
x0 экстремума нет
+ +
x0 экстремума нет
Алгоритм нахождения точек экстремума
Найти производную функции
Найти стационарные и критические точки
Отметить точки на числовой прямой и отметить знаки производной на получившихся промежутках
Найти промежутки монотонности функции
Найти точки экстремума
Пример: Найти точки экстремума функции у = 2х3 +3х2 – 4
Решение:
уʹ = 6х2 + 6х = х2 + х
уʹ = 0 х2 + х = 0 х = 0 х = - 1

- 1 0
4. + - +
- 1 0
5. х = -1 точка максимума
х = 0 точка минимума

По образцу найдите точки экстремума функции:
Задача 11.Найти точки экстремума функции у = 9 + 8х2 – х4Задача 12.Найти точки экстремума функции у = 5 + 12х – х3
5. Построение графиков функций
1. Графики любых функций строятся по точкам
2. Графики функций можно построить при нахождении особо важных точек:
- стационарные и критические точки;
- точки экстремума;
- точки пересечения графика с осями координат;
- точки разрыва функции и другие контрольные точки
Схема исследования функции
Найти производную функции
Найти стационарные и критические точки
Отметить точки на числовой прямой и отметить знаки производной на получившихся промежутках
Найти промежутки монотонности функции
Найти точки экстремума
Найти точки пересечения графика с осями координат и другие контрольные точки
Построение графика функции
Пример: Исследуйте функцию у = х3 – 3х + 2 и постройте ее график
уʹ = 3х2 – 3 = х2 – 1
уʹ = 0
х2 – 1 = 0 х = 1 х = - 1
+ - +
- 1 1
5. х = - 1 - точка максимума, х = 1- точка минимума.
Точки пересечения с осью ОХ: у = 0
х3 – 3х + 2 = 0
х3 – х – 2х +2= 0
х(х2 - 1) – 2(х - 1) = 0
(х - 1)(х (х - 1) - 2) = 0
(х - 1)(х2+ х - 2) = 0
х = 1 х = 1 х = - 2
Точки пересечения с осью ОУ: ( 0; 2)
Построение графика функции
Контрольные точки: у (- 1) = 4 у (1) = 0
y

4
2

-2 x0 1

По образцу исследования функции выполните следующие задания
Задача 13. Исследуйте функцию у = х3 + 3х2 и постройте ее график
__________________________________________________________________
Задача 14. Исследуйте функцию у = х3 – 27х + 26 и постройте ее график
__________________________________________________________________
6. Проверочная работа (Проверь себя!)

Задания Варианты ответов
1 2 3 4
1 Найти производную функции и ее значение в указанной точке у = (3 – 2х)(2х + 3)
у(- 2)= ?- 16 17 16 - 17
2 Найти производную функции у = х44 - 0,8х2 + 5х + 11 х3 – 1,5х х3 – 1,6х+5 х2 - 1,6х+5 х34 -1,6х
3 Найдите промежутки возрастания функции
у = х3 - 6х2 + 5 (-∞;+∞) |0 ;4| (0 ; 4| (-∞;0| ˅ |4;+∞)
4 Найдите промежутки убывания функции
у = х3 - 3х (-∞;- 1| |1 ;+∞) (-∞;+∞) |- 1 ;1|
5 Найдите точки экстремума функции у = х2 - х4- 0,5 1-4120,25
Критерии оценивания проверочной работы:
За правильное решение 5 заданий ставится оценка «5»
4 задания - «4»
2 - 3 задания – «3»
1 задание - «2»
Замечания преподавателя
Используемая литература:
А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.. В 2 частях. Часть1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) – М.:Мнемозина, 2012;
А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.. В 2 частях. Часть2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) – М.:Мнемозина, 2012;
А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник – М.: Просвещение, 2006
Л.С.Атанасян Геометрия. 10-11 класс.Учебник (базовый и профильный уровни) – М.:Просвещение. 2013
Л.А.Александрова Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы. 10 класс. – М. Мнемозина, 2010
А.Г.Мордкович Алгебра и начала. 10-11 кл.. Методическое пособие для учителя. – М.:Мнемозина, 2010.

Приложенные файлы


Добавить комментарий