Геометрия -9 вписанные в окружность и описанные около окружности


Геометрия-9
Тема: ( 1 ) Вписанные в окружность и описанные около окружности
четырехугольники.
Цель: Определить понятие вписанного и описанного окружностей. Дать свойства вписанных и описанных четырехугольников и сформировать навыки применения этих свойств в решении задач.
Ход урока:
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
III. Актуализация опорных знаний.
Что такое многоугольник?

Какие из многоугольников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми? Обозначьте вершины одного из выпуклых многоугольников буквами и назовите его углы.
Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?
Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
Чему равна сумма углов многоугольника?
Назовите выпуклый четырехугольник, у которого все внешние углы прямые.
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна сумме внешних?
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если его внешние углы тупые?
IV. Новая тема:
Теорема
Если около произвольного многоугольника можно описать окружность, то ее центр будет расположен на пересечении всех серединных перпендикуляров ко всем сторонам многоугольника.
Чтобы определить для треугольника радиус описанной окружности, можно воспользоваться формулой:

Или следствием из теоремы синусов:

Свойства биссектрисы, вписанная окружность и треугольникВ любой треугольник можно вписать окружность.
Вся теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла. Точки, принадлежащие биссектрисе угла, обладают следующим свойством: любая точка биссектрисы и только точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
Для нас важен тот факт, что в один угол можно вписать окружность, таких окружностей бесчисленное множество, и их центры находятся на биссектрисе угла (см. Рис. 3).

Рис. 3 Рис. 4
Для треугольника мы доказывали теорему о пересечении биссектрис, в которой говорится, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, такая точка единственная, и она является центром вписанной в треугольник окружности (см. Рис. 4).
Теорема: Если в многоугольник можно вписать окружность, то ее центр находится в точке пересечения биссектрис всех углов многоугольника.
Для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности можно выразить его из формулы:
, где S – площадь треугольника, р – его полупериметр.
Рассмотрим соотношения окружностей и четырехугольников.
Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.
Задана окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD (см. Рис. 5). Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка – центр описанной окружности.
Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак. Рассмотрим угол ےА, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу  и измеряется половиной градусной меры данной дуги. Обозначим угол ےА за , тогда дуга . Аналогично обозначим противоположный угол ےС за , он вписан в окружность и опирается на дугу . Отсюда дуга .

Рис. 5
Дуги  и  составляют полную окружность. Отсюда:, .
Поделим полученное выражение на два, получаем:
.
Итак, мы доказали прямую теорему.
Теорема: Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет 1800. (Справедлива обратная теорема.)
 Описанный четырехугольникТеорема: Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет  1800 , около этого четырехугольника можно описать окружность.
Перейдем к вписанной в четырехугольник окружности (см. Рис. 6).
Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника.
Напомним, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Проведем биссектрисы углов заданного четырехугольника. Все они пересекаются в одной точке – точке О, центре вписанной окружности.
Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания.
Из каждой вершины выходит пара равных касательных:

Рис. 6
, , , .
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:

; ; ; ;
;
Раскроем скобки:
;
Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.
 Правильный n-угольник и окружностьТеорема: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. (Справедлива обратная теорема).
Теорема: Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
На основании приведенных теорем можно сделать следующие выводы:
- в произвольный параллелограмм нельзя ни вписать окружность, ни описать ее вокруг него;
- в четырехугольники, являющиеся частным случаем параллелограмма, можно вписать или описать окружность. Например, около прямоугольника можно описать окружность, так как сумма его противоположных углов составляет 1800 . В ромб можно вписать окружность, так как суммы его противоположных сторон равны;
- иногда в трапецию можно вписать окружность, а около равнобедренной трапеции – описать окружность.
Рассмотрим правильный n-угольник, заданный длиной стороны  а п . Центры вписанной и описанной окружностей в нем совпадают, и полученная точка называется центром n-угольника (см. Рис. 7).
Заданы длина стороны n-угольника и количество сторон.
Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

Рис. 7
Радиусом описанной окружности будет 
Радиусом вписанной окружности будет расстояние 
Найдем угол : 
Угол  составляет половину угла , т.к. треугольник  равнобедренный (), а ОК – его высота, проведенная к основанию, а значит, биссектриса и медиана: .
Далее все сводится к решению одного из прямоугольных треугольников, например, треугольника , в котором нам известны угол  и катет .
Получаем:
Итак, мы рассмотрели соотношение окружностей и многоугольников. Мы вспомнили, что теория описанной окружности базируется на свойстве серединного перпендикуляра, тогда как теория вписанной окружности основана на свойстве биссектрисы. Кроме того, мы вспомнили признаки, по которым можно судить, можно ли около четырехугольника описать окружность или вписать ее. Наконец, мы вывели длину радиусов вписанной и описанной окружностей для правильных n-угольников в общем случае.
V. Закрепление: №№ 410, 414
VI. Домашнее задание: №№ 411, 413
Геометрия-9
Тема: ( 2 ) Вписанные в окружность и описанные около окружности
четырехугольники.
Цель: Определить понятие вписанного и описанного окружностей. Дать свойства вписанных и описанных четырехугольников и сформировать навыки применения этих свойств в решении задач.
Ход урока:
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
III. Актуализация опорных знаний.
5-15 мин. Устный опрос.
Какой многоугольник называют правильным?
формула для вычисления угла αn?
Самостоятельная работа
1 вариант
1) найдите углы правильного 12-ти угольника
2) вариант
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 14401) вариант
найдите углы правильного 20-ти угольника
2) вариант
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 1600Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
αn= 1800(n-2) nn=12
αn= 1800(12-2) 12αn= 1800*10 12αn= 1500 2) αn= 14401440= 1800(n-2) n1440n=1800(n-2)1440n=1800n-3600360n=3600n=3600360 n=10n=20
αn= 1800(20-2) 20αn= 1800*18 16αn= 1620 αn= 16001600= 1800(n-2) n1600n=1800(n-2)1600n=1800n-3600200n=3600n=3600200 n=18IV. Решение примеров: ТЗ -8 стр 65 ( дидакт мат)
V. Домашнее задание: №№ 419,421

Приложенные файлы


Добавить комментарий