Геометрия


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.







Сборник задач

по геометрии

для подготовки к ОГЭ

(задания открытого банка
,
фипи
)


c
оставитель
:

Коньшина

Е
лена
В
икторовна

учитель математики

МАОУ «Гимназия №8», г. Пермь















2


Оглавление

Часть 1

................................
................................
................................
................................
................................
...

3

Окружность

................................
................................
................................
................................
...........................

3

Вписанный и описанный многоугольник

................................
................................
................................
...........

4

Центральный и вписанный угол

................................
................................
................................
.........................

5

Касательная к окружности

................................
................................
................................
................................
...

7

Площадь

................................
................................
................................
................................
................................

8

Площадь параллелограмма

................................
................................
................................
................................
..

9

Площадь трапеции

................................
................................
................................
................................
................

9

Параллелограмм

................................
................................
................................
................................
.................
10

Прямоугольник

................................
................................
................................
................................
...................
11

Трапеция

................................
................................
................................
................................
..............................
11

Треугольник

................................
................................
................................
................................
........................
12

Правильный многоугольник

................................
................................
................................
..............................
15

Утверждения

................................
................................
................................
................................
.......................
15

Часть 2

................................
................................
................................
................................
................................
.
22

Окружность

................................
................................
................................
................................
.........................
22

Окружность и треугольник

................................
................................
................................
................................
23

Окружность и четырехугольник

................................
................................
................................
.......................
25

Трапеция

................................
................................
................................
................................
..............................
26

Треугольник

................................
................................
................................
................................
........................
28

Параллелограмм

................................
................................
................................
................................
.................
31








3


Часть 1

О
кружность

1)
Центральный угол
AOB
опирается на хорду
АВ

так,
что угол
ОАВ

равен
60°
.
Найдите длину хорды
АВ
, если радиус окружности
равен 8.


2)
Точка
O



центр
окружности, на которой
лежат точки
A
,
B

и
C

таким образом, что
OABC



ромб. Найдите
угол
OCB
. Ответ дайте
в
градусах.


3)
В окружности с центром в
точке
О

проведены
диаметры
AD

и
BC,
угол

ABO

равен
75°
. Найдите
величину угла
ODC
.


4)
В окружности с центром в
точке
О

проведены
диаметры
AD

и
BC,
угол

ABO

равен
55°
. Найдите
величину угла
ODC
.


5)
В окружности с центром
в точке
О

проведены
диаметры
AD

и
BC
, угол
OAB

равен
25°
.
Найдите величину угла
OCD
.


6)
На окружности с центром
O

отмечены точки
A

и
B

так, что

AOB
=12°
.
Длина меньшей дуги
AB

равна 96. Найдите длину
большей дуги.



7)
Отрезки
AB

и
CD

являются хордами
окружности. Найдите длину хорды
CD
, если
AB
=
20
, а расстояния от центра окружности
до хорд
AB

и
CD

равны соответственно 24 и
10.

8)
Какой угол (в градусах) описывает часовая
стрелка за 2 часа 4 минуты?


9)
Какой угол (в градусах) описывае
т часовая
стрелка за 1 час 44 минуты?


10)
На какой угол (в градусах) поворачивается
минутная стрелка, пока часовая
поворачивается на 21°?

11)
Колесо имеет 20
спиц. Углы между
соседними спицами
равны. Найдите угол,
который образуют две
соседние спицы. Ответ

дайте в градусах.


12)
Сколько спиц в колесе, в котором угол
между любыми соседними спицами равен










4


Вписанный

и описанный

многоугольник

13)
Четырѐхугольник
ABCD

вписан в окружность.
Угол
ABC

равен
138°
, угол
CAD

равен
83°
. Найдите угол
ABD
.

Ответ

дайте в градусах.



14)
Четырѐхугольник
ABCD

вписан в окружность.
Угол
ABD

равен
39°
, угол
CAD

равен
55°
. Найдите
угол
ABC

. Ответ дайте в градусах.



15)
Четырѐхугольник
ABCD

вписан в
окружность. Угол
ABC

равен
70°
, угол
CAD

равен
49°
. Найдите
угол
ABD
. Ответ дайте в
градусах.


16)
Четырѐхугольник
ABCD

вписан в
окружность. Угол
ABC

равен
92°
, угол
CAD

равен
60°
. Найдите
угол
ABD
. Ответ дайте в
градусах.



17)
В треугольнике
ABC

известно, что
AC
=12
,
BC
=5
, угол
C

равен
90°
. Найдите
радиус описанной
около этого треугольника
окружности.

18)
В треугольнике
ABC

известно, что
AC
=20
,
BC
=21
, угол
C

равен
90°
.

Найдите радиус описанной около
этого треугольника окружности.



19)
Найдите площадь квадрата, описанного
около окружности радиуса 40.


20)
Найдите
площадь квадрата, описанного
вокруг окружности радиуса 79.

21)
Около трапеции, один из углов которой
равен
49
°
, описана окружность. Найдите
остальные углы трапеции.

22)
В трапецию, сумма длин боковых сторон
которой равна 24, вписана окружность.
Найдите длин
у средней линии трапеции.

23)
В трапецию, сумма длин боковых сторон
которой равна 20, вписана окружность.
Найдите длину средней линии трапеции.

24)
Около трапеции, один из углов которой
равен
34
°
, описана окружность. Найдите
остальные углы трапеции.

25)
Вершины треугольника делят описанную
около него окружность на три дуги, длины
которых относятся как
3
:
4
:
11
. Найдите
радиус окружности, если меньшая из сторон
равна 14.

26)
Вершины треугольника делят описанную
около него окружность на три дуги, длины
которых

относятся как
3
:
7
:
8
. Найдите радиус
окружности, если меньшая из сторон равна
20.

27)
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из
его сторон равна 6.








5


Центральный и вписанный угол

28)
Точка
О



центр
окружности,

AOB
=84°

(см. рисунок).
Найдите величину угла
ACB
(в градусах).



29)
В окружности с центром в точке
O

отрезки
AC

и
BD



диаметры. Угол
AOD

равен
148°
. Найдите угол
ACB
.
Ответ дайте в градусах.

30)
Точка
О



центр
окружности,

AOB
=130°

(см. рисунок).
Найдите величину угла
ACB
(в градусах).



31)
В окружности с центром
в точке
O

отрезки
AC

и
BD



диаметры. Угол
AOD

равен
114°
. Найдите
угол
ACB
. Ответ дайте в
градусах.


32)
Точка
О



центр
окружности,

BOC
=160°

(см. рисунок).
Найдите величину угла
BAC

(в градусах).


33)
Центр окружности,
описанной около
треугольника
ABC
, лежит
на стороне
AB
. Найдите
угол
ABC
, если угол
BAC

равен



. Ответ дайте в градусах.



34)
Точка
О



центр
окружности,

AOB
=72°

(см.
рисунок). Найдите
величину угла
ACB


градусах).



35)
Центр окружности,
описанной около
треугольника
ABC
, лежит
на стороне
AB
. Найдите
угол
ABC
, если
угол
BAC

равен
44°

. Ответ дайте в градусах.



36)
На окружности по разные
стороны от диаметра
AB

взяты точки
M

и
N
.
Известно, что

NBA
=43°
.
Найдите угол
NMB
. Ответ
дайте в градусах.

37)
Центральный угол
AOB
,
равный
60°
, опирается на
хорду
АВ
длиной 4. Найдите
радиус окружности.



38)
Точка
O



центр
окружности, на которой
лежат точки
A
,
B

и
C
.
Известно, что

ABC
=75°

и

OAB
=43°
.

Найдите угол
BCO

. Ответ дайте в градусах.



39)
Центр окружности,
описанной около
треугольника
ABC
,
лежит на стороне
AB
.
Радиус окружности равен
8,5. Найдите
BC
, если
AC
=8

.





6


40)
Точка
O



центр
окружности, на которой
лежат точки
A
,
B

и
C
.
Известно, что

ABC
=61°

и

OAB
=8°
.
Найдите угол
BCO
.

Ответ дайте в градусах.



41)
Центр окружности, описанной около
треугольника
ABC
, лежит
на стороне
AB
. Радиус
окружности равен 14,5.
Найдите
AC
, если
BC
=21
.


42)
На окружности с
центром в точке
O

отмечены точки
A

и
B

так, что

AOB
=122°
.
Длина меньшей дуги
AB

равна 61. Найдите
длину большей дуги
AB


43)
Сторона
AC
треугольника
ABC

проходит через центр
описанной около него
окружности. Найдите

C
,
если

A
=81°
. Ответ дайте в
градусах


44)
На окружности с
центром в точке
O

отмечены точки
A

и
B

так, что

AOB
=18°
.
Длина меньшей дуги
AB

равна 5. Найдите
длину большей дуги
AB
.


45)
Треугольник
ABC

вписан в окружность
с центром
в точке
O
. Точки
O

и
C

лежат в одной
полуплоскости
относительно прямой
AB
.
Найдите угол
ACB
, если
угол
AOB

равен
27°


46)
Окружность с центром
в точке
O

описана около
равнобедренного
треугольника
ABC
, в
котором
AB
=
BC

и

ABC
=57°
. Найдите
угол
BOC
. Ответ дайте в
градусах.




47)
Т
реугольник
ABC

вписан в
окружность с центром

в точке
O
. Точки
O

и
C

лежат в одной
полуплоскости
относительно прямой
AB
.
Найдите угол
ACB
, если угол
AOB

равен
113°
. Ответ дайте в градусах.


48)
Окружность с
центром в точке
O

описана около
равнобедренного
треугольника
ABC
, в
котором
AB
=
BC

и

ABC
=123°
. Найдите
угол
BOC
. Ответ дайте в градусах





7


Касательная к окружности

49)
Из точки
А

проведены две касательные к окружности с центром в точке
О
.
Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен
60°
, а
расстояние от точки
А

до точки
О
равно 6.


50)
Касательные в точках
A

и
B

к окружности

с центром в точке
O

пересекаются под углом
72°
. Найдите угол
ABO

. Ответ дайте в градусах.



51)
Касательные в точках
A

и
B

к окружности

с центром в точке
O

пересекаются под углом
38°
. Найдите угол
ABO

. Ответ дайте в градусах.



52)
В угол
C

величиной
83°

вписана окружность, которая касается
сторон угла в точках
A

и
B
, точка
O



центр окружности. Найдите угол
AOB

. Ответ дайте в градусах.



53)
В угол
C

величиной
79°

вписана окружность, которая касается сторон угла в точках
A

и
B
,
точка
O



центр окружности. Найдите угол
AOB
.

Ответ дайте в градусах.




54)
Прямая касается окружности в точке
K
. Точка
O



центр окружности.
Хорда
KM

образует с касательной угол, равный 84°. Найдите величину угла

OMK
. Ответ дайте в градусах
.


55)
На отрезке
AB

выбрана точка
C

так, что
AC
=75

и
BC
=10
. Построена
окружность с центром
A
, проходящая через
C
. Найдите длину отрезка
касательной, проведѐнной из точки
B


к этой окружности.


56)
На отрезке
AB

выбрана точка
C

так, что
AC
=80

и
BC
=2
. Построена
окружность с центром
A
, проходящая через
C
. Найдите длину отрезка
касательной, проведѐнной из точки
B

к этой окружности.





8


Площадь

57)
В прямоугольнике одна сторона равна 72, а диагональ равна 78. Найдите площадь
прямоугольника.

58)
Периметр квадрата равен 84. Найдите площадь этого
квадрата.

59)
Периметр квадрата равен 164. Найдите площадь квадрата.

60)
На клетчатой бумаге с размером клетки
1×1


изображена фигура. Найдите еѐ площадь.




61)
Площадь прямоугольного земельного участка равна 18 га, ширина участка равна 240 м. Найдите
длину этого участка в метрах.

62)
Две трубы, диаметры которых равны 7 см и 24 см, требуется заменить одной, площадь поперечного
сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр
новой трубы? Ответ дайте в
сантиметрах.

63)
Две трубы, диаметры которых равны 36 см и 48 см, требуется заменить одной, площадь поперечного
сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр
новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.

64)
Сколь
ко потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20

см, чтобы облицевать
ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6 м?

65)
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20

см, чтобы облицевать
ими стену
, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м?

66)
Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 9 м, требуется покрыть паркетом
из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 30 см. Сколько потребуется таких дощечек?

67)
Пол комна
ты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 м и 8 м, требуется покрыть паркетом
из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 40 см. Сколько потребуется таких дощечек?

68)
Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 9 м, требуется покры
ть паркетом
из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?

69)
Площадь прямоугольного земельного участка равна 20 га, ширина участка равна 250 м. Найдите
длину этого участка в метрах.

70)
Пол комнаты, имеющей форму
прямоугольника со сторонами 4 м и 10 м, требуется покрыть
паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?

71)
Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 20
см и 23 см. Еѐ наклеили на белую бумагу так,
что вокруг
картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины.
Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна
1258

см
2
. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в
сантиметрах.


72)
Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 23
см и 39 см. Еѐ
наклеили на белую бумагу так, что вокруг
картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины.
Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна
1161

см
2
. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в
сантиметрах.


73)
Какое наибольшее число коробок в форм
е прямоугольного параллелепипеда размером


9


30
×
50
×
90

(см) можно поместить в кузов машины размером
2,4
×
3
×
2,7

(м)?

74)
Сколько досок длиной
2

м, шириной
10

см и толщиной
20

мм выйдет

из бруса длиной
80

дм, имеющего в сечении прямоугольник размером

40

см
×

60

см?

75)
Сколько досок длиной
3

м, шириной
10

см и толщиной
25

мм выйдет

из бруса длиной
90

дм, имеющего в сечении прямоугольник размером

30

см
×

70

см?

76)
Сколько досок длиной
4

м, шириной
20

см и толщиной
30

мм выйдет

из бруса длиной
80

дм, имеющего в с
ечении прямоугольник размером

30

см
×

40

см?

77)
Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером
30
×
60
×
90

(см) можно поместить в кузов машины размером
2,7
×
6
×
3,6

(м)?

Площадь параллелограмма

78)
Сторона ромба равна 19, а
расстояние от центра ромба до неѐ равно 4. Найдите площадь
ромба.

79)
Сторона ромба равна 29, а диагональ равна 42. Найдите площадь ромба.

80)
Сторона ромба равна 39, а диагональ равна 30. Найдите площадь ромба.

81)
П
риметр ромба равен 116, а один из углов

равен
30
°
. Найдите площадь ромба.

82)
Площадь ромба равна 8, а периметр равен 32. Найдите высоту ромба.

83)
Периметр ромба равен 72, а один из углов равен
30
°
. Найдите площадь этого ромба.

84)
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 6.

85)
Сторона ромба равна 10, а расстояние от точки пересечения
диагоналей ромба до неѐ равно 3. Найдите площадь этого ромба.


86)
Сторона ромба равна 12, а расстояние от точки пересечения
диагоналей ромба до неѐ равно 2. Найдите площадь этого ромба


87)

Площадь ромба равна 63, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

88)
Высота
BH

параллелограмма
ABCD

делит его сторону
AD

на отрезки
AH
=1

и
HD
=63
. Диагональ параллелограмма
BD


равна 65. Найдите площадь параллелограмма.


Площадь трапеции

111)
В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой
стороной и основанием равен
45°


. Найдите площадь этой трапеции.




112)
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой
стороной и основанием равен
45°
. Найдите площадь этой трапеции.



10



113)
В трапеции
ABCD

известно, что
AD
=9
,
BC
=3
, а еѐ площадь равна
80.
Найдите площадь трапеции
BCNM
, где
MN



средняя линия
трапеции
ABCD
.


114)
В трапеции
ABCD

известно, что
AD
=4
,
BC
=1
, а еѐ площадь равна 35.
Найдите площадь треугольника
ABC


115)
Площадь параллелограмма
ABCD

равна 30.

Точка
E



середина стороны
CD
. Найдите площадь трапеции
ABED
.

116)
Основания трапеции равны 1 и 13, одна из боковых сторон равна
15

2
, а угол между ней и
одним из оснований равен
135
°
. Найдите площадь трапеции.

117)
Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна
27
, а синус угла между
ней и одним из основан
ий равен
4/9
. Найдите площадь трапеции.

118)
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а еѐ боковые стороны равны 13.
Найдите площадь трапеции.


Параллелограмм

119)
Диагональ
AC

параллелограмма
ABCD

образует с его
сторонами углы, равные
30°

и
45°
.

Найдите боль
ший
угол этого параллелограмма.
Ответ
дайте в градусах

120)
Найдите острый угол
параллелограмма
ABCD
, если
биссектриса угла
A

образует со стороной
BC

угол, равный
33°

. Ответ дайте в градусах.



121)
В параллелограмме
ABCD

диагональ
AC

в 2 раза больше стороны
AB

и

ACD
=
104
°
.
Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

122)
Найдите острый угол
параллелограмма
ABCD
,
если биссектриса угла
A

образует со стороной
BC

угол, равный
15°
.
Ответ дайте в градусах.


123)
В параллелограмме
ABCD

диагональ
AC

в 2 раза больше стороны
AB

и

ACD
=21°
.

Найдите угол между
диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в
градусах.


124)
Биссектрисы углов
A

и
D

параллелограмма
ABCD

пересекаются в
125)
Биссектрисы углов
A

и
D

параллелограмма
ABCD

пересекаются в


11


точке, лежащей на стороне
BC
. Найдите
AB
,
если
BC
=
34
.

точке, лежащей на стороне
BC
. Найдите
BC
,
если
AB
=
42
.

126)
Диагональ
BD
параллелограмма
ABCD

образует с его
сторонами углы, равные
65°

и
50°
. Найдите
меньший угол этого
параллелограмма. Ответ дайте в градусах.


127)
Найдите величину
острого угла
параллелограмма
ABCD
,
если биссектриса угла
A

образует со стороной
BC

угол, равный
31°
.Ответ дайте в

градусах.


128)
Высота
AH

ромба
ABCD

делит сторону
CD

на отрезки
DH
=
12

и
CH
=
3
. Найдите
высоту ромба.

129)
Высота
AH

ромба
ABCD

делит сторону
CD

на отрезки
DH
=
15

и
CH
=
2
. Найдите
высоту ромба.

Прямоугольник

130)
Диагональ прямоугольника образует угол
50
°

с одной

из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого
прямоугольника. Ответ дайте
в градусах.

131)
Диагональ прямоугольника образует угол
48°

с одной из его сторон. Найдите угол
между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах

132)
На стороне
BC

прямоугольника
ABCD
, у которого
AB
=
3

и
AD
=
7
, отмечена точка
E

так, что

EAB
=
45
°
. Найдите
ED
.



Трапеция

133)
В трапеции
ABCD

известно, что
AB
=
CD
,

BDA
=14°

и

BDC
=106°. Найдите
угол
ABD
.

Ответ дайте в градусах.



134)
В трапеции
ABCD

известно, что
AB
=
CD
,

BDA
=24°

и

BDC
=70°. Найдите угол
ABD
.

Ответ дайте в градусах.



135)
Сумма двух углов
равнобедренной трапеции
равна 352°

. Найдите меньший
угол этой трапеции.
Ответ дайте

в градусах.



136)
Найдите больший угол
равнобедренной трапеции
ABCD
, если диагональ
AC

образует с основанием
AD

и боковой стороной
AB

углы, равные 33°

и 13°


соответственно. Ответ дайте в
градусах.





12


137)
Высота
равнобедренной
трапеции, проведѐнная
из вершины
C
, делит
основание
AD

на отрезки
длиной 8 и 15. Найдите
длину основания
BC
.


138)
Основания трапеции
равны 10 и 11. Найдите
больший из отрезков, на
которые делит среднюю
линию этой трапеции одна из еѐ диагоналей.


139)
Основания трапеции
равны 4 и 10. Найдите
больший из отрезков, на
которые делит среднюю
линию этой трапеции
одна из еѐ диагоналей.


140)
Найдите больший угол
равнобедренной трапеции
ABCD
, если диагональ
AC

образует с

основанием
AD

и боковой стороной
AB

углы, равные 22°

и 13°соответственно.
Ответ дайте в

градусах.


141)
Основания равнобедренной трапеции
равны 27 и 63, боковая сторона равна 3
0.
Найдите длину диагонали трапеции.

142)
Сумма двух углов
равнобедренной трапеции равна
26
°
. Найдите больший угол
трапеции. Ответ дайте в
градусах.

143)
Тангенс острого угла прямоугольной
трапеции равен
1/4
. Найдите еѐ большее
основание, если меньшее
основание равно
высоте и равно 4.

144)
Высота равнобедренной трапеции,
проведѐнная из вершины
C
, делит основание
AD

на отрезки длиной 1 и

17. Найдите длину
основания
BC
.


145)
Основания равнобедренной трапеции
равны 7 и 19, а еѐ боковые стороны равны 10.
На
йдите площадь трапеции.

146)
Основания равнобедренной трапеции
равны 11 и 21, а еѐ боковые стороны равны 13.
Найдите площадь трапеции.

147)
Найдите меньший угол
равнобедренной трапеции
ABCD
, если диагональ
АС

образует с
основанием
ВС

и
боковой стороной
CD

углы, равные
30°
и
105°
соответственно. Ответ дайте в градусах




Треугольник

148)
Один из острых углов прямоугольного
треугольника равен
23°

. Найдите его
другой острый угол.
Ответ дайте в
градусах.



149)
В треугольнике
ABC

известно, что
AB
=
BC
,

ABC
=108°
.
Найдите угол
BCA
.

Ответ дайте

в градусах.





13


150)
В треугольнике
ABC

известно, что
AB
=
BC
,

ABC
=128°
. Найдите угол
BCA
.

Ответ дайте

в градусах.



151)
В треугольнике
ABC

проведена
биссектриса
AL
, угол
ALC

равен
112°
, угол
ABC

равен
106°
.
Найдите угол
ACB
. Ответ дайте
в градусах.



152)
В треугольнике
ABC

проведена
биссектриса
AL
, угол
ALC

равен
58°
, угол
ABC

равен
54°
. Найдите
угол
ACB
.

Ответ дайте в градусах.



153)
В треугольнике
ABC

известно, что
BM



медиана и
BH



высота. Известно,
что
AC
=64
,
HC
=16

и

ACB
=37°
.
Найдите угол
AMB
.
Ответ
дайте в градусах.


154)
В треугольнике
ABC

известно, что

BAC
=62°
,
AD



биссектриса. Найдите
угол
BAD
.

Ответ дайте в градусах.



155)
Точки
M

и
N

являются серединами
сторон
AB

и
BC

треугольника
ABC
,
сторона
AB

равна 21,
сторона
BC

равна 22, сторона
AC

равна 28.
Найдите
MN

.



156)
Катеты прямоугольного треугольника
равны 12 и 16. Найдите гипотенузу этого
треугольника.

157)
Катеты прямоугольного треугольника
равны 16 и 30. Найдите
гипотенузу этого
треугольника.

158)
В прямоугольном треугольнике катет и
гипотенуза равны 16 и 20 соответственно.
Найдите другой катет этого треугольника.

159)
В прямоугольном треугольнике катет и
гипотенуза равны 20 и 25 соответственно.
Найдите другой кате
т этого треугольника.

160)
В треугольнике
ABC

известно, что
AC
=14
,
BM



медиана,
BM
=10
. Найдите
AM
.


161)
В треугольнике
ABC

известно, что
AC
=58
,
BM



медиана,
BM
=37
.
Найдите
AM
.


162)
Сторона
равностороннего
треугольника равна
16√3
.

Найдите медиану

этого треугольника.



163)
Биссектриса
равностороннего
треугольника равна
13√3
.

Найдите сторону
этого треугольника.





14



164)
В прямоугольном треугольнике
ABC

катет
AC
=25
, а высота
CH
, опущенная на
гипотенузу, равна
4√21
.
Найдите
sin

ABC
.


165)
В прямоугольном треугольнике
ABC

катет
AC
=70
, а высота
CH
, опущенная на
гипотенузу, равна
−−7√19.
Найдите
sin

ABC

166)
Точка
D

на стороне
AB

треугольника
ABC

выбрана так, что
AD
=
AC
. Известно, что

CAB
=10°

и

ACB
=166°
. Найдите угол
DCB
.

Ответ дайте в
градусах.



167)
Точка
D

на стороне
AB

треугольника
ABC

выбрана так, что
AD
=
AC
. Известно, что

CAB
=122°

и

ACB
=47°
. Найдите
угол
DCB
.

Ответ дайте в градусах.


168)
Катеты прямоугольного треугольника
равны
2

91

и
6
. Найдите синус наименьшего
угла этого
треугольника.

169)
Катеты прямоугольного треугольника
равны
20

и
15
. Найдите синус наименьшего
угла этого треугольника.

170)
В треугольнике
ABC

известно, что
AB
=
BC
=37,
AC
=24. Найдите длину медианы
BM


171)
Высота равностороннего треугольника
равна
12

3
.
Найдите сторону этого
треугольника.

172)
В остроугольном треугольнике
ABC

высота
AH

равна
19

21
, а
сторона
AB

равна
95
. Найдите
cos
B
.


173)
В остроугольном треугольнике
ABC

высота
AH

равна 5√91, а
сторона
AB

равна 50. Найдите
cos
B

.



174)
Высота равностороннего треугольника
равна
78√3
. Найдите его периметр.


175)
Высота равностороннего треугольника
равна
53√3
. Найдите его периметр.


176)
В треугольнике
АВС

углы
А

и
С

равны
20°

и
60°

соответственно. Найдите угол между высотой
ВН

и
биссектрисой
BD
.



177)
В выпуклом четырехугольнике
ABCD

известно, что
AB
=
BC
,
AD
=
CD
,

B
=77°
,

D
=141°
. Найдите угол
A
. Ответ дайте в градусах.





15


Правильный многоугольник



178)
ABCDEFGH



правильный
восьмиугольник. Найдите угол
EFG
. Ответ
дайте

в градусах.


179)
ABCDEFGHI



правильный
девятиугольник. Найдите угол
BAG
. Ответ
дайте в градусах.


180)
ABCDEFGH



правильный
восьмиугольник. Найдите угол
DBE
. Ответ
дайте в градусах.


181)
ABCDEFGHI



правильный
девятиугольник. Найдите угол
CAF
. Ответ

дайте в градусах.



Утверждения


Какое из следующих утверждений верно? В ответ запишите номер
выбранного утверждения.

1)

Центр вписанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте,
проведѐнной к основанию треугольника.

2)

Центры
вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника
совпадают.

3)

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром
окружности, вписанной в треугольник.



16


4)

Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересеч
ения его
биссектрис.

5)

Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника
совпадают.

6)

Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте,
проведѐнной к основанию треугольника.

7)

Центром описанной окружности
треугольника является точка пересечения
серединных перпендикуляров к его сторонам.

8)

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого
треугольника.

9)

Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

10)

В любой
четырѐхугольник можно вписать окружность.

11)

В любой ромб можно вписать окружность.

1
2)

В любой прямоугольник можно вписать окружность.

13)

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

14)

В любой треугольник можно вписать окружность.

15)

Любой
прямоугольник можно вписать в окружность.

16)

Любой квадрат можно вписать в окружность.

17)

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.

18)

Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

19)

Касательная к окружности параллельна радиусу,
проведѐнному в точку касания.

20)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

21)

Все диаметры окружности равны между собой.

22)

Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу,
опирающемуся на ту же дугу.

23)

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к
этой окружности.

24)

Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу

25)

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно
радиусу.

26)

Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса

27)

Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

28)

Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса
другой окружности.

29)

Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра
окружности.

30)

В плоскости все точки, равноудалѐнные от заданной точки, лежат на одной
окружности.



17


31)

Существуют три прямые, которые проходят через

одну точку.

32)

Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти
две прямые параллельны.

33)

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

34)

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой,
перпендикулярны.

35)

Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

36)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
перпендикулярную этой прямой.

37)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести
прямую, параллельную
этой прямой.

38)

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

39)

Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.

40
)

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

41
)

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

42
)

Если диагонали выпуклого четырѐхугольника равны и перпендикулярны, то этот
четырѐхугольник является квадратом.

4
3
)

Если стороны одного четырѐхугольника соответственно равны стор
онам другого
четырѐхугольника, то такие четырѐхугольники равны.

44
)

Если три угла одного треугольника равны соответственно трѐм углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.

45
)

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум
сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.

46)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие
треугольники равны.

47
)

Если три угла
одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.

48
)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.

49)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны

двум сторонам другого
треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники
подобны.

50)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трѐм сторонам другого
треугольника, то треугольники подобны.

51)

Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие
углы равны
90°
, то эти две прямые параллельны.

52)

Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и
секущей, равны

53)

Если при пересечении двух прямых

третьей прямой накрест лежащие углы равны, то


18


прямые параллельны

54)

Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних
односторонних углов равна
180°
, то эти прямые параллельны

55)

Если при пересечении двух прямых третьей прямой
внутренние накрест лежащие
углы равны, то эти прямые параллельны.

56
)

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

57
)

Все квадраты имеют равные площади.

5
8)

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

59
)

Существует
квадрат, который не является прямоугольником.

60
)

Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

61
)

Все квадраты имеют равные площади.

62
)

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

63
)

В любом
прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

64
)

Все углы прямоугольника равны.

65
)

Средняя линия трапеции параллельна еѐ основаниям.

66
)

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

67)

У любой трапеции боковые стороны равны.

68)

У любой трапеции основания параллельны.

69)

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

70)

Основания любой трапеции параллельны.

71)

В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.

72)

Диагональ трапеции делит еѐ на два
равных треугольника.

73)

Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

74)

Боковые стороны любой трапеции равны.

75)

Диагонали прямоугольной трапеции равны.

76
)

В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.

77
)

Площадь
трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

78
)

Средняя линия трапеции равна сумме еѐ оснований.

79)

Основания равнобедренной трапеции равны.

8
0)

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

81
)

Все углы ромба
равны.

82)

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

83
)

Диагонали ромба равны.

8
4)

Диагонали ромба перпендикулярны.



19


85)

Если в ромбе один из углов равен
90°
, то такой ромб


квадрат.

86
)

Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то

этот параллелограмм
является ромбом.

87
)

Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между
ними.

88
)

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведѐнную к этой
стороне.

89
)

Если диагонали параллелограмма
равны, то этот параллелограмм является ромбом.

90
)

Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм
является ромбом.

91
)

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

92
)

В параллелограмме есть два равных
угла.

93)

Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.

94)

Существует ромб, который не является квадратом.

95)

Ромб не является параллелограммом.

96
)

Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является


квадратом.

97
)

Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между
ними.

98)

Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм
является ромбом.

99

Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот
па
раллелограмм


квадрат.

100

Если в четырѐхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырѐхугольник


ромб.

101

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является квадратом

102

Диагональ параллелограмма делит его на два равных
треугольника.

103

Если диагонали выпуклого четырѐхугольника равны и перпендикулярны, то этот
четырѐхугольник является квадратом.

104
)

Все углы прямоугольника равны.

105
)

Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

106

Любой
квадрат является прямоугольником.

107

Все квадраты имеют равные площади.

108

В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны

109

Диагонали прямоугольника равны.

110

Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

112

Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.



20


113

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

114

Существует параллелограмм, который не является прямоугольником.

115

Не существует прямоугольника, диагонали
которого взаимно перпендикулярны.

116

Существует квадрат, который не является прямоугольником.

117

Квадрат является прямоугольником.

118

Любой квадрат
является ромбом.

119

Существует квадрат, который не является ромбом.

120

Существует прямоугольник,
который не является параллелограммом.

121

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

122

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

123

Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

124

Любой квадрат является прямоугольником.

125

Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

126

Вертикальные углы равны.

127

Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.

128

Внешний угол треугольника больше не смежного с ним внутреннего угла.

129

Всегда один
из двух смежных углов острый, а другой тупой.

130

Сумма смежных углов равна
180°

131

Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

132

Смежные углы всегда равны.

133

Треугольник с углами
40°,  70°, 70°




равнобедренный.

134

Если из точки
M

проведены две касательные к окружности и
А

и
В


точки касания,
то отрезки
MA

и
MB

равны.

135
)

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

136
)

Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

137
)

Сумма углов
прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

138

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна
90°

139

Сумма углов тупоугольного треугольника равна
180°

140

Сумма углов любого треугольника равна
180°

141
)

Сумма углов равнобедренного
треугольника равна 180 градусам.

142

Сумма углов остроугольного треугольника равна
180°

143
)

В остроугольном треугольнике все углы острые.

144
)

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.



21


145

В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.

146
)

Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.

147
)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

148
)

Любые два равносторонних треугольника подобны.

149

У равностороннего треугольника три оси симметрии.

150

Все высоты равностороннего треугольника равны.

151

Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.

152

Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.

153

Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.

154

Медиана
равнобедренного треугольника, проведѐнная из вершины, противолежащей
основанию, перпендикулярна основанию.

155

Медиана равнобедренного треугольника, проведѐнная из вершины угла,
противолежащего основанию, делит этот угол пополам.

156

У равнобедренного
треугольника есть ось симметрии.

157

Медиана равнобедренного треугольника, проведѐнная к его основанию, является его
высотой.

158

Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

159

Любая высота равнобедренного треугольника
является его биссектрисой.

160

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

161

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

162

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведѐнная из вершины,
противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

163

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведѐнная из вершины,
противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

164

Любая медиана равнобедренного треугольника является его
биссектрисой.

165

Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.

166

Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

167

Если две стороны треугольника равны, то равны и противолежащие им углы.

168

Если два угла
треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

169

Против большей стороны треугольника лежит меньший угол.

170
)

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

171

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

172

Против равных сторон
треугольника лежат равные углы.

173

Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

174

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

175

У равностороннего треугольника есть центр симметрии.



22


176

На плоскости существует единственная
точка, равноудалѐнная от концов отрезка.

177
)

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

178

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

179

Площадь треугольника не превышает произведения
двух его сторон.

180

Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный

181

Точка, равноудалѐнная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к
этому отрезку.

182

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она
равноудалена от сторон этого угла.

183
)

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

184
)

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к
прилежащему к этому углу катету.

185

Все прямоугольные треугольники подобны.

186

Если

один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный.

187
)

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

188
)

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

18
9)

Если точка лежит на
биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

190
)

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

191
)

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются

в точке, являющейся центром окружности, описанной
около треугольника.

192
)

Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов
этого отрезка.


Часть 2

Окружность

1
.
Окружности радиусов 28 и 36 касаются внешним образом. Точки
A

и
B

лежат на первой
окружности, точки
C

и
D



на второй. При этом
AC

и
BD



общие касательные окружностей.
Найдите расстояние между прямыми
AB

и
CD
.

2
.
Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки
A

и
B

лежат на первой
окружности, точки
C

и
D



на второй. При этом
AC


и
BD



общие касат
ельные окружностей. Найдите расстояние между прямыми
AB

и
CD
.

3
.
Окружности радиусов 18 и 90 касаются внешним образом. Точки
A

и
B

лежат на первой
окружности, точки
C

и
D



на второй. При этом
AC

и
BD



общие касательные окружностей.
Найдите расстояние между прямыми
AB

и
CD
.



23


4
.
Отрезки
AB

и
CD

являются хор
дами окружности. Найдите длину
хорды
CD
, если
AB
=
24
, а
расстояния от центра окружности до хорд
AB

и
CD

равны соответственно 16 и 12.

5
.
Окружности с цент
рами в точках
I

и
J

пересекаются в точках
A

и
B
, причѐм точки
I

и
J

лежат
по одну сторону от прямой
AB
. Докажите,
что прямые
AB

и
IJ

перпендикулярны.


Окружность

и треугольник

6
.
Две касающиеся внешним образом в точке
K

окружности, радиусы которых равны 15 и 24,
касаются сторон угла с вершиной
A
. Общая касательная к этим окружностям, проходящая
через точку
K
, пересекает стороны угла в точках
B

и
C
. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника
ABC
.

7
.
Две касающ
иеся внешним образом в точке
K

окружности, радиусы которых равны 39 и 42,
касаются сторон угла с вершиной
A
. Общая касательная к этим окружностям, проходящая
через точку
K
, пересекает стороны угла в точках
B

и
C
. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника
ABC
.

8
.
В треугольнике
ABC

биссектриса угла
A

делит высоту, проведѐнную
из вершины
B
, в
отношении
5
:
3
, считая от точки
B
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
ABC
, если
BC
=
16
.

9
.
В
треугольнике
ABC

биссектриса угла
A

делит высоту, проведѐнную
из вершины
B
, в
отношении
5
:
4
, считая от точки
B
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
ABC
, если
BC
=
6
.

10
.
В треугольнике
ABC

известны длины сторон
AB
=
20
,
AC
=
40
, точка
O



центр окружности,
описанной около треугольника
ABC
. Прямая

BD
, перпендикулярная прямой
AO
, пересекает
сторону
AC

в точке
D
.
Найдите
CD
.

11
.
Медиана
BM

треугольника
ABC

является диаметром окружности, пересекающей сторону
BC

в еѐ середине. Длина стороны
AC

равна 4. Найдите радиус описанной окружности
треугольника
ABC
.

12
.
В треугольнике
ABC

известны длины сторон
AB
=
30
,
AC
=
100
, точка
O



центр окружности,
описанной около треугольника
ABC
. Прямая

BD
, перпендикулярная прямой
AO
, пересекает
сторону
AC

в точке
D
.
Найдите
CD
.

13
.
В треугольнике
ABC

известны длины сторон
AB
=
8
,
AC
=
64
, точка
O



центр окружности,
описанной около треугольника
ABC
.


Прямая


BD
, перпендикулярная прямой
AO
, пересекает
сторону
AC

в точке
D
.
Найдите
CD
.


14
.
Точки
M

и
N

лежат на стороне
AC

треугольника
ABC

на расстояниях соответственно 18 и 40
от вершины
A
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки
M

и
N

и касающейся луча
AB
, если
cos

BAC
=
5

3
.



24


15
.
На стороне
BC

остроугольного треугольника
ABC

как на диаметре построена
полуокружность, пересекающая высоту
AD

в точке
M
,
AD
=
15
,
MD
=
12
,
H



точка пересечения
высот треугольника
ABC
. Найдите
AH
.

16
.
На стороне
BC

остроугольного треугольника
ABC

(
AB

AC

) как на диаметре построена
полуокружность, пересекающая высоту
AD

в точке
M
,
AD
=
50
,
MD
=
45
,
H



точка пересечения
высот треугольника
ABC
. Найдите
AH
.

17
.
На стороне
AB

треугольника
ABC

взята точка
D

так, что окружность, проходящая через
точки
A
,
C

и
D
, касается прямой
BC
. Найдите
AD
, если
AC
=
20
,
BC
=
10

и
CD
=
8
.

18
.
Биссектриса
CM

треугольника
ABC

делит сторону
AB

на отрезки
AM
=
10

и
MB
=
18
.
Касательная к описанной окружности треугольника
ABC
, проходящая через точку
C
,
пересекает прямую
AB

в точке
D
. Найдите
CD
.

19
.
Биссектриса
CM

треугольника
ABC

делит сторону
AB

на отрезки
AM
=
17

и
MB
=
19
.
Касательная к описанной окружности треугольника
ABC
, проходящая через точку
C
,
пересекает прямую
AB

в точке
D
. Найдите
CD
.

20
.
Биссектриса
CM

треугольника
ABC

делит
сторону
AB

на отрезки
AM
=
3

и
MB
=
12
.
Касательная к описанной окружности треугольника
ABC
, проходящая через точку
C
,
пересекает прямую
AB

в точке
D
. Найдите
CD
.

21
.
Точка
H

является основанием высоты
BH
, проведѐнной из вершины прямого угла
B

прямоугольного треугольника
ABC
. Окружность
с диаметром
BH

пересекает стороны
AB

и
CB

в точках
P

и
K

соответственно. Найдите
BH
, если
PK
=
11
.

22
.
Окружность с центром на стороне
AC

треугольника
ABC

проходит через вершину
C

и
касается прямой
AB

в точке
B
. Найдите
AC
, если диаметр окружности равен 6,4, а
AB
=
6
.

23
.
Окружность пересекает стороны
AB

и
AC

треугольника
ABC

в точках
K

и
P

соответственно
и проходит через вершины
B

и
C
. Найдите длину отрезка
KP
, если
AK
=
14
, а сторона
AC

в 2
раза больше стороны
BC
.

24
.
Окружность пересекает стороны
AB

и
AC

треугольника
ABC

в точках
K

и
P

соответственно
и проходит через вершины
B

и
C
. Найдите длину отрезка
KP
, если
AK
=
16
, а сторона
AC

в 1,6
раза больше стороны
BC
.

25
.
Окружность пересекает стороны
AB

и
AC

треугольника
ABC

в точках
K

и
P

соответственно
и проходит через вершины
B

и
C
. Найдите длину отрезка
KP
, если
AP
=
9
, а сторона
BC

в 3 раза
меньше стороны
AB
.

26
.
Углы
B

и
C

треугольника
ABC

равны соответственно
63
°

и
87
°
.

Найдите
BC
, если радиус окружности, описанной около треугольника
ABC
, равен 11.

27
.
Углы
B

и
C

треугольника
ABC

равны соответственно
64
°

и
86
°
.

Найдите
BC
, если радиус окружности, описанной около треугольника
ABC
, равен 13.




25


Окружность и четырехугольник

28
.
В трапеции
ABCD

боковая сторона
AB

перпендикулярна основанию
BC
. Окружность
проходит через точки
C

и
D

и касается прямой
AB

в точке
E
.

Найдите расстояние от точки
E

до
прямой
CD
, если
AD
=
24
,
BC
=
12
.

29
.
Середина
M

стороны
AD

выпуклого четырѐхугольника равноудалена от всех его вершин.
Найдите
AD
, если
BC
=
9
, а углы
B

и
C

четырѐхугольника равны соответственно
98
и
142
.

30
.
Середина
M

стороны
AD

выпуклого четырѐхугольника равноудалена от всех его вершин.
Найдите
AD
, если
BC
=
8
, а углы
B

и
C

четырѐхугольника равны соответственно
92

и
148
.

31
.
Четырѐхугольник
ABCD

со сторонами
AB
=
19

и
CD
=
28

вписан в окружность. Диагонали
AC

и
BD

пересекаются в точке
K
, причѐм

AKB
=
60
. Найдите радиус окружности, описанной
около этого четырѐхугольника.

32
.
Четырѐхугольник
ABCD

со сторонами
AB
=
19

и
CD
=
22

вписан в окружность. Диагонали
AC

и
BD

пересекаются в точке
K
, причѐм

AKB
=
60

. Найдите радиус окружности, описанной
около этого четырѐхугольника.

33
.
Четырѐхугольник
ABCD

со сторонами
AB
=
39

и
CD
=
12

вписан
в окружность. Диагонали
AC

и
BD

пересекаются в точке
K
,
причѐм

AKB
=
60
°
. Найдите
радиус окружности, описанной
около этого четырѐхугольника.

34
.
В выпуклом четырѐхугольнике
NPQM

диагональ
NQ

является биссектрисой угла
PNM

и
пересекается с диагональю
PM

в точке
S
. Найдите
NS
, если известно, что около
четырѐхугольника
NPQM

можно описать ок
ружность,
PQ
=
96
,
SQ
=
9
.

35
.
В выпуклом четырѐхугольнике
NPQM

диагональ
NQ

является биссектрисой угла
PNM

и
пересекается с диагональю
PM

в точке
S
. Найдите
NS
, если известно, что около
четырѐхугольника
NPQM

можно описать окружность,
PQ
=
44
,
SQ
=
22
.

36
.
В выпуклом четырѐхугольнике
ABCD

углы
DAC

и
DBC

равны. Докажите, что углы
CDB

и
CAB

также равны.

37
.
Известно, что около четырѐхугольника
ABCD

можно описать окружность
и что
продолжения сторон
AD

и
BC

четырѐхугольника пересекаются
в точке
K
. Докажите, что
треугольники
KAB

и
KCD

подобны.

38
.
Середина
M

стороны
AD

выпуклого четырѐхугольника
ABCD

равноудалена от всех его
вершин. Найдите
AD
, если
BC
=
9
, а углы
B

и
C

четырѐхугольника равны соответственно
116
°

и
94
°
.

39
.
Середина
M

стороны
AD

выпукло
го четырѐхугольника
ABCD

равноудалена от всех его
вершин. Найдите
AD
, если
BC
=
19
, а углы
B

и
C

четырѐхугольника равны соответственно
95
°

и
115
°
.

40
.
В трапеции
ABCD

боковая сторона
AB

перпендикулярна основанию
BC
.


Окружность
проходит через точки
C

и
D

и касается прямой
AB

в точке
E
. Найдите расстояние от точки
E

до
прямой
CD
, если
AD
=
12
,
BC
=
9
.



26


Трапеция

41.
Основания трапеции относятся как 2:3. Через точку пересечения диагоналей проведена
прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая
делит площадь трапеции?

42.
Углы при одном из оснований трапеции равны
44


и
46

, а отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон трапеции, равны 15 и 2. Найдите основания трапеции.

43.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средн
яя линия равна 10.

44
.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.

45
.
Боковые стороны
AB

и
CD

трапеции
ABCD

равны соответственно 20 и 25, а основание
BC

равно 5. Биссектриса угла
ADC

проходит через середину стороны
AB
.

Найдите площадь
трапеции.

46.
Прямая, параллельная основаниям трапеции
ABCD
, пересекает еѐ боковые стороны
AB

и
CD

в точках
E

и
F

соответственно. Найдите длину
отрезка
EF
, если
AD
=
33
,
BC
=
18
,
CF
:
DF
=
2
:
1
.

47.
Прямая, параллельная основаниям трапеции
ABCD
, пересекает еѐ боковые стороны
AB

и
CD

в точках
E

и
F

соответственно. Найдите дл
ину
отрезка
EF
, если
AD
=
44
,
BC
=
24
,
CF
:
DF
=
3
:
1
.

48.
Найдите боковую сторону
AB

трапеции
ABCD
, если углы
ABC

и
BCD

равны соответственно
60
°

и
135
°
, а
CD
=
24
.

49.
Найдите боковую сторону
AB

трапеции
ABCD
, если углы
ABC

и
BCD

равны соответственно
30
°

и
135
°
, а
CD
=
29
.

50.
В трапеции
ABCD
основание
AD
вдвое больше основания

ВС
и вдвое больше боковой
стороны
CD.
Угол

ADC
равен
60
°
,
сторона

AB
равна

4. Найдите площадь
трапеции.

51.
В трапеции
ABCD
основание
AD
вдвое больше основания

ВС
и вдвое больше боковой
стороны
CD.
Угол

ADC
равен
60
°
,
сторона

AB
равна

1. Найдите площадь трапеции.

52.
В трапеции
ABCD

основания
AD

и
BC

равны соответственно 36 и 12,
а сумма углов при
основании
AD

равна
90
°
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки
A

и
B

и
касающейся прямой
CD
, если
AB
=
13
.

53.

В трапеции
ABCD

основания
AD

и
BC

равны соответственно 48 и 24,
а сумма углов при
основании
AD

равна
90
°
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки
A

и
B

и
касающейся прямой
CD
, если
AB
=
13
.

54.
В трапеции
ABCD

основания
AD

и
BC

равны соответственно 36 и 12,

а сумма углов при основании
AD

равна
90
°
. Найдите радиус окружности, проходящей через
точки
A

и
B

и касающейся прямой
CD
, если
AB
=
13
.

55.
В трапеции
ABCD

с основаниями
AD

и
BC

диагонали пересекаются

в точке
P
. Докажите, что площади треугольников
APB

и
CPD

равны.



27


56.
Биссектрисы углов
C

и
D

трапеции
ABCD

пересекаются в точке
P
, лежащей на стороне
AB
.
Докажите, что точка
P

равноудалена
от прямых
BC
,

CD

и
AD
.

57.
Биссектрисы углов
A

и
B

трапеции
ABCD

пересекаются в точке
K
, лежащей на стороне
CD
.
Докажите, что точка
K

равноудалена
от прямых
AB
,

BC

и
AD
.

58.
Углы при одном из оснований трапеции равны
18
°

и
72
°
, а отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.

59.
Боковые стороны
AB

и
CD

трапеции
ABCD

равны соответственно 12 и 13,

а основание
BC

равно 4. Биссектриса угла
ADC

проходит через середину
стороны
AB
. Найдите
площадь трапеции.

60.
Боковые стороны
AB

и
CD

трапеции
ABCD

равны соответственно 24 и 40, а основание
BC

равно 4. Биссектриса угла
ADC

проходит через середину стороны
AB
. Найдите площадь
трапеции.

61.
В равнобедренную трапецию, периме
тр которой равен 40, а площадь
равна 80, можно
вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до еѐ
меньшего основания.

62.
На средней линии трапеции
ABCD

с основаниями
AD

и
BC

выбрали произвольную точку
F
.
Докажите, что сум
ма площадей треугольников
BFC

и
AFD

равна половине площади трапеции.

63.
Основания
BC

и
AD

трапеции
ABCD

равны соответственно 4 и 64,
BD
=
16
. Докажите, что
треугольники
CBD

и
BDA

подобны.

64.
Биссектрисы углов
A

и
B

при боковой стороне
AB

трапеции
ABCD

пересекаются в точке
F
.
Найдите
AB
, если
AF
=
16
,
BF
=
12
.

65.
Биссектрисы углов
A

и
B

при боковой стороне
AB

трапеции
ABCD

пересекаются в точке
F
.
Найдите
AB
, если
AF
=
32
,
BF
=
24
.

66.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 13 и 11, а средняя линия рав
на 10.

67.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 9, а средняя линия равна 6.

68.
Основания трапеции относятся как 1:2. Через точку пересечения диагоналей проведена
прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь
трапеции?

69.
Найдите боковую сторону
AB

трапеции
ABCD
, если углы
ABC

и
BCD

равны соответственно
45
°

и
120
°
, а
CD
=
40
.

70.
Прямая, параллельная основаниям трапеции
ABCD
, пересекает еѐ боковые стороны
AB

и
CD

в точках
E

и
F

соответственно. Найдите длину
отрезка
EF
, если
AD
=
45
,
BC
=
20
,
CF
:
DF
=
4
:
1
.

71.
Боковая сторона трапеции равна

13
,
а основания равны 3 и4
.
Найдите диагональ трапеции
.

72.
В трапеции
ABCD

с основаниями
BC

и
AD

диагонали пересекаются в точке О
,
причем
AO
=3
OC
.
Площадь треугольника
AOD
=36.
Найдите площадь трапеции
.



28


73.
Большее основание равнобедренной трапеции равно 8
,
боковая сторона 9
,
а диагональ 11
.
Найти меньшее основание
.

74.
Высота равнобедренной трапеции равна 12
,
средняя линия 16
.
Найдите периметр трапеции
,
если ее диагональ
перпендикулярна боковой стороне
.

75.
Диагональ равнобедренной трапеции равна 5
,
а площадь равна 12
.
Найдите высоту
трапеции
.

76.
Высота трапеции равна 5
,
диагонали трапеции 1
3

и


41
.
Найдите площадь
.

Треугольник

77.
Одна из биссектрис треугольника делится
точкой пересечения биссектрис в отношении 25:1,
считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к
которой эта биссектриса проведена, равна 17.

78.
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отн
ошении 8:5,
считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к
которой эта биссектриса проведена, равна 20.

79.
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 26:1,
считая от вершины. Найд
ите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к
которой эта биссектриса проведена, равна 7.

80.
В прямоугольном треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена биссектриса ВТ
,
причем
АТ=15
,
ТЕ=12
.
Найдите площадь треугольника АВТ
.

81.
В треугольник
е АВС проведены биссектрисы
AD
и
CE
.
Найдите длину отрезка
DE
,
если
АС=6
,
АЕ=2
,
С
D
=3

82.
В треугольнике АВС
,
площадь которого
S
,
биссектриса СЕ и медиана
В
D

пересекаются в
точке
F
.
Найдите площадь четырехугольника А
DEF
,
если
BC
=
a
,
АС=
b

83.
В треугольнике
ABC

длина стороны
AB
=18,
длина биссектрисы А
E
=4

15,
длина
отрезка
EC
=5.
Определите периметр треугольника
ABC

84.
В треугольнике
KLM

проведены биссектриса
KP

и высота
KH
.
Известно
,
что
MK
:
KL
=1:2,
PH
:
MH
=3:2,
а площадь треугольника
KPH
=30.
Найти площадь
KLM
.

85.
Биссектриса угла
A

треугольника
ABC

делит медиану
,
проведенную из вершины
B

в
отношении 5
:4,
считая от вершины
B
.
В каком отношении
,
считая от вершины С
,
эта
биссектриса делит медиану
,
проведенную из вершины С
.

86.
В треугольнике
ABC

проведены медиана
AM

и высота
AH
.
Известно
,
что
MH
:
BH
=3:2,
а
площадь треугольника
AMH
=24.
Найдите площадь треугольника
ABC
.

87.
В треугольнике
ABC

биссектриса
BE

и медиана
AD

перпендикулярны и имеют одинаковую
длину, равную 84. Найдите стороны треугольника
ABC
.



29


88.
В треугольнике
биссектриса
и медиана
перпендикулярны и имеют
одинаковую длину, равную 4. Найдите стороны треугольника
.

89.
В треугольнике
ABC

с тупым углом
ACB

проведены высоты
AA
1

и
BB
1
. Докажите, что
треугольники
A
1
CB
1

и
ACB

подобны.

90.
Высоты
и
остроугольного треугольника
пересекаются в точке
. Докажите,
что углы
и
равны.

91.
Точка
H

является основанием высоты, проведѐнной из вершины прямого угла
B

треугольника
ABC

к гипотенузе
AC
. Найдите
AB
, если
AH
=
5
,
AC
=
45
.

92.
Площадь равнобедренного
треугольника АВС равна 90
,
а боковая сторона равна 10

3
.
К
основанию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и АН
,
пересекающиеся в точке К
.
Найдите
площадь СКН
.

93.
В треугольнике
ABC

на стороне
BC

выбрана точка
D

так
,
что
BD
:
DC
=1:2.
Медиана С
E

пересекает
отрезок А
D

в точке

F
.
Какую часть площади треугольника
ABC

составляет площадь
треугольника
AEF
.

94.
В треугольнике
ABC

на его медиане
BM

отмечена точка
K

так, что
BK
:
KM
=
4
:
1
. Прямая
AK

пересекает сторону
BC

в точке
P
. Найдите отношение площади треугольника
BKP

к
площади треугольника
ABC
.

95.
В треугольнике
ABC

на его медиане
BM

отмечена точка
K

так, что
BK
:
KM
=
7
:
2
. Прямая
AK

пересекает сторону
BC

в точке
P
. Найдите отношение площади четырѐхугольника
KPCM

к
площади треугольника
ABC
.

96.
Через середину
K

медианы
BM

треугольника
ABC

и вершину
A

проведена прямая,
пересекающая сторону
BC

в точке
P
. Найдите отношение площади треугольника
ABC

к
площади четырѐхугольника
KPCM
.

97.
Через середину
K

медианы
BM

треугольника
ABC

и вершину
A

проведена прямая,
пересекающая стор
ону
BC

в точке
P
. Найдите отношение площади четырѐхугольника
KPCM

к
площади треугольника
AMK
.

98.
Медиана
BM

и биссектриса
AP

треугольника
ABC

пересекаются в точке
K
, длина стороны
AC

втрое больше длины стороны
AB
. Найдите отношение площади треугольника
ABK

к
площади четырѐхугольника
KPCM
.

99.
Медиана
BM

и биссектриса
AP

треугольника
ABC

пересекаются в точке
K
, длина стороны
AC

втрое больше длины стороны
AB
. Найдите отношение площади четырехугольника
KPCM

к
площади треугольника
ABC
.

100.
В треугольнике
ABC

бис
сектриса
BE

и медиана
AD

перпендикулярны
и имеют одинаковую
длину, равную 32. Найдите стороны треугольника
ABC
.

101.
Медиана
BM

и биссектриса
AP

треугольника
ABC

пересекаются в точке
K
, длина стороны
AC

относится к длине стороны
AB

как 5:7. Найдите отношение площади четырѐхугольника
KPCM

к площади треугольника
ABC
.



30


102.
Медиана
BM

и биссектриса
AP

треугольника
ABC

пересекаются в точке
K
, длина стороны
AC

относится к длине стороны
AB

как 7:9. Найдите отношение площади треугольника
BKP

к
площади четырѐхугольника
KPCM
.

103.
Точка
H

является основанием высоты, проведѐнной из вершины прямого угла
B

треугольника
ABC

к гипотенузе
AC
. Найдите
AB
, если
AH
=
4
,
AC
=
16
.

104.
Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту,
проведѐнную к
гипотенузе.

105.
Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите высоту, проведѐнную к
гипотенузе.

106.
Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 72. Найдите высоту, проведѐнную к
гипотенузе.

107.
Катет и гипотенуза прямоугольного
треугольника равны 15 и 39. Найдите высоту,
проведѐнную к гипотенузе.

108.
Отрезки
AB

и
DC

лежат на параллельных прямых, а отрезки
AC

и

BD

пересекаются в точке
M
. Найдите
MC
, если
AB
=
12
,
DC
=
48
,
AC
=
35
.

109.
Отрезки
AB

и
DC

лежат на параллельных прямых, а отрезки
AC

и

BD

пересекаются в точке
M
. Найдите
MC
, если
AB
=
11
,
DC
=
22
,
AC
=
27
.

110.
Прямая, параллельная стороне
AC

треугольника
ABC
, пересекает
стороны
AB

и
BC

в точках
M

и
N

соответственно. Найдите
BN
,
если
MN
=
14
,
AC
=
21
,
NC
=
10
.

111.
Прямая, параллельная стороне
AC

треугольника
ABC
, пе
ресекает
стороны
AB

и
BC

в точках
M

и
N

соответственно. Найдите
BN
,
если
MN
=
17
,
AC
=
51
,
NC
=
32
.

112.
На стороне
АС

треугольника
АВС

выбраны точки
D

и
E

так, что отрезки
AD

и
CE

равны
(см. рисунок). Оказалось, что отрезки
BD

и
BE

тоже равны. Докажите, что треугольник
АВС



равнобедренный.


113.
На стороне
АС

треугольника
АВС

выбраны точки
D

и
E

так, что отрезки
AD

и
CE

равны
(см. рисунок). Оказалось, что углы
АDB

и
BEC

тоже равны
. Докажите, что треугольник
АВС



равнобедренный.



31





114.
Стороны
AC
,
AB
,
BC

треугольника
ABC

равны
2

5
,

13
и 2 соответственно. Точка
K

расположена вне треугольника
ABC
, причѐм отрезок
KC

пересекает сторону
AB

в точке,
отличной от
B
. Известно, что треугольник с вершинами
K
,
A

и
C

подобен исходному. Найдите
косинус угла
AKC
, если

KAC

90
°
.

115.
Стороны
AC
,
AB
,
BC

треугольника
ABC

равны
25,


10

и 2 соответственно. Точка
K

расположена вне треугольника
ABC
, причѐм отрезок
KC

пересекает сторону
AB

в точке,
отличной от
B
. Известно, что треугольник с вершинами
K
,
A

и
C

подобен исходному. Найдите
косинус угла
AKC
, если

KAC

90
°
.


Параллелограмм

116.
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба
параллельны

диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и
параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 13.

117.
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба
параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите
отношение площадей ромба и
параллелограмма, если отношение диагоналей

параллелограмма равно 26.

118.
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна
из диагоналей ромб
а равна 68. Найдите углы ромба.

119.
Высота
AH

ром
ба
ABCD

делит сторону
CD

на отрезки
DH
=
16

и
CH
=
4
. Найдите высоту
ромба.

120.
Биссектрисы углов
A

и
B

параллелограмма
ABCD

пересекаются в точке
K
. Найдите
площадь параллелограмма, если
BC
=
9
, а расстояние от точки
K

до стороны
AB

равно 3.

121.
Биссектрисы угло
в
A

и
B

параллелограмма
ABCD

пересекаются в точке
K
. Найдите
площадь параллелограмма, если
BC
=
16
, а расстояние от точки
K

до стороны
AB

равно 2.

122.
Биссектрисы углов
A

и
B

параллелограмма
ABCD

пересекаются в точке
K
. Найдите
площадь параллелограмма, если
BC
=
2
, а расстояние от точки
K

до стороны
AB

равно 1.



32


123.
Биссектрисы углов
A

и
B

параллелограмма
ABCD

пересекаются в точке
K
. Найдите
площадь параллелограмма, если
BC
=
6
, а расстояние от точки
K

до стороны
AB

равно 6.

124.
Биссектрисы углов
A

и
B

параллелограмма
ABCD

пересекаются в точке
K
. Найдите
площадь параллелограмма, если
BC
=
4
, а расстояние от точки
K

до стороны
AB

равно 8.

125.
Биссектриса угла
A

параллелограмма
ABCD

пересекает сторону
BC

в точке
K
. Найдите
периметр параллелограмма, если
BK
=
12
,
CK
=
16
.

126.
В параллелограмме
ABCD

диагонали
AC

и
BD

пересекаются в точке
O
. Докажите, что
площадь параллелограмма

ABCD

в четыре раза больше площади треугольника
AOB
.

127.
В параллелограмме
ABCD

точка
E



середина стороны
CD
. Известно, что
EA
=
EB
.
Докажите, что данный параллелограмм


прямоугольник.


128.

В параллелограмме
АВСD

проведены перпендикуляры
ВЕ

и
DF

к
диагонали
АС
(см. рисунок). Докажите, что отрезки
ВF

и

равны.


129.

В параллелограмме
АВСD

проведены перпендикуляры
ВЕ

и
DF

к
диагонали
АС
(см. рисунок). Докажите, что треугольники
BEF
  
и
  
DFE


равны.


130.
В параллелограмме
АВСD

точки
E
,
F
,
K

и
М

лежат на его
сторонах, как показано на рисунке, причѐм
АЕ

=

CK
,
СF

=

АM
.
Докажите, что
EFKM


параллелограмм.




131.
Через точку
O

пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD

проведена прямая,
пересекающая стороны
BC

и
AD

в точках
K

и
M

соответственно. Докажите, что отрезки
BK

и
DM

равны.

132.
В параллелограмме
ABCD

проведена диагональ
AC
. Точка
O

является центром окружности,
вписанной в треугольник
ABC
. Расстояния от точки
O

до точки
A

и прямых
AD

и
AC

соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма
ABCD
.

133.
В параллелограмме
ABCD

проведена диагональ
AC
. Точка
O

является центром о
кружности,
вписанной в треугольник
ABC
. Расстояния от точки
O

до точки
A

и прямых
AD

и
AC

соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма
ABCD
.

134.
В параллелограмме
ABCD

проведена диагональ
AC
. Точка
O

является центром окружности,
вписанной в треугольник
ABC
. Расстояния от точки
O

до точки
A

и прямых
AD

и
AC

соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма
ABCD
.

135.
Сторона
AD

параллелограмма
ABCD

вдвое больше стороны
CD
.
Точка
M



середи
на
стороны
AD
. Докажите, что
CM



биссектриса
угла
BCD
.



33


136.
Внутри параллелограмма
ABCD

выбрали произвольную точку
F
. Докажите, что сумма
площадей треугольников
BFC

и
AFD

равна половине площади параллелограмма.

137.
Т
очка
K



середина боковой стороны
CD

трапеции
ABCD
. Докажите,
что площадь
треугольника
KAB

равна половине площади трапеции.

138.
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 13, а одна
из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.

139.
Отрезки
AB

и
DC

лежат

на параллельных прямых, а отрезки
AC

и

BD

пересекаются в точке
M
. Найдите
MC
, если
AB
=
11
,
DC
=
55
,
AC
=
30
.

140.
В параллелограмме
ABCD

проведена диагональ
AC
. Точка
O

является центром окружности,
вписанной в треугольник
ABC
. Расстояния от точки
O

до точки
A

и прямых
AD

и
AC

соответственно равны 25, 10 и 7. Найдите площадь параллелограмма
ABCD
.

141.
В параллелограмме
ABCD

проведена диагональ
AC
. Точка
O

является центром окружности,
вписанной в треугольник
ABC
. Расстояния от точки
O

до точки
A

и прямых
AD

и
AC

соответственно равны 13, 10 и 5. Найдите площадь параллелограмма
ABCD
.

И
с
т
о
ч
н
и
к
и
:

http
://
www
.
fipi
.
ru

О
т
к
р
ы
т
ы
й

б
а
н
к

з
а
д
а
н
и
й

О
Г
Э

п
о

м
а
т
е
м
а
т
и
к
е
.



Приложенные файлы


Добавить комментарий