Ege_c1



ЕГЭ. Математика.
С1 для «чайников»
(пособие для учащихся 10-11 классов)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №2»
Автор-составитель :
ТАИРОВА СВЕТЛАНА ЕВГЕНЬЕВНА,
учитель математики,
высшая квалификационная категория
г. Югорск, 2014 год

Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Пояснительная записка PAGEREF _Toc382512082 \h 46Актуальность пособия PAGEREF _Toc382512083 \h 2Цель пособия PAGEREF _Toc382512084 \h 2Практическая новизна и главная идея пособия PAGEREF _Toc382512085 \h 2ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10 – 11 КЛАССОВ PAGEREF _Toc382512087 \h 4Предисловие PAGEREF _Toc382512088 \h 5Примеры решений тригонометрических уравнений PAGEREF _Toc382512089 \h 8Задания для самостоятельного решения PAGEREF _Toc382512090 \h 44Перечень уравнений пособия PAGEREF _Toc382512091 \h 46Источники информации PAGEREF _Toc382512092 \h 47

Пояснительная запискаАктуальность пособияЕГЭ по математике — это очень важный экзамен для большинства старшеклассников, результаты которого напрямую повлияют на их шансы поступления в желаемый ВУЗ, а значит и на дальнейшую судьбу. Основная масса конкурентных баллов заложена во второй части ЕГЭ по математике, обычно ее называют частью С («Це) ЕГЭ по математике. Во многом именно процент выполнения этой части решает дальнейшую траекторию жизни школьника.
Проведенный мною анализ задач С1 ЕГЭ по математике помогает сделать следующий вывод: задание С1 по математике никогда не бывает осложнено так, чтобы его невозможно было решить стандартными подходами. Вывод: не надо бояться браться за решение задания С1 ЕГЭ по математике. Особенное если это тригонометрическое уравнение.
Но, согласно анализа ФИПИза 2012-2013 гг., к выполнению, к примеру, уравнения 15cosx=3cosx∙5sinxприступило 72% выпускников, получили 2 балла – 34,5%, получили 1 балл –10,1%, 0 баллов – 27,4%, не приступали к решению – 28%. Если взять уравнение 2cos2x=3sin3π2+xк выполнению задания приступили 27%, 2 балла получили 10,1%, 1 балл – 6,8%, 0 баллов – 10,1%, не приступали к решению – 73%.(Хотя по технике исполнения второе уравнение гораздо легче первого). Я выделила 1 балл потому что именно за решение С1 дается 1 балл. И это только первичный. Если смотреть по шкале перевода первичного балла, то получение пятнадцатого первичного балла добавляет к результату три вторичных.
И ещё один момент- на сегодня в открытом банке заданий ЕГЭ размещено всего 17 тригонометрических уравнений. Получается, что как такового банка заданий пока не существует. И выпуск этого пособия – возможность систематизировать материал по теме «Решение тригонометрических уравнений».
Цель пособияЦелью выпуска данного учебного пособия является помощь школьникам в подготовке к ЕГЭ по математике по разделу «Решение тригонометрических уравнений» и создание базы данных заданий для подготовки к ЕГЭ по данной теме.
Практическая новизна и главная идея пособияВ данном пособии приводятся подробныерешения типовых задач по решению тригонометрических уравнений, предлагаемых с 2007 года по 2013 год Московским институтом открытого образования в различных контрольных, диагностических, тренировочных, демонстрационных и экзаменационных работах по математике для школьников 10 и 11 классов и размещенных в открытом банке заданий ФИПИ. Изложение материала построено на решении примеров и сопровождается всеми необходимыми для этого теоретическими сведениями. Практическая новизнапредставлена,во-первых, тем, что сведения предоставляются по ходу решения задач, чтобы было наглядно видно, как именно на данном шаге можно применить конкретнуюформулу или правило. Предложенная форма подачи материала позволяет систематизировать знания, облегчает понимание сложных понятий и решений. Во-вторых, нет разбиения по способам решения. Каждый раз уравнение несет в себе новый элемент: запись, способ решения, формулу и пр. Это заставляет, даже решая готовое, думать и предполагать, какой шаг в данный момент можно предпринять. В-третьих, будет собран материал из различных источников по подготовке к экзаменам: открытого банка заданий, тренировочных и диагностических работ.
Успешность выполненной работы в основном зависит от знаний и опыта школьника. Но  в условиях стресса влияют и другие факторы. Часто забываешь о тонкостях, нюансах, вариантах, частных случаях, различных методах. Поэтому главная идея пособия – научить применять общие способы решения тригонометрических уравнений.

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 2»
Таирова С.Е.ЕГЭ. Математика. С1 для «чайников»
Часть 1. Тригонометрические уравнения
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 10 – 11 КЛАССОВг.Югорск 2014

ПредисловиеВ этой части пособия для «чайников» будут рассмотрены подробные решения тригонометрических уравнений. Раздел получится довольно большим, ноне отказываться же из-за этого от возможности заработать неплохой балл на ЕГЭ. Прежде чем приступить к рассмотрению решений уравнений, запомните – тригонометрия очень проста, ну очень! Сложности в ней не больше, чем в таблице умножения. Ну не буду сейчас это все рекламировать – увидите сами. Задание С1 на решение тригонометрических уравнений состоит из двух частей. За каждую начисляется по 1 баллу первичному, они же по три бала вторичных. В этой части пособия мы рассмотрим пока только решение уравнений.
Что надо знать прежде всего?
Углы можно измерять в градусах, можно в радианах. Это как сахар можно покупать килограммами, а можно мешками. Например, A=1800=3,14 радиан. Кстати 3,14 радиан принято заменять символом , а слово радиан не прописывать. Для того же угла А запишем: A=1800=π.
Градусы можно переводить в радианы и наоборот.
Таблица 1. Значения величины угла в градусах и радианах
градусы 0 30 45 60 90 180 270 360
радианы 0 π6π4π3π2 3π22π
Таблицу надо выучить. При этом помните, что вместо надо подставлять 1800: 18006=300, 18004=450, 18003=600, 18002=900, 3∙18002=2700, 2∙1800=3600Значения тригонометрических функций для некоторых значений углов:
Таблица 2. Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса для некоторых углов
градусы 0 30 45 60 90 180 270 360
радианы 0 π6π4π3π2 3π22π
cинус sin 0 1222321 0 -1 0
косинусcos 1 3222120 -1 0 1
тангенсtg 0 331 3- 0 - 0
котангенсctg - 31 330 - 0 -
Существуют простейшие тригонометрические уравнения, решения к которым надо запомнить:
Таблица 3. Запись решений для простейших тригонометрических уравнений
Уравнение простейшее Решение
cos x = 0 x=π2+πk, k∈Zcos x = 1 x=2πk, k∈Zcos x = - 1 x=π+2πk, k∈Zsin x = 0 x=πk, k∈Zsin x = 1 x=π2+2πk, k∈Zsin x = - 1 x=-π2+2πk, k∈ZОбщие виды решений уравнений:
Таблица 4. Общие виды решений тригонометрических уравнений
Уравнение Решение Решений нет
cos x = a x=±arccosa+2πk, k∈Zесли a>1sin x = a x=-1k∙arcsina+πk, k∈Zесли a>1tg x = a x=arctga+πk, k∈Z-
ctg x = a x=arcctga+πk, k∈Z-
Примеры решений тригонометрических уравненийПример 1. Решите уравнение sin2x=sinπ2+x.
Решение:
sin2x=2sinx∙cosx - синус двойного аргумента
sinπ2+x=cosx - формула приведения
Подставим:
2sinx∙cosx=cosxПеренесем в левую часть cosx, изменив знак:
2sinx∙cosx-cosx=0Вынесем общий множитель cosx за скобки:
cosx2sinx-1=0Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
cosx=0Частный случай. Запишем решение:
x=π2+πn, n∈Z2sinx-1=02sinx=1sinx= 12x= -1karcsin12+ πk, k∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈ZОтвет:
x=π2 + πn, n∈Z, x= -1kπ6+ πk, k∈Z.
Замечание:
В некоторых решебниках можно в качестве ответа на второе уравнение встретить Это тоже правильный ответ. Просто мы записали в общем виде.
Где брать arcsin12 ?В таблице 2. Сообразили? Правильно! 12 ищем внутри таблицы в строке cинусsin.π6 - в соответствующем столбике.
Почему в первом случае k заменили на n? Ну вроде как положено – решения разные, в одном решении записывается k, в другом n.
Что касается формул приведения. Выучить их наизусть невозможно, поэтому познакомимся с ними поближе.
Надо знать знаки тригонометрических функций по четвертямкоординатной плоскости. Правило простое – синус это у, косинус – это х, тангенс – отношение у к х, котангенс – отношение х к у.
Таблица 6. Знаки тригонометрических функций
Знак х Знак cos Знак у Знак sin Знак tg Знакctg
1 четверть + + + + + +
2 четверть - - + + - -
3 четверть - - - - + +
4 четверть + + - - - -
Формулы приведения – это формулы, в которых находятsin, cos, tg, ctgвыражений типа π+x, π-x, π2-x, 5π2+x. Причем выражения в скобках приводятся к х.
Если в скобках целое число π, то sin, cos, tg, ctgприсутствуют в начальной формуле и остаются в конечной формуле.
Если в скобках целое число π2, то в конечной формуле sinзаменяют на cos, cosна sin, tgна ctg, ctgна tg.
В конечной формуле может поменяться знак. Это зависит от исходной функции.
Например,
а) находим sin⁡(π+x). В формуле π. Синус останется в конечной формуле. π это 1800. Угол π + х попадает в 3 четверть. В третьей четверти синус отрицательный. Получаем sinπ+x=-sinx.
б) находим sin⁡(π-x). В формуле π. Синус останется в конечной формуле. π это 1800. Угол π -хпопадает во 2 четверть. Во второй четверти синус положительный. Получаем sinπ-x=sinx.
в) sinπ2+x. В формуле π2. Значит синус поменяем на косинус. π2 это 900. π2+x попадает во вторую четверть. Во второй четверти синус положительный. Получаем: sinπ2+x=cosx.
(В перечень примеров)
Пример 2. Решите уравнение 2sin2x=cos3π2-xРешение:
cos3π2-x=-sinx - формула приведения. Косинус меняем на синус. 3π2=270о. 3π2-xвозвращаемся в 3 четверть. В 3 четверти cosотрицательный.
Подставим:
2sin2x=-sinxПеренесем все в левую часть (не забываем при переносе менять знак):
2sin2x+sinx=0Вынесем общий множитель за скобки:
sinx(2sinx+1)=0Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
sinx=0Частный случай. Запишем решение:
x=πn, n∈Z2sinx+1=02sinx=-1sinx=-12x= -1karcsin-12+ πk, k∈ZПрименим формулу:
arcsin-a=-arcsinaЗначит:
arcsin-12=-arcsin12Получим:
x= -1k∙-arcsin12+ πk, k∈Zx= -1k∙(-1)arcsin12+ πk, k∈Zx= -1k+1∙arcsin12+ πk, k∈Z (Умножили (-1)k∙(-1)1=(-1)k+1. При умножении степеней показатели складываются).
x= -1k+1∙π6+ πk, k∈ZОтвет:
x=πn, n∈Zx= -1k+1∙π6+ πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 3. Решите уравнение cos2x=1-cosπ2-xРешение:
cos2x=cos2x-sin2x - косинус двойного аргумента (УЧИТЬ)
cosπ2-x=sinx - формула приведения. Косинус поменяется на синус. π2-xпопадает в 1 четверть. В 1 четверти косинус положительный.
Подставим:
cos2-sin2=1-sinxИз основного тригонометрического тождества sin2x+cos2x=1 выразим cos2x=1-sin2xПодставим и перенесем все в одну часть:
1-sin2x-sin2x-1+sinx=0Приведем подобные:
sinx-2sin2x=0Вынесем общий множитель за скобки:
sinx(1-2sinx)=0
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
sinx=0Частный случай. Запишем решение:
x=πn, n∈Z1-2sinx=01=2sinxsinx=12x= -1karcsin12+ πk, k∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈ZОтвет:
x=πn, n∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 4. Решите уравнение 2sin3π2-x∙sinx=cosxРешение:
sin3π2-x=-cosx - формула приведения. Синус поменяется на косинус. 3π2-x возвращаемся в 3 четверть. Синус отрицательный.
Получаем:
2∙(-cosx)∙sinx=cosxПеренесем в одну часть:
-2∙cos∙sinx-cosx=0Вынесем общий множитель за скобки:
-cosx(2∙sinx+1)=0Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
-cosx=0cosx=0Частный случай. Запишем решение:
x=π2 + πn, n∈Z2∙sinx+1=02∙sinx=-1sinx=-12=-22 (Числитель и знаменатель умножили на 2)
x= -1karcsin-22+ πk, k∈Zx= -1k∙-arcsin22+ πk, k∈Zx= -1k+1∙arcsin22+ πk, k∈Zx=(-1)k+1∙π4+πk, k∈ZОтвет:
x=π2 + πn, n∈Zx=(-1)k+1∙π4+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 5. Решите уравнение 2sin7π2+x∙sinx=3cosxРешение:
sin7π2+x=-cosx - формула приведения. Синус меняем на косинус.7π2+xпопадаем в 4 четверть. Синус отрицательный.
Заменяем и переносим все в одну часть (часто повторяющаяся операция. Не знаешь что делать – перенеси в одну часть все выражения. Или вынеси за скобки).
-2cosx∙sinx-3cosx=0Вынесем общий множитель за скобки:
-cos⁡(2sinx+3)=0Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
-cosx=0cosx=0Частный случай. Запишем решение:
x=π2 + πn, n∈Z2sinx+3=02sinx=-3sinx=-32x= -1karcsin-32+ πk, k∈Zx=(-1)k+1∙π3+πk, k∈ZОтвет:
x=π2 + πn, n∈Zx=(-1)k+1∙π3+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 6. Решите уравнение cos2x=1-cosπ2-xРешение:
cos2x=cos2x-sin2x - косинус двойного аргумента.
cosπ2-x=sinx - формула приведения. Косинус меняем на синус. π2-x попадает в 1 четверть. Косинус положительный.
Заменяем и переносим все в одну часть:
cos2x-sin2x=1-sinxcos2x-sin2x-1+sinx=0Из основного тригонометрического тождества sin2x+cos2x=1 выразим cos2x=1-sin2x и подставим:
1-sin2x-sin2x-1+sinx=0Приведем подобные:
-2sin2+sinx=0sinx-2sin2x=0Вынесем общий множитель за скобки:
sinx(1-2sinx)=0
Произведение равно 0, если один из множителей равен 0. Получаем:
sinx=0Частный случай. Запишем решение:
x=πn, n∈Z1-2sinx=01=2sinxsinx=12x= -1karcsin12+ πk, k∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈ZОтвет:
x=πn, n∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример7. Решите уравнение 9-x2cosx=0Решение:
Произведение двух выражений равно 0, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла. Получаем:
9-x2=0Обе части возведем в квадрат:
9-x2=0x=±3Найдем ОДЗ:
9-x2≥09-x2=0, квадратичная функция, графиком является парабола, a=-1, ветви параболы направлены вниз. Точки пересечения с осью ОХ
x. 9-x2≥0 при -3≤x≤3.
ОДЗ: -3≤x≤3 cosx=0Частный случай. Запишем решение:
x=π2 + πn, n∈ZНадо записать решения с учетом ОДЗ.
Так какn∈Z, будем брать различные значения до тех пор, пока не выйдем за пределы ОДЗ.
n=0, x=π2+π∙0=π2=3,142≈1,56x=π2∈ОДЗn=1,x=π2+π∙1=3π2=3∙3,142≈4,71x=3π2непринадлежтОДЗЗначенияxдляn=2;3;.. явно не будут принадлежать ОДЗ
n=-1,x=π2+π∙-1=π2-π=-π2=-3,142≈-1,56x=-π2∈ОДЗn=-2,x=π2+π∙-2=-3π2≈-4,71x=-3π2непринадлежтОДЗЗначенияxдляn=-3;-4;.. явно не будут принадлежать ОДЗ
Ответ:
x=±3, x=±π2(В перечень примеров)
Пример8. Решите уравнение sinx-32∙3x2-7x+4=0Решение:
Произведение двух выражений равно 0, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла. Получаем:
3x2-7x+4=0Обе части возведем в квадрат:
3x2-7x+4=0D=b2-4ac=49-48=1>0, уравнение имеет два корня
x1,2=-b±D2a=7±16x1=1,x2=113Найдем ОДЗ: 3x2-7x+4≥0y=3x2-7x+4- квадратичная функция, графиком является парабола, а=3>0, ветви параболы направлены вверх.
Точки пересечения с осью ОХ x1=1,x2=113.
3x2-7x+4≥0при x∈-∞;1∪[113;+∞)sinx-32=0sinx=32x= -1karcsin32+ πk, k∈Zx= -1k∙π3+ πk, k∈ZНадо записать решения с учетом ОДЗ.
Так как k∈Z, будем брать различные значения до тех пор, пока не выйдем за пределы ОДЗ.
k=0, x=(-1)0∙π3+π∙0=π3≈3,143≈1,05;1,05 непринадлежитОДЗ.k=1,x=(-1)1∙π3+π∙1=-π3+π=2π3≈2∙3,143≈2,1-принадлежит ОДЗ.И для k = 2, 3, 4… значения х будут принадлежать ОДЗ.
k=-1,x=-1-1∙π3+π∙-1==-π3-π=-4π3≈-4∙3,143≈-4,2- принадлежит ОДЗ. И для k = -2,- 3,- 4… значения х будут принадлежать ОДЗ.
Решением будет
x= -1k∙π3+ πk, k∈Z, k≠0Ответ: 1; 113; x= -1k∙π3+ πk, k∈Z, k≠0(В перечень примеров)
Пример 9. Решите уравнение cos3π2+2x=cosx.
Решение:
cos3π2+2x=sin2x-формула приведения.Косинус меняем на синус. 3π2+2xпопадает в 4 четверть. Косинус положительный.
sin2x=2sinx∙cosx – синус двойного угла
Получаем:
2sinx∙cosx=cosx 2sinx∙cosx-cosx=0cosx2sin x-1=0cosx=0Частный случай. Запишем решение:
x=π2 + πn, n∈Z2sinx-1=02sinx=1sinx= 12x= -1karcsin12+ πk, k∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈ZОтвет:
x=π2 + πn, n∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈Z(В перечень примеров)Пример 10. Решите уравнение: 6cos2x-7cosx-5=0Решение:
Сделаем замену cosx=t и подставим в уравнение:
6t2-7t-5=0Рассчитаем дискриминант :
D=b2-4ac=49-4∙6∙(-5)=169>0, уравнение имеет два корня
t1,2=-b±D2a=7±1312t1=53,t2=-12cosx=-12x=±arcos-12+2πk,k∈ZВоспользуемся формулой arcos-α=π-arcos αx=±π-arcos12+2πk, k∈Zx=±π-π3+2πk, k ϵ Zx=±2π3+2πk, k ϵ Zcosx =53-не имеет решения, т.к.-1≤cosx≤1Ответ:
x=±2π3+2πk, k ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 11. Решите уравнение: 4sin2x-12sinx+5=0Решение:
Сделаем замену sinx=t и подставим в уравнение:
4t2-12t+5=0Рассчитаем дискриминант :
D=b2-4ac=144-4∙4∙5=64>0, уравнение имеет два корня
t1,2=-b±D2a=12±88t1=52,x2=12sinx=12x= -1karcsin12+ πk, k∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈Zsinx=52-не имеет решения, т.к.-1≤sinx≤1Ответ: x= -1kπ6+ πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 12. Решите уравнение: sin3π2-2x=sinxРешение:
sin3π2-2x=-cos2x- формула приведения. Синус меняем на косинус. Угол попадает в 3 четверть. Синус отрицательный.
cos2x=cos2x-sin2x-формула косинуса двойного углаПолучаем:
-(cos2x-sin2x)=sinx-cos2x+sin2x-sinx=0cos2x=1-sin2x-из основного тригонометрического тождества-1-sin2x+sin2x-sinx=0-1+sin2x+sin2x-sinx=02sin2x-sinx-1=0Сделаем замену sinx=t и подставим в уравнение:
2t2-t-1=0Рассчитаем дискриминант :
D=b2-4ac=1-4∙2∙(-1)=9>0, уравнение имеет два корня
t1,2=-b±D2a=1±34t1=1,t2=-12sinx=1
Частный случай. Запишем решение:
x=π2+2πn, n∈Zsinx=-12x= -1karcsin-12+ πk, k∈ZПрименим формулу:
arcsin-a=-arcsinaЗначит:
arcsin-12=-arcsin12Получим:
x= -1k∙-arcsin12+ πk, k∈Zx= -1k∙(-1)arcsin12+ πk, k∈Zx= -1k+1∙arcsin12+ πk, k∈Z (Умножили (-1)k∙(-1)1=(-1)k+1. При умножении степеней показатели складываются).
x= -1k+1∙π6+ πk, k∈ZОтвет:
x=π2+2πn, n∈Zx= -1k+1∙π6+ πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 13. Решите уравнение: sinx+cosx2-sinx2cosx2+sinx2=0Решение:
cosx2-sinx2cosx2+sinx2=cos2x2-sin2x2=cos2∙x2=cosx- сначала применим формулу разности квадратов, затем формулу косинуса двойного угла.
Получаем:
sinx+cosx=0Разделим обе части уравнения на cosx≠0 (эту фразу обязательно пишем, в смысл вдаваться необязательно).
sinxcosx+cosxcosx=0cosxtg x+1=0tg x=-1x=arctg-1+πk, k∈ZВоспользуемся формулой arctg-α=-arctg α:
x=-arctg 1+πk, k∈Zx=-π4+πk, k∈ZОтвет:
x=-π4+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 14. Решите уравнение: cosx=cosx2-sinx22-1Решение:
cosx2-sinx22=cos2x2-2∙cosx2∙sinx2+sin2x2=1-sin2∙x2=1-sinx.
Сначала формула квадрата разности двух выражений. Затем основное тригонометрическое тождество (cos2x2+sin2x2=1) и синус двойного угла (2∙cosx2∙sinx2=sin2∙x2). Получаем:
cosx=1-sinx-1cosx=-sinxРазделим обе части уравнения на cosx≠0 (эту фразу обязательно пишем).
cosxcosx=-sinxcosx1=-tg xtg x=-1x=arctg-1+πk, k∈ZВоспользуемся формулой arctg-α=-arctg α:
x=-arctg 1+πk, k∈Zx=-π4+πk, k∈ZОтвет:
x=-π4+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 15. Решите уравнение: 2sin2x=4cosx-sinx+1Решение:
sin2x=2cosx∙sinx - синус двойного угла.
2∙2cosx∙sinx=4cosx-sinx+14cosx∙sinx-4cosx+sinx-1=0Группируем:
(4cosx∙sinx-4cosx)+(sinx-1)=0Выносим в первой скобке общий множитель:
4cosx∙(sinx-1)+(sinx-1)=0Ещё раз выносим общий множитель:
(sinx-1)(4cosx+1)=0Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
sinx-1=0sinx=1Частный случай. Запишем решение:
x=π2+2πn, n∈Z4cosx+1=04cosx=-1cosx=-14x=±arcos-14+πk, k∈Zx=±π-arcos14+πk, k∈ZОтвет:
x=π2+2πn, n∈Zx=±π-arcos14+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 16. Решите уравнение: sin2x-23cos2x-4sinx+43cosx=0.
Решение:
sin2x=2cosx∙sinx - синус двойного угла.
2cosx∙sinx-23cos2x-4sinx+43cosx=0Разделим каждое слагаемое на 2.
cosx∙sinx-3cos2x-2sinx+23cosx=0Группируем:
(cosx∙sinx-2sinx)-(3cos2x-23cosx)=0Выносим общие множители в каждой группе:
sinx(cosx-2)-3cosx(cosx-2)=0Выносим общий множитель:
(cosx-2)(sinx-3cosx)=0Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
cosx-2=0cosx=2 - решений нет т.к. -1≤cosx≤1sinx-3cosx=0Однородное уравнение первой степени, разделим обе части на cosx≠0:
sinxcosx-3cosxcosx=0cosxtg x-3=0tg x=3x=arctg 3+πk, k ∈Zx=π3+πk, k∈ZОтвет: x=π3+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 17. Решите уравнение: sin2x-23sin2x-4cosx+43sinx=0.
Решение:
sin2x=2cosx∙sinx - синус двойного угла.
2cosx∙sinx-23sin2 x-4cosx+43sinx=0Разделим каждое слагаемое на 2.
cosx∙sinx-3sin2 x-2cosx+23sinx=0Группируем:
(cosx∙sinx-2cosx)-(3sin2x-23sinx)=0Выносим общие множители в каждой группе:
cosx(sinx-2)-3sinx(sinx-2)=0Выносим общий множитель:
(sinx-2)(cosx-3sinx)=0Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
sinx-2=0sinx=2 – решений нет, т.к. -1≤sinx≤1cosx-3sinx=0Однородное уравнение первой степени, разделим обе части на cosx≠0:
cosxcosx-3sinxcosx=0cosx1-3tg x=01=3tg xtg x=13x=arctg13+πk, k∈Zx=π6+πk, k∈ZОтвет:
x=π6+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 18. Решите уравнение: sin2x2-cos2x2=cos2x.
Решение:
Преобразуем правую и левую части:
-cos2x2+sin2x2=2cosx∙sinx. В левой части просто поменяли местами, в правой применили формулу для косинуса двойного угла. В левой части вынесем минус за скобки:
-cos2x2-sin2x2=2cosx∙sinx. В левой части в скобках косинус двойного угла:
-cos2∙x2=2cosx∙sinx.
-cosx=2cosx∙sinx.
Перенесем в одну сторону:
2cosx∙sinx+cosx=0Вынесем общий множитель:
cosx(2sinx+1)=0Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
cosx=0Частный случай. Запишем решение:
x=π2 + πn, n∈Z2sinx+1=02sinx=-1sinx=-12x= -1karcsin-12+ πk, k∈ZПрименим формулу:
arcsin-a=-arcsinaЗначит:
arcsin-12=-arcsin12Получим:
x= -1k∙-arcsin12+ πk, k∈Zx= -1k∙(-1)arcsin12+ πk, k∈Zx= -1k+1∙arcsin12+ πk, k∈Z (Умножили (-1)k∙(-1)1=(-1)k+1. При умножении степеней показатели складываются).
x= -1k+1∙π6+ πk, k∈ZОтвет:
x=π2 + πn, n∈Zx= -1k+1∙π6+ πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 19. Решите уравнение:cos2x2-sin2x2=sinπ2-2x.
Решение:
В левой части косинус двойного угла, в правой части – формула приведения (синус меняем на косинус. Угол попадает в 1 четверть. Синус положительный).
cos2∙x2=cos2x.
Теперь в правой части косинус двойного угла, в левой – сокращение.
cosx=cos2x-sin2xИз основного тригонометрического тождества:
sin2x=1-cos2.
Получаем:
cosx=cos2x-1-cos2x.
Раскроем скобки,приведем подобные, перенесем все в одну часть:
cosx=cos2x-1+cos2xcosx=2cos2x-12cos2x-1-cosx=0Сделаем замену cosx=t и подставим в уравнение:
2t2-t-1=0Рассчитаем дискриминант :
D=b2-4ac=1-4∙2∙(-1)=9>0, уравнение имеет два корня
t1,2=-b±D2a=1±34t1=1,t2=-12cosx =1-частный случай.
x=2πn, n∈Zcosx=-12x=±arcos-12+2πk,k∈ZВоспользуемся формулой
arcos-α=π-arcosαx=±π-arcos12+2πk, k∈Zx=±π-π3+2πk, k ϵ Zx=±2π3+2πk, k ϵ ZОтвет:
x=2πn, n∈Zx=±2π3+2πk, k ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 20. Решите уравнение:sin2x=2sinx-cosx+1.
Решение:
В левой части синус двойного угла и перенесем все в одну часть:
2sinxcosx-2sinx+cosx-1=0.
Сгруппируем:
(2sinxcosx-2sinx)+(cosx-1)=0В первой скобке вынесем общий множитель за скобки:
2sinx (cosx-1)+(cosx-1)=0Ещё раз выносим общий множитель:
(cosx-1)(2sinx+1)=0Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
cosx-1=0cosx=1Частный случай
x=2πn, n∈Z2sinx+1=02sinx=-1sinx=-12x= -1karcsin-12+ πk, k∈ZПрименим формулу:
arcsin-a=-arcsinaЗначит:
arcsin-12=-arcsin12Получим:
x= -1k∙-arcsin12+ πk, k∈Zx= -1k∙(-1)arcsin12+ πk, k∈Zx= -1k+1∙arcsin12+ πk, k∈Z (Умножили (-1)k∙(-1)1=(-1)k+1. При умножении степеней показатели складываются).
x= -1k+1∙π6+ πk, k∈ZОтвет:
x=2πn, n∈Zx= -1k+1∙π6+ πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 21. Решите уравнение: 2cos2x+2sin2x=3.
Решение:
Используем формулу синус двойного угла и основное тригонометрическое тождество:
2cos2x+2∙2sinxcosx=3(cos2x+sin2x).
Раскроем скобки, перенесем все в одну часть:
2cos2x+4sinxcosx-3cos2x-3sin2x=0Приведем подобные:
-cos2x+4sinxcosx-3 sin2x=0Умножим каждое выражение на (-1):
cos2x-4sinxcosx+3sin2x=0Разделим каждое выражение на cos2x≠0. (Это предложение прописываем обязательно).
cos2xcos2x-4sinxcosxcos2+3sin2xcos2x=0cos2x1-4sinxcosx+3tg2x=01-4tg x+3 tg2x=0Сделаем замену tgx=t и подставим в уравнение:
3t2-4t+1=0Рассчитаем дискриминант :
D=b2-4ac=16-4∙3∙1=4>0, уравнение имеет два корня
t1,2=-b±D2a=4±26t1=1,t2=13tgx=1, x=arctg 1+πk, k∈Ztg x=13, x=arctg 13+πn, n ∈ZОтвет:
x=arctg 1+πk, k∈Zx=arctg 13+πn, n ∈Z(В перечень примеров)
Пример 22. Решите уравнение: 6 sin2x+sin2x=2.
Решение:
Воспользуемся формулой синус двойного углаи основным тригонометрическим тождеством:
6 sin2x+2sinxcosx-2sin2x+cos2x=0Раскроем скобки:
6 sin2x+2sinxcosx-2 sin2x-2cos2x=0Приведем подобные:
4 sin2x+2sinxcosx-2 cos2x=0Разделим каждое выражение на cos2x≠0. (Это предложение прописываем обязательно).
4sin2xcos2x+2sinxcosxcos2x-2 cos2xcos2x=0cos2x4 tg2x+2 tg x-2=0Сделаем замену tgx=t и подставим в уравнение:
4t2+2t-2=0Рассчитаем дискриминант :
D=b2-4ac=4-4∙4∙(-2)=36>0, уравнение имеет два корня
t1,2=-b±D2a=-2±68t1=-1,t2=12tg x=-1, x=arctg(- 1)+πk, k∈ZВоспользуемся формулой
arctg-∝=-arctg ∝x=-arctg 1+πn, n ϵZx=-π4+πn, n ϵ Ztg x=12, x=arctg 12+πn, n ∈ZОтвет:
x=-π4+πn, n ϵ Zx=arctg 12+πn, n ∈Z(В перечень примеров)
Пример 23. Решите уравнение: 4 cos3x+3sinx-π2=0.
Решение:
Преобразуем выражение
sinx-π2=sin-π2+x=sin-π2-x=-sinπ2-x=-cosxПолучаем уравнение
4 cos3x+3∙(-cosx)=04 cos3x-3cosx=0Вынесем общий множитель за скобки:
cosx4 cos2x-3=0Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
cosx=0Частный случай. Запишем решение:
x=π2 + πn, n∈Z4cos2x-3=04 cos2x=3cos2x=34cosx=±34cosx=±32cosx=32x=±arccos32+2πk, kϵ Zx=±π6+2πk, k ϵ Zcosx=-32x=±arcos-32+2πk, kϵ Zx=±π-arcos 32+2πk, kϵ Zx=±π-π6+2πk, kϵ Zx=±5π6+2πk, kϵ ZОтвет:
x=π2 + πn, n∈Zx=±π6+2πk, k ϵ Zx=±5π6+2πk, kϵ Z(В перечень примеров)
Пример 24. Решите уравнение: sin2x+3sinx=0.
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
2sinxcosx+3sinx=0Вынесем общий множитель:
sinx(2cosx+3)=0Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
sinx=0Частный случай. Запишем решение:
x=πn, n∈Z2cosx+3=02cosx=-3cosx=-32x=±arcos-32+2πk, kϵ Zx=±π-arcos 32+2πk, kϵ Zx=±π-π6+2πk, kϵ Zx=±5π6+2πk, kϵ ZОтвет:
x=πn, n∈Zx=±5π6+2πk, kϵ Z(В перечень примеров)
Пример 25. Решите уравнение: cos2x+0,5=cos2x.
Решение:
Используем формулу косинуса двойного угла:
cos2x-sin2x+0,5-cos2x=0Приведем подобные:
-sin2x=-0,5sin2x=12sinx=±12sinx=±12sinx=±22sinx=22x=-1n∙arcsin22+πn, n ϵ Zx=(-1)n∙π4+πn, n ϵ Zsinx=-22x=-1k∙arcsin-22+πk, k ϵ Zx= -1k∙-arcsin22+ πk, k∈Zx= -1k+1∙arcsin22+ πk, k∈Zx=(-1)k+1∙π4+πk, k∈ZОтвет:
x=(-1)n∙π4+πn, n ϵ Zx=(-1)k+1∙π4+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 26. Решите уравнение: 4cos2x+4cosπ2+x-1=0.
Решение:
Используем основное тригонометрическое тождество и формулы приведения:
41-sin2x-4sinx-1=04-4sin2x-4sinx-1=0-4sin2x-4sinx+3=0Умножим обе части равенства на (-1):
4sin2x+4sinx-3=0Сделаем замену sinx=t и подставим в уравнение:
4t2+4t-3=0Рассчитаем дискриминант :
D=b2-4ac=16-4∙4∙(-3)=64>0, уравнение имеет два корня
t1,2=-b±D2a=-4±88t1=-32,t2=12sinx=-32, корней нет, т.к. -1≤sinx≤1sinx=12x=(-1)k∙arcsin12+πk, k ϵ Zx=(-1)k∙π6+πk, k ϵ ZОтвет:
x=(-1)k∙π6+πk, k ϵ Z(В переченьпримеров)
Пример 27. Решите уравнение: 2cos3x-2cosx+sin2x=0.
Решение:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
2cos3x-2cosx+1-cos2x=0.
Сгруппируеми вынесем общий множитель:
(2cos3x-2cosx)-(-1+cos2x)=02cosxcos2x-1-cos2x-1=0Вынесем общий множитель:
(cos2x-1)(2cosx-1)=0Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
cos2x-1=0cos2x=1cosx=±1cosx=1x=2πk, k∈Zcosx=-1x=π+2πk, k∈Z2cosx-1=02cosx=1cosx=12x=±arcos12+2πn, n ∈Zx=±π3+2πn, n ∈ZОтвет:
x=2πk, k∈Zx=π+2πk, k∈Zx=±π3+2πn, n ∈Z(В перечень примеров)
Пример 28. Решите уравнение: 15cosx=3cosx∙5sinx.
Решение:
3∙5cosx=3cosx∙5sinx3cosx∙5cosx=3cosx∙5sinx. Разделим обе части на 3cosx. Получим:
5cosx=5sinx. Основания равны, значит показатели тоже равны.
cosx=sinx.
Перенесем в одну часть, получим однородное уравнение первой степени.
cosx-sinx=0Разделим обе части уравнения на cosx≠0 (эту фразу обязательно пишем).
cosxcosx-sinxcosx=0cosx1-tg x=0tg x=1x=arctg 1+πk, k ϵ Zx=π4+πk, k ϵ ZОтвет:
x=π4+πk, k ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 29.Решите уравнение 2cos25x=cos5x.
Решение:
Введем переменную t = 5x.
2cos2t=cost2cos2t-cost=0Вынесем общий множитель:
cost2cost-1=0cost=0Частный случай
t=π2+πk, k∈Z5x=π2+πk, k ϵ Zx=π10+πk5, k ϵ Z2cost-1=0cost=12=22t=±arccos22+πk, k ϵ Zt=±π4+πk, k ϵ Z5x=±π4+πk, k ϵ Zx=±π20+πk5, k ϵ ZОтвет:
x=π10+πk5, k ϵ Zx=±π20+πk5, k ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 30. Решите уравнение 2cos4x+cos2x-1=0Решение:
Введем переменную 2x=t.
2cos2t+cos t-1=0cos2t= cos2t-sin2t- косинус двойного угла.
2cos2t-sin2t+cost-1=02cos2t-2sin2t+cost-1=02cos2t-21-cos2t+cost-1=02cos2t-2+2cos2t+cost-1=04cos2t+cost-3=0Сделаем замену cost=m и подставим в уравнение:
4m2+m-3=0Рассчитаем дискриминант :
D=b2-4ac=1-4∙4∙(-3)=49>0, уравнение имеет два корня
m1,2=-b±D2a=-1±78m1=-1,t2=34cost=-1t=π+2πk, k∈Z2x= π+2πk, k∈Zx=π2+πk, k ϵ Zcost=34t=±arccos34+2πk, k ϵ Z2x=±arccos34+2πk, k ϵ Zx=±arccos342+πk, k ϵ ZОтвет:
x=π2+πk, k ϵ Zx=±arccos342+πk, k ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 31. Решите уравнение 2sin3x-2sinx+cos2=0Решение:
(2sin3x-2sinx)+cos2=02sinxsin2x-1+cos2x=0-2sinx1-sin2x+cos2x=0-2sinx∙ cos2x+cos2x=0cos2-2sinx∙cos2x=0cos2x(1-2sinx)=0cos2=0cosx=0x=π2+πk, k∈Z1-2∙sinx=02∙sinx=1sinx=12=22x= -1karcsin22+ πk, k∈Zx=(-1)k∙π4+πk, k∈ZОтвет:
x=π2+πk, k∈Zx=(-1)k∙π4+πk, k∈Z(В перечень примеров)
Пример 32. Решите уравнение cos2x+sin2x=0,25Решение:
cos2x-sin2x+sin2x=0,25cos2=25100cos2x=14cosx=±12cosx=12x=±arccos12+2πk, k ϵ Zx=±π3+2πk, k ϵ Zcosx=-12x=±arccos-12+2πn, n ϵ Zx=±π-arccos12+2πn, n ϵ Zx=±π-π3+2πn, n ϵx=±2π3+2πn, n ϵ ZОтвет:
x=±π3+2πk, k ϵ Zx=±2π3+2πn, n ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 33. Решите уравнение 2sin2π2+x=-3cosxРешение:
sixπ2+x=cosx. Синус меняем на косинус. Угол попадает во 2 четверть. Синус имеет знак «+». Плюс возводим в квадрат.
2cos2x=-3cosx.
2cos2x+3cosx=0cosx2cosx+3=0cosx=0x=π2+πk, k∈Z2cosx+3=02cosx=-3cosx=-32x=±arccos-32+2πn, n ϵ ZВоспользуемся формулой arcos-α=π-arcos αx=±π-arccos32+2πn, n ϵ Zx=±π-π6+2πn, n ϵ Zx=±5π6+2πn, n ϵ ZОтвет:
x=π2+πk, k∈Zx=±5π6+2πn, n ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 34. Решите уравнение cos2x+3sin2x=1,25Решение:
cos2x-sin2x+3sin2=1,251-sin2x-sin2x+3sin2=1,25sin2x=1,25-1sin2x=0,25sin2x=25100sinx=±12sinx=12x=(-1)k∙arcsin12+πk, k ϵ Zx=(-1)k∙π6+πk, k ϵ Zsinx=-12x=(-1)n∙arcsin-12+πn, n ϵ Zx=(-1)n+1∙π6+πn, k ϵ ZОтвет:
x=(-1)k∙π6+πk, k ϵ Zx=(-1)n+1∙π6+πn, k ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 35. Решите уравнение 12sinx=4sinx∙3-3cosxРешение:
12sinx=4sinx∙3-3cosx(4∙3)sinx=4sinx∙3-3cosx4sinx∙3sinx=4sinx∙3-3cosxРазделим обе части на 4sinx.
3sinx=3-3cosxОснования равны, значит показатели равны:
sinx=-3cosxsinx+3cosx=0Разделим обе части на cosx≠0sinxcosx+3cosxcosx=0cosxtg x+3=0tg x=-3x=arctg -3+πk, k ϵ Zx=-arctg 3+πk, k ϵ Zx=-π3+πk, k ϵ ZОтвет:
x=-π3+πk, k ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 36. Решите уравнение 25cosxsinx=5cosxРешение:
При возведении степени в степень показатель перемножаются:
52cosx∙sinx=5cosx52cosx∙sinx=5cosx2cosx∙sinx=cosx2cosx∙sinx-cosx=0Вынесем общий множитель за скобки:
cosx(2sinx-1)=0cosx=0Частный случай. Запишем решение:
x=π2 + πn, n∈Z2sinx-1=02sinx=1sinx= 12x= -1karcsin12+ πk, k∈Zx= -1kπ6+ πk, k∈ZОтвет:
x=π2 + πn, n∈Z, x= -1kπ6+ πk, k∈Z.
(В перечень примеров)
Пример 37. Решите уравнение 2sin4x+3cos2x+1=0Решение:
cos2x= cos2x-sin2x–косинус двойного угла
2sin4x+3cos2x-sin2x+1=02sin4x+3cos2x-3sin2x+1=0cos2x=1-sin2x (из основного тригонометрического тождества)
2sin4x+31-sin2x-3sin2x+1=02sin4x+3-3sin2x-3sin2x+1=02sin4x-6sin2x+4=0Разделим каждое выражение на 2:
sin4x-3sin2x+2=0sin2x2-3sin2x+2=0Введем переменную t=sin2x. Произведем замену:
t2-3t+2=0D=b2-4ac=9-8=1>0, уравнение имеет два корня
t1,2=-b±D2a=3±12t1=2,t2=1sin2x=2,sinx=±2≈±1,4, корней нет,т.к. -1≤sinx≤1sin2x=1,sinx=±1sinx=1x=π2+2πk, k∈Zsinx=1x=-π2+2πn, n∈ZОтвет:
x=π2+2πk, k∈Zx=-π2+2πn, n∈Z(В перечень примеров)
Пример 38. Решите уравнение 2sin2x-sinx2cosx-3=0Решение:
2sin2x-sinx2cosx-3=0Дробь равна нулю, если знаменатель не равен нулю, а числитель равен нулю.
1) 2cosx-3≠02cosx≠3cosx≠32x≠±arccos32+2πn, n ϵ Zx≠±π6+2πn, n ϵ Z2) 2sin2x-sinx=0sinx(2sinx-1)=02sinx-1=02sinx=1sinx=12В общем виде решением будет
x=(-1)k∙arcsin12+πk, k ϵ Zx=(-1)k∙π6+πk, k ϵ ZТеперь здесь надо исключить значения
x=±π6+2πn, nϵZ. 2πn-это полный оборот, независимо от значения числа n. Значит, надо исключить совпадение углов с ±π6.
k=0, x=π6 - исключаем
k=1, x=-π6+π=5π6k=2, x=π6+2π-исключаем k=3, x=-π6+3πk=4, x=π6+4π – исключаем
k=-1, x=-π6-π=-7π6k=-2, x=π6-2π – исключаем
k=-3, x=-π6-3πДалее можно сделать вывод, что будут исключены значения х, где k – целое четное число и 0. sinx=0, x=πk, kϵZ–входит в область допустимых значений
Ответ:
sinx=0, x=πk, kϵZx=(-1)k∙π6+πk, kϵZ, k≠0, 2,4,6,8,…,
(В перечень примеров)
Пример 39. Решите уравнение cos2x-sin2π2-x=-0,25Решение:
cos2x= cos2x-sin2xsin2π2-x=sinπ2-x∙sinπ2-x=cosx∙cosx=cos2xcos2x-sin2x-cos2x=-25100-sin2x=-14sin2x=14sinx=±14=±12sinx=12x=(-1)k∙arcsin12+πk, k ϵ Zx=(-1)k∙π6+πk, k ϵ Zsinx=-12x=(-1)n∙arcsin-12+πn, n ϵ Zx=(-1)n+1∙π6+πn, n ϵ ZОтвет:
x=(-1)k∙π6+πk, k ϵ Zx=(-1)n+1∙π6+πn, n ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 40. Решите уравнение 7tg2x-1cosx+1=0Решение:
7tg2x-1cosx+1=0tg2x+1=sin2xcos2x+cos2xcos2x=sin2x+cos2xcos2x=1cos2x. Но мешает число 7. Делаем следующее:
7tg2x-1cosx+7-6=07tg2x+7-1cosx-6=07tg2x+1-1cosx-6=07∙1cos2x-1cosx-6=07∙1cosx2-1cosx-6=0Введем переменную t=1cosx7t2-t-6=0D=b2-4ac=1-4∙7∙-6=169>0; 2 корняt1,2=-b±D2a=1±1314t1=1, t2=-1214=-671cosx=1cosx=1x=2πn, n ϵ Z1cosx=-67cosx=-76не имеет решений, -1≤cosx≤-1Ответ:
x=2πn, n ϵ Z(В перечень примеров)
Пример 41.Решите уравнение 2sin2π2+x=-cosxРешение:
2sin2π2+x=-cosxsin2π2+x=sinπ2+x∙sinπ2+x=cosx∙cosx=cos2x2cos2x=-cosx2cos2x+cosx=0cosx(2cosx+1)=0cosx=0x=πn, n ϵ Z2cosx+1=02cosx=-1cosx=-12=-22x=±arccos-22+2πk, k ϵ Zarccos-∝=π-arccosαx=±π-arccos22+2πk, k ϵ Zx=±π-π4+2πk, k ϵ Zx=±3π4+2πk, k ϵ ZОтвет:
x=πn, n ϵ Zx=±3π4+2πk, k ϵ Z(В перечень примеров)
Задания для самостоятельного решения14cosx=2cosx∙7-sinx2cos2x=sinπ2-x2cos2x=3sin3π2+xsin2x=cos3π2+xsin2x=3sin3π2-x3cosπ2+x=2cos2x4sinxcosx-3sin2x=11-sin2x=cosx-sinx4cosx-3sinx=53cos2x-sin2x+2sinxcosx=0cos2x+sin2x=0,752sin23π2-x=cosx2sin23π2+x=cosxsinx+sin2x2=cos2x23sin2x+3cos2x=02sin23π2+x=-cosx2sin23π2+x=3cosxcos2x=sin3π2-x2cos3x-2cosx+sin2=04tg2x+3cosx+3=0
Перечень уравнений пособияsin2x=sinπ2+x HYPERLINK \l "Пример1" cos2x+0,5=cos2x2sin2x=cos3π2-x4cos2x+4cosπ2+x-1=0cos2x=1-cosπ2-x2cos3x-2cosx+sin2x=02sin3π2-x∙sinx=cosx15cosx=3cosx∙5sinx2sin7π2+x∙sinx=3cosx2cos25x=cos5xcos2x=1-cosπ2-x2cos4x+cos2x-1=09-x2cosx=02sin3x-2sinx+cos2=0sinx-32∙3x2-7x+4=0cos2x+sin2x=0,25cos3π2+2x=cosx2sin2π2+x=-3cosx6cos2x-7cosx-5=0cos2x+3sin2x=1,254sin2x-12sinx+5=012sinx=4sinx∙3-3cosxsin3π2-2x=sinx25cosxsinx=5cosxsinx+cosx2-sinx2cosx2+sinx2=0
cosx=cosx2-sinx22-12sin4x+3cos2x+1=02sin2x=4cosx-sinx+12sin2x-sinx2cosx-3=0sin2x-23cos2x-4sinx+43cosx=0cos2x-sin2π2-x=-0,25sin2x-23sin2x-4cosx+43sinx=07tg2x-1cosx+1=0cos2x2-sin2x2=sinπ2-2xsin2x+3sinx=0sin2x=2sinx-cosx+14 cos3x+3sinx-π2=02cos2x+2sin2x=32sin2π2+x=-cosx6 sin2x+sin2x=2sin2x2-cos2x2=cos2xИсточники информацииОткрытый банк заданий ЕГЭ МИОО «СтатГрад»Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания общеобразовательных предметов (на основе анализа типичных затруднений выпускников при выполнении заданий ЕГЭ 2013). Математика. http://www.fipi.ru/view/sections/231/docs/666.htmlОфициальный информационный портал ЕГЭ. ЕГЭ по математике

Приложенные файлы


Добавить комментарий