Системы счисления


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

С глубокой древности до наших дней Кувыкина Мария ВалентиновнаУчитель информатики ГБОУ СОШ №347 Невского р-на Санкт - Петербурга Системы счисления Содержание Введение Виды систем счисления Древнейшие нумерации Позиционные и непозиционные системы счисления Перевод из десятичной в другие системы счисления Перевод из двоичной в другие системы счисления Арифметические операции в позиционных системах счисления Представление информации в компьютере Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Наиболее долговечной из древнейших цифровых систем оказалась римская нумерация, возникшая у этрусков около 500 года до н. э. Система римских цифр основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов (I=10, X=10, C=100, M=1000) и их половин (V=5, L=50, D=500). При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, а если меньшая перед большей, то меньшая вычитается из большей. Выполнение арифметических действий над многозначными числами, записанными римскими числами, весьма неудобно. Тем не менее, в Западной Европе римскими цифрами пользовались до 15 века. В настоящее время применение римских цифр является исключением из правил. В Шумере, государстве, существовавшем на землях по нижнему течению рек Евфрата и Тигра (на территории современного Ирака) в период от рубежа 4 и 3 тысячелетий до н. э. приблизительно до 2000 года до н. э., где-то в конце 4 — середине 3 тысячелетия до н. э. возникла так называемая «позиционная система счисления», основанная на принципе позиционного, или поместного, значения цифр, т. е. на том, что одна и та же цифра получает различные числовые значения в зависимости от ее места в записи чисел. Позиционная система счисления несравненно удобней непозиционных систем. К позиционной системе принадлежит общепринятая десятичная система счисления. Однако в противоположность нашей десятичной системе шумерская (ее также называют вавилонской) была шестидесятеричной, и от нее человечество унаследовало час, состоящий из 60 минут по 60 секунд каждая, а также разделение круга на 360 градусов. Аддитивные системы счисления В этой системе счисления для записи чисел используется несколько цифр. Они могут изображаться так, как взбредет в голову, но только разные цифры должны выглядеть по-разному. Например в Египте единицы записывали палочками , а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров , десяток пут - одна мерная веревка , и т. д. Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными (add - добавлять, складывать англ.). Мультипликативные системы счисления В таких системах счисления для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все цифры здесь изображаются определенными символами.Например 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, …, 99, 100, 101 …Запись числа 1999 означает, что 1*1000 + 9 *100 + 9 *10 + 9. Для того, чтобы "собрать" такое число используется умножение (multiplication англ.), из-за чего систему и назвали "мультипликативной".Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой. По сей день мы используем только такую систему счисления.Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета. Любое из действий арифметики и алгебры может быть выполнено легко. Для счета здесь не нужна большая сноровка.Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали Арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру. В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация тоже поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например: это число 59. Вавилонская нумерация Вавилонский способ обозначения чисел больше 60 очень похож на наш: в этом случае цифры записываются по разрядам, с небольшими пробелами между: Так записывается число 302, то есть 5 * 60+2 А это 1 * 60 * 60+2 * 60+5 = 3725 При отсутствии разряда вставлялся значок , игравший роль нуля. это запись числа 7203 (2 * 60 * 60+3) Латинская (Римская) нумерация Это, наверное, самая известная нумерация, после арабской. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.Возникла эта нумерация в древнем Риме. Использовалась она для аддитивной алфавитной системы счисления. Прежде знак M изображался знаком Ф, потому то 500 и стал изображать знак D как "половина" Ф. Так же построена и пары L и C, X и V. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237Но XXXIX = 10+10+10-1+10 = 39Есть правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания, например:XXXX = XC (50-10)IIII = IV (5-1)CCCC = CD (500-100) О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления.Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века. Китайская нумерация Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае. 0 4 5 3 2 1 9 8 7 6 1000 100 10 Египетская нумерация Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку. 1 Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше. 10 Такими путами египтяне связывали коров. Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам. 100 Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. 1 000 Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка. 10 000 "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец. 100 000 Это головастик. Обычный лягушачий головастик. 1 000 000 Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф. 10 000 000 Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя. Эта нумерация очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Старого Света. Однако в ней использованы все те же принципы. Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной. Нумерация индейцев Майя Записывались цифры числа в столбик. Такая запись числа аддитивна, так как в ней используется только сложение. Славянская глаголическая нумерация Эта нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали.Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение: = 800+60+3 = 863 Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки. Славянская кириллическая нумерация Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.Тысяща - 1 000, Леон - 10 000, Одр - 100 000, Вран (ворон) - 1 000 000, Колода - 10 000 000, Тьма - 100 000 000. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка: Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19. Таким образом у славян мы прослеживаем десятеричную систему счисления.Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение: = 800+60+3 Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием  q  означает сокращенную запись выражения где a i — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно. Например: Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.В ЭВМ часто применяется двоичная система счисления, в которой каждое число выражается при помощи двух цифр 0 и 1. Великий философ и ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1673 году сконструировал машину «четырех действий», которая выполняла сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня. В отличие от Паскаля Лейбниц использовал в своей машине не колесики и приводы, а цилиндры с нанесенными на них цифрами. Специально для нее Лейбниц впервые применил двоичную систему счисления, использующую вместо обычных для человека десяти цифр две: 0 и 1. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления? Для перевода целого десятичного числа  N  в систему счисления с снованием  q  необходимо  N  разделить с остатком ("нацело") на  q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на  q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N  в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. Перевести число 73 из десятичной системы счисления в двоичную. Перевести число 47 из десятичной в двоичную систему счисления. 73 2 1 36 2 0 18 2 0 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 Таким образом: 7310 = 10010012 47 2 1 23 2 1 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1 Таким образом: 4710 = 1011112 Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную? Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (an an-1   ...  a0  ,  a-1  a-2   ...   a-m)q   сводится к вычислению значения многочлена   средствами десятичной арифметики.  Перевод чисел из двоичной в восьмеричную СС. Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2, может производится по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применятся для перевода чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системами счисления. Алгоритм перевода : - двоичное число разбивается на триады:целая часть- справа на лево;дробная часть- слева на право;- в дробную часть справа можно дописывать недостающее число нулей;- под каждой триадой пишется соответствующее восьмеричное число. 7 6 5 4 3 2 1 0 Восьмеричные цифры  111 110 101 100 011 010 001 000 Двоичные триады  Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную СС. Алгоритм перевода: - двоичное число разбивается на тетрады: целая часть - справа на лево; дробная часть - слева на право; - в дробную часть справа можно дописывать недостающее число нулей;- под каждой тетрадой пишется соответствующее шестнадцатеричное число 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16- ные числа  1010 1001 1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 Двоичные тетрады  Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления? Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы. Сложение Умножение Вычитание Деление С л о ж е н и е Сложение в двоичной системе счисления: Например, сложим в двоичной СС числа 1101001 и 111011: 1101001 111011 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 + 10100100 1 1 1 1 1 1 При получении в разряде числа 2, которое является основанием двоичной СС, в разряде записывается 0, а в следующий разряд переходит 1. В ы ч и т а н и е Вычитание в двоичной системе счисления: 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=11 При вычитании из меньшего числа большего по правилам арифметики производится заём из старшего разряда. В таблице заём обозначен 1 с чертой сверху.Однако при заёме единицы более старшего разряда, необходимо помнить, что каждая единица более старшего разряда равна основанию системы счисления, то есть в младший разряд при заёме приходит две единицы. 11110 10101 01001 Например, вычтем в двоичной СС числа 11110 и 10101: - Получившийся в старшем разряде 0 отбрасываем и получаем ответ 1001. У м н о ж е н и е Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения. Умножение в двоичной системе: Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям. 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 Например, умножим числа 110101 и 1101: 110101 1101 110101 110101 110101 1010110001 Х + Д е л е н и е Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей. Например, разделим числа 1000110 и 101: 1000110 101 101 1110 111 101 101 00 - - Таблица деления:0 : 0 –1 : 0 – 0 : 1 = 01 : 1 = 1 на 0 делить нельзя! Представление информации в компьютере В ЭВМ применяется двоичная система счисления, в которой каждое число выражается при помощи двух цифр 0 и 1. С помощью комбинации нулей и единиц машина способна воспринимать и обрабатывать практически любую привычную нам информацию — тексты, формулы, всевозможные символы, звуки и графические образы. Более того, компьютеры могут быстро оперировать огромными объемами информации.Один двоичный знак — 0 или 1 — специалисты называют «бит». По-английски bit означает «кусочек» или «частица». Минимальная значимая для компьютера частица информации - это бит. Любую информацию можно представить в виде последовательности битов.Однако, машина имеет дело не просто с нулями и единицами поштучно, не с отдельными битами, а сразу с пакетами двоичных чисел длиной по восемь знаков от 00000000 до 11111111. Такое число из восьми битов называется «байт». Именно байт является единицей измерения объема информации в информатике. Единицы измерения информацииЭлементарная единица измерения информации – бит.8 бит = 1 байт1024 байт = 1 килобайт (Кб)1024 килобайта = 1 мегабайт (Мб)1024 мегабайта = 1 гигабайт (Гб)

Приложенные файлы


Добавить комментарий