Вычисление углов между скрещивающимися прямыми


Конспект урока по математике
для учащихся 11 класса
«Вычисление углов между скрещивающимися прямыми»
(Подготовка к ЕГЭ)
Автор:
Учитель математики МОУ «СОШ № 55»
Ленинского района города Саратова
ПЕТРОВА Людмила Дмитриевна
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Урок одной задачи по тему:«Угол между скрещивающимися прямыми».
Характеристика темы урока.1) Центральным моментом технологии подготовки к ЕГЭ является обучение школьника приёмам мысленного поиска способа решения, а для этого следует показать ему всю картину поиска в трудных заданиях.2) Решение задачи по стереометрии, планиметрии оформляются примерно одинаково. В основе лежат общематематические и даже, можно сказать, общенаучные принципы. Структура текста решения такова: оно разделяется на этапы, а те, в свою очередь, могут быть разбиты на более мелкие части, содержащие цепочки умозаключений: как правило, следствий, равенств и даже неравенств, в зависимости от постановки и содержания задачи.3) Особая роль при решении геометрической задачи отводится чертежу, он не обязательно должен быть ровно один. Обычно на нём, в соответствии с условием задачи отмечают следующие данные: а) обозначения точек, прямых, плоскостей и других геометрических объектов; б) длины отрезков, величины углов, площади и объёмы; в) соотношения равенства длин или углов, перпендикулярности прямых или плоскостей.На чертеже можно ещё и вводить новые: а) обозначения объектов – первоначальных или возникающих в процессе дополнительных построений; б) величины – буквенные или вычисленные в процессе решения; в) соотношения равенства или перпендикулярности, определяемые построением или выведенные с помощью рассуждений. Одним словом, на чертеже фактически можно решать задачу, или, по крайней мере, демонстрировать фрагменты её решения.4) В связи с возможностью решать задачу прямо на чертеже возникают некоторые ограничения и проблемы. Ученику необходимо побеспокоится о том, чтобы проверяющий смог понять, в каком порядке и на основании чего появились на чертеже новые пометки. С этой целью пишется текст решения, который хотя и дублирует отчасти чертёж, тем не менее, отличается большей содержательностью, т.к. в нём : а) отражается хронология проведённых умозаключений; б) указываются причинно-следственные связи между утверждениями.Чертёж должен быть абсолютно ясным и разборчивым, а главное, понятным.Укажем типы задач по стереометрии, встречающиеся на ЕГЭ и вызывающие определённые трудности.1. Угол между скрещивающимися прямыми2. Расстояние от точки до прямой, до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми.3. Угол прямой с плоскостью.4. Угол между плоскостями.
Цели урока.
Методическая цель урока.Показать приёмы формирования у школьников навыков решения задач на вычисление углов в пространстве, умения применять изученный теоретический материал на практике, развивать их самостоятельность при решении задач разными методами.Методы:
А) использование моделей фигур и интерпретация их на чертеже;
Б) отбор соответствующих задач, способствующих формированию навыков и умений учащихся;
В) рассмотрение различных способов решения одной задачи.
2) Образовательная цель урока.Рассмотреть 3 метода решения одной задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми.3) Воспитательные цели урока.Формирование мировоззрения: показать, что источник возникновения изучаемых понятий представляет собой определённую систему знаний в геометрии.
III. На доске девиз.
«Незнанием никогда не следуетхвалиться: незнание есть бессилие».- Н. Г. Чернышевский.
Сегодня на уроке при решении одной задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми мы рассмотрим 3 метода решения. Методы: 1. Поэтапно-вычислительный 2. Векторно-координатный 3. Геометрический
Задача.На ребрах АВ, АС и SC правильной треугольной пирамиды SABC, у которой все плоские углы при вершине S прямые, взяты соответственно точки D, E, F – середины этих рёбер. Найти угол между прямыми DF и SE.
Решение.
Поэтапно вычислительный метод.

Построение чертежа.
Угол между прямыми DF и SE – искомый. DF и SE – скрещивающиеся прямые, т.к. SE лежит в плоскости ASC, а прямая пересекает эту плоскость в точке F, не лежащей на прямой SE.
Построим какой-нибудь угол, равный искомому. Для этого в плоскости SAC, которая проходит через прямую SE (одну из скрещивающихся прямых) и точку F (на другой скрещивающейся прямой), через т. F проведём прямую FK||SE. DFK равен искомому. Пусть DFK = .
Угол поместим в некоторый треугольник, для чего проведём DK. - угол треугольника DFK.
Найдём стороны треугольника DFK.а) введём вспомогательный параметр: обозначим сторону основания через ;б) треугольник ASC – прямоугольный равнобедренный, SE – медиана; SE = AE = α2.FK – средняя линия треугольника SEC, FK = α4.
в) Найдём DF из треугольника SDF.Определим вид этого треугольника.По условию BSA, BSC, ASC – прямые.Следовательно, SCSB SC (BSA) SCSA по признаку.Аналогично, SD (BSA) SC SD по SC (BSA) определению.Следовательно, ∆DSC – прямоугольный, и ∆DSF тоже прямоугольный.г) SF = 12SC = 12 (α√22) = α√24д) По теореме Пифагора DF =SD2+SF2 = (a2)2+ (a√24)2 = a24+ 2a216 = 3a28 = a√32√2 = a√64 .
DF = a√64 .
e) По теореме косинусов:DK2 = AD2 + AK2 – 2DA AK cosA = (a2)2 (34a)2 – 2 a2 3a4 cos60 = a24 + 9a216 - 3a28 + 7a216 .
DK = a716 = a74 .
Из ∆DFK:cos = DF2+ FK2- DK22DF FK = 6a216+ a216- 7a2162 a√64 a4 = 0.=90
Векторно – координатный метод.Т.к. заданная пирамида правильная, то SA=SC=SB. По условию все углы при вершине S прямые. Поэтому: 1) введём в пространстве прямоугольную систему координат: начало – точка S; отрезки SB, SA, SC – единичные отрезки соответствующих осей Sx, Sy, Sz.2) Определим координаты точек S, A, B, C, D, E, F.3) DF {-12; -12; 12 }, SE {12 ;0; 12}.4) cos (DF, SE)= |cos(DF , SE )| = |DF|DF|SE||SE| = |-14+0+14|14+14+14 14+ 14 = 0.=90 Геометрический метод.Т.к. отрезки SA, SB, SC равны между собой и попарно перпендикулярны, то можно принять их за рёбра куба, выходящие из одной вершины.Построим этот куб и заданные точки D, E, F.1) Соединим вершины P и С куба и проведём диагональ SQ.2) Нетрудно убедиться, что DF||PC (средняя линия ∆PSC).3) Угол между прямыми SE и DF равен углу между PC и SQ.4) АС – проекция прямой РС на плоскость ASC.АСSQ (свойство диагоналей квадрата)РСSQ (теорема о трёх перпендикулярах)Следовательно, DFSQ и тогда DFSE, т.е. угол равен 90.
Итог урока.На примере одной задачи мы рассмотрели 3 различных метода решения. Можно сказать, что эффективность каждого метода зависит конкретно от предлагаемой задачи. Какой метод выбрать зависит от вас, вашей математической подготовки и опыта, т.е. количества решенных вами задач. Вы убедились, какой большой теоретический материал необходим для решения задачи.
Наш урок я хочу закончить словами:«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию» - Ян-Амос Каменский
Домашнее задание. Задачи на стенде.
В правильной пирамиде SABC отношение бокового ребра к стороне основания равно 2:1. На рёбрах АВ и АС взяты соответственно точки М и К – середины этих рёбер. Найти угол между прямыми SM и ВК.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 угол между прямыми B1D и CD1 равен 90 и АВ:AD = 1:2. Найти угол между прямыми АС и А1D.
На рёбрах ВВ1 и С1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q такие, что ВР:ВВ1=2:3, С1Q : C1D1 = 1:4. Плоскость, проходящая через точки A, P, Q, пересекает прямые DD1 и B1C1 соответственно в точках E и F. Найти угол между прямыми EF и А1С.
В основании пирамиды лежит параллелограмм ABCD, угол BAD которого равен 45, а отношение сторон АВ:АD = 1:2. Грань SAB является равносторонним треугольником, а её медиана SF перпендикулярна плоскости основания. На ребре SC взята точка М, такая что SМ:SC = 2:3. Найти угол между прямыми SF и DM.

Приложенные файлы


Добавить комментарий