Вписанная и описанная окружность

Задачи по теме: «Вписанная и описанная окружность»
Учитель высшей квалификационной категории, МБОУ г. Мурманска СОШ №57 Трубачева А.Н.
Задача №1.
В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 12 и ВМ = 18.
1 способ

Пусть АН – высота равнобедренного треугольника АВС. Из свойств равнобедренного треугольника с основанием ВС следует, что АН – биссектриса этого треугольника. Поэтому центр О вписанной в треугольник окружности лежит на отрезке АН, и окружность касается основания ВС данного треугольника в точке Н.
Поскольку отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, получаем: ВН = ВМ = 18.
В прямоугольном треугольнике АВН: АВ = АМ + МВ, АВ = 30 и 13 EMBED Equation.3 1415, АН = 24.
Прямоугольный треугольник АВН подобен прямоугольному треугольнику АОМ (по двум углам). Откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Получаем 13 EMBED Equation.3 1415ОМ = 9.

2 способ
AB=AC=30; BC=36
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача №2.
Из точки к окружности, радиус которой равен 4 см, проведены касательная, касающаяся окружности в точке С, и секущая, проходящая через центр О окружности и пересекающая ее в точках А и В так, что МА = АО. Точка N – середина дуги АС окружности, заключенной между секущей и касательной. Найдите площадь треугольника MON.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Задача №3.
Около равнобедренного треугольника MPK с основанием MK, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.

13 EMBED Equation.3 1415










Задача №4.
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Отрезок MN с концами на боковых сторонах является средней линией треугольника и равен 13 EMBED Equation.3 1415. Около треугольника описана окружность с центром О и радиусом, равным 8. Найдите длину отрезка ОМ.

1) Т. к. MN – средняя линия, то
13 EMBED Equation.3 1415









Задача №5
Периметр параллелограмма ABCD равен 26 м. Величина угла ABC равна 1200. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD равен 13 EMBED Equation.3 1415м. Найдите длины сторон параллелограмма, если известно, что длина стороны AD больше длины стороны AB.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Задача №6. ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
Площадь треугольника АВС равна 13 EMBED Equation.3 1415м2. Величина угла ВАС равна 1200. Величина угла АВС больше величина угла АСВ. Расстояние от вершины А до центра окружности, вписанной в треугольник АВС, равно 2м. Найдите длину медианы треугольника АВС, проведенной из вершины В.

Задача №7. ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
Площадь параллелограмма ABCD равна 13 EMBED Equation.3 1415м2. Расстояние от точки Q пересечения диагоналей параллелограмма ABCD до центра окружности, вписанной в треугольник AQB, равно 2м. Величина угла AQD равна 600, а угол BAD тупой. Найдите длину диагонали AC.

Задача №8. ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
Сумма длин сторон АВ и АС треугольника АВС равна 11 м. Величина угла АВС равна 600. Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 13 EMBED Equation.3 1415м. Известно, что длина стороны АВ больше длины стороны ВС. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины А.

Задача №9. ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
В ромб со стороной 13 EMBED Equation.3 1415 и соотношением углов 1: 5 вписана окружность. Найдите площадь ромба вне круга.
Задача №10 ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найдите отношение их площадей.
Задача №11.
Квадрат ABCD описан вокруг окружности радиусом r, а квадрат 13 EMBED Equation.3 1415 вписан в нее, причем прямая 13 EMBED Equation.3 1415 проходит через точку А. Найдите площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от квадрата ABCD.



13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Из
·AOK: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Из
·ABF: 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415

Задача №12.ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
Правильный треугольник АВС вписан в окружность радиусом r, а квадрат KLMN описан вокруг нее. При этом точка К лежит на прямой АВ. Найдите площади частей, на которые эта прямая делит квадрат.

Задача №13.
Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника АВС, если известно, что длина отрезка ОС равна 5.


13 EMBED Equation.3 1415




Задача №14. ОТВЕТ:12
В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АВ равна 21, а длина катета ВС равна 28. Окружность, центр О которой лежит на гипотенузе АС, касается обоих катетов. Найти радиус окружности.


Задача №15.
Дан прямоугольный треугольник АВС, угол С прямой. Точка Е – середина гипотенузы АВ. Проведена окружность, которая пересекает середину меньшего катета ВС и касается гипотенузы в точке Е. Точка D – точка пересечения прямой, являющейся продолжением катета ВС и окружности. Найти ED и площадь круга, если катеты равны 3 и 4.

13 EMBED Equation.3 1415
Задача №16. ОТВЕТ: 1,875
В прямоугольном треугольнике АВС длина катета ВС = 3, АС = 4. Через вершину В проходит окружность, которая касается катета АС и имеет центр на гипотенузе. Найти радиус окружности.

Задача №17.
В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная возле треугольника ABC, касается прямой CD, пересекает основание AD в точке М. Найдите площадь трапеции ABCD, если AM = 8, CM = 4.

Из прямоугольного 13 EMBED Equation.3 1415 по среднему геометрическому:

13 EMBED Equation.3 1415




Задача №18 ОТВЕТ: 4
В параллелограмме ABCD угол ABC =1350. Окружность, описанная возле треугольника ABD, касается прямой CD. Найдите площадь параллелограмма, если диагональ BD =2.

Задача №19. ОТВЕТ: 3
В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная возле треугольника ABC, касается прямой CD, пересекает основание AD в тоске М и делит его на отрезки AM и MD. Найдите отношение отрезков AM и MD, если угол ADC = 600.
Задача №20. ОТВЕТ:13
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 5, а проекция второго катета на гипотенузу равна 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Задача №21.
В квадрат ABCD со стороной длины a вписана окружность, которая касается стороны CD в точке E. Найти величину хорды, соединяющей точки, в которой окружность пересекается с прямой AE.

13 EMBED Equation.3 1415




Задача №22 ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
В прямоугольном треугольнике АВС угол А прямой, длина катета АВ равна a, радиус вписанной окружности равен r. Вписанная окружность касается катета AC в точке D. Найти длину хорды, соединяющей точки пересечения окружности с прямой BD.

Задача №23.
В треугольнике АВС угол А прямой, величина угла В равна 300. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найти расстояние от вершины С до точки касания этой окружности с катетом АВ.

13 EMBED Equation.3 1415




Задача №24.ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
В равнобедренном прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2 см. Найти расстояние от вершины острого угла до точки, в которой вписанная окружность касается противолежащего этому углу катета.



Задача №25.
В равнобедренном треугольнике угол при основании равен
·. Высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанной окружности на m. Определить основание треугольника


13 EMBED Equation.3 1415

Задача №26.ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415
В равнобедренном треугольнике основание равно 2a, а высота h. В него вписана окружность, к которой проведена касательная, параллельная основанию. Найдите радиус окружности и длину отрезка касательной, заключенной между сторонами треугольника.

Задача №27.ОТВЕТ: 30 см 2.
Треугольник АВС вписан в окружность. Через вершину А проведена касательная до пересечения с продолжением стороны ВС в точке D. Из вершин В и С опущены перпендикуляры на касательную, причем меньший из них равен 6 см. Найдите площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если ВС равна 5 см, а AD равна 13 EMBED Equation.3 1415см.

Задача №28. ОТВЕТ: 18.
В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность радиус 13 EMBED Equation.3 1415. Высота BD делится точкой пересечения с окружностью в отношении 2 : 1, считая от вершины B. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №29.
Найдите периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 3, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 120.
13 EMBED Equation.3 1415
Задача №30. ОТВЕТ: 99
Найдите периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 3, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 180.

Задача №31. ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415м или13 EMBED Equation.3 1415 м
Окружность радиусом 5 м с центром в вершине C треугольника ABC, площадь которого равна 30 м2, делит основание АВ на три отрезка AP, PQ и QB, длины которых в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найти длину основания.

Задача №32. ОТВЕТ: 13 EMBED Equation.3 1415м или13 EMBED Equation.3 1415м
Окружность радиусом 13 EMBED Equation.3 1415м с центром в вершине M треугольника KLM, площадь которого равна 12 м2, делит основание KL на три отрезка: KF, FG и GL, длины которых в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите длину основания.

Задача №33.
Длины боковых сторон трапеции 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

13 EMBED Equation.3 1415


Задача №34. ОТВЕТ: 4.
Длина средней линии равнобочной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции.

Задача №35. ОТВЕТ: 8.
Длина средней линии равнобочной трапеции равна 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции.

Задача №36. ОТВЕТ: 2 и 14.
Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.


Задача №37
Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга равна S. Определить длину боковой стороны этой трапеции, если известно, что острый угол при основании равен 300.

13 EMBED Equation.3 1415

Задача №38. ОТВЕТ: 2, 8 и 5.
Круг радиусом 2 см вписан в равнобочную трапецию, площадь которой 20 см2. Найдите длины сторон трапеции.














Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий