Вписанный и описанный

Окружность. Центральный и вписанный угол
Центральный угол  это угол, вершина которого находится в центре окружности. Вписанный угол  угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
На рисунке центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол величиной в  градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в  градусов, то есть на шестую часть круга.
Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Равные центральные углы опираются на равные хорды.
1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Ответ: .
2. Центральный угол на  больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Мы знаем, что . Отсюда , .
Ответ: .
Теорема. Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.

Несмотря на простоту утверждения, существует целый класс задач B8, которые решаются с помощью него и никак иначе.
Задача. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.
Пусть AB  рассматриваемая хорда, O  центр окружности. Дополнительное построение: OA и OB  радиусы окружности. Получим:

Рассмотрим треугольник ABO. В нем AB = OA = OB  все стороны равны радиусу окружности. Поэтому треугольник ABO  равносторонний, и все углы в нем по 60°.
Пусть M  вершина вписанного угла. Поскольку углы O и M опираются на одну и ту же дугу AB, вписанный угол M в 2 раза меньше центральногоугла O. Имеем:
M = O : 2 = 60 : 2 = 30
Задача. Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.
Введем обозначения:
AB  хорда окружности;
Точка O  центр окружности, поэтому угол AOB  центральный;
Точка C  вершина вписанного угла ACB.

Поскольку мы ищем вписанный угол ACB, обозначим его ACB = x. Тогда центральный угол AOB равен x + 36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Имеем:
AOB = 2 · ACB; x + 36 = 2 · x; x = 36.
Вот мы и нашли вписанный угол AOB  он равен 36°.
Окружность это угол в 360°
Прочитав подзаголовок, знающие читатели, наверное, сейчас скажут: «Фу!» И действительно, сравнивать окружность с углом не совсем корректно. Чтобы понять, о чем речь, взгляните на классическую тригонометрическую окружность:

К чему эта картинка? А к тому, что полный оборот это угол в 360 градусов. И если разделить его, скажем, на 20 равных частей, то размер каждой из них будет 360 : 20 = 18 градусов. Именно это и требуется для решения задачи B8.

Точки A, B и C лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший уголтреугольника ABC.
Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из нихравна x. На рисунке эта дуга обозначена AB. Тогда остальные дуги BC и AC  можно выразить через AB: дуга BC = 3x; AC = 5x. В сумме эти дуги дают 360 градусов:
AB + BC + AC = 360; x + 3x + 5x = 360; 9x = 360; x = 40.
Теперь рассмотрим большую дугу AC, которая не содержит точку B. Эта дуга, как и соответствующий центральный угол AOC, равна5x = 5 · 40 = 200 градусов.
Угол ABC  самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол AOC. Значит,угол ABC в 2 раза меньше AOC. Имеем:
ABC = AOC : 2 = 200 : 2 = 100
Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC.
Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника
Эту теорему многие забывают. А зря, ведь некоторые задачи B8 без нее вообще не решаются. Точнее, решаются, но с таким объемом вычислений, что вы скорее уснете, чем дойдете до ответа.
Теорема. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Что следует из этой теоремы?
Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы;
Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B8.

В треугольнике ABC провели медиану CD. Угол C равен 90°, а угол B 60°. Найдите угол ACD.
Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC  прямоугольный. Получается, что CD  медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC  равнобедренные.
В частности, рассмотрим треугольник ADC. В нем AD = CD. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому искомый угол ACD = A.
Итак, осталось выяснить, чему равен угол A. Для этого снова обратимся к исходному треугольнику ABC. Обозначим угол A = x. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем:
A + B + BCA = 180; x + 60 + 90 = 180; x = 30.
Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD  не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол BCD равен 60 градусов. Отсюда угол ACDравен 90
· 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.
Вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проведенными в эти точки, или дополняет эту половину до 1800
Все вписанные в окружность углы. стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны.
Вписанные углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, прямые.





Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности ( рис.54 ). Описанным около круга называется многоугольник, стороны которого являются касательными к окружности
( рис.55 ).

Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника ( рис.54 ), называетсяописанной около многоугольника; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными ( рис.55 ), называется вписанной в многоугольник. Для произвольногомногоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.
Радиус r  вписанного круга выражается через стороны  a, b, c  треугольника:

Радиус R описанного круга выражается формулой:

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба ( квадрата ). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырёхугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180є. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника ( квадрата ). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей.Вокруг трапеции можно описать круг, если только она равнобочная.
 
Правильный многоугольник – это многоугольник с равными сторонами и углами.
 

На рис.56 показан правильный шестиугольник, а на рис.57 – правильный восьмиугольник. Правильный четырёхугольник – это квадрат; правильный треугольник – равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180є ( n – 2 ) / n , где n – число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O ( рис. 56 ), равноудалённая от всех его вершин ( OA = OB = OC = = OF ), которая называется центром  правильногомногоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудалён от всех его сторон  ( OP= OQ = OR = ). Отрезки OP, OQ, OR, называются апофемами; отрезки OA, OB, OC, – радиусы правильного многоугольника. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - это радиус правильногомногоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема. Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников:

Для большинства правильных многоугольников невозможно выразить посредством алгебраической формулы соотношение между их сторонами и радиусами.
 
П р и м е р .   Можно ли вырезать квадрат со стороной 30 см из круга
                       диаметром 40 см?
 
Р е ш е н и е .  Наибольший квадрат, заключённый в круг, есть вписанный
                         квадрат. В соответствии с вышеприведенной формулой его
                         сторона равна:

                        
                         Следовательно, квадрат со стороной 30 см невозможно вырезать
                         из круга диаметром 40 см.
 
Окружность вписанная в квадрат
Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. У квадрата:
все углы прямые, то есть, равны 90°;
все стороны, как и углы, равны;
диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.
При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.
Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

Объяснение: в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЕ или радиус r делят основание АВ пополам (свойства), образовывая при этом прямоугольный треугольник с прямым угол ОЕВ. В маленьком треугольнике ЕВО основание ОВ образует со сторонами ОЕ иЕВ углы по 45°. Значит треугольник ЕВО еще и равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.
Для наглядности приведем численный пример нахождения величины радиуса вписанной окружности в квадрат со стороной равной 13 см. В данном случае значение вписанного радиуса будет равно: Легко решить и обратную задачу. Предположим, что известен радиус вписанной окружности – 9 см, тогда анализируя пример нахождения величины радиуса вписанной окружности в квадрат, можно найти сторону квадрата:  Находим из этого уравнения неизвестное значение:  .
Окружность описанная около квадрата
Вокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):

Объяснение: после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника АВС = CDA. Рассмотрим один из них. В треугольнике CAD:
угол CDA=90°;
стороны AD=CD. Признак равнобедренного треугольника;
угол DAC равен ACD. Они равны по 45°.
Чтобы найти в этом прямоугольном треугольнике гипотенузу АС, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора: , отсюда  Поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой гипотенузы. Это утверждение вытекает из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата. Потому формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата в нашем случае имеет следующий вид: Поскольку AD=CD, а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, тогда формула приобретает вид:
Численный пример нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата будет таким. Предположим, что диагональ квадрата равна , тогда:
Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.
Рассмотрим пример Задача: радиус окружности вписанной в квадрат равен . Найти радиус окружности описанной около этого квадрата. Дано:
треугольник ОСЕ – равнобедренный и прямоугольный;
ОЕ=ЕС=;
ОЕС=90°;
ЕОС=ОСЕ=45°;
Найти: ОС=? Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.




Центральный и вписанный уголРисунок 1Центральный и вписанный уголРисунок 2Рисунок 4 Хорда и диаметрРисунок 7Хорда и диаметрРисунок 9Рисунок 11 Рисунок к задаче 1Рисунок 12Рисунок к задаче 1Рисунок 13Рисунок 14Рисунок 16Вписанный угол AMB и центральный угол AOBРисунок 33Вписанный угол AMB и центральный угол AOB

Приложенные файлы


Добавить комментарий