Рабочая программа курса «Комплексные числа в школьном курсе математики»


Рабочая программа курса «Комплексные числа в школьном курсе математики»
(34 часа)
Аберясьевой Екатерины Владленовны
2017 г.
Комплексные числа (34 часа)
Пояснительная записка.
Курс для профильной подготовки учащихся 10-11 классов, посвящен комплексным числам. Данная тема вообще не изучается в средней школе и понятие числа остается не завершенным. Восполнить этот пробел, призван данный элективный курс. Именно в этом курсе завершается расширение понятия числа, обосновывается необходимость этого и доказывается, что дальнейшее расширение невозможно. Чтобы фраза «уравнение не имеет решений в действительных числах» не была голословной, а выражение «уравнение n-й степени имеет n-корней» была подтверждена практическими заданиями, необходимо изучить с учащимися тему: «Комплексные числа». Эту тему целесообразно изучать в 10-11 классе после изучения тригонометрии, т.к. большое значение имеет тригонометрическая форма комплексного числа. Этот курс преследует несколько целей, в частности расширить понятие числа, научить учащихся находить корни из отрицательных чисел и на исторических и современных примерах показать применение этих «мнимых» чисел.
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний. Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее необходимость выполнения вычитания – к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались невыполненными на этом множестве операции извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел в отличие от действительных. Такие числа были названы комплексными, имеющие вид а+bi, где а и bесть действительные числа. Отказываться изучать выражения данного вида лишь потому, что символ i не есть действительное число, означало бы допустить очень большое торможение в развитии алгебры, развитии её методов, многие алгебраические действия остались бы невыполненными. Например, нельзя было бы выполнить действие извлечения корня 6-й степени из отрицательного числа. Учение о числах вида а+bi и теории, развитые на основе этого учения, оказались мощным средством, позволившим успешно решить крупнейшие теоретические и практические проблемы. Например, знаменитый русский ученый Николай Егорович Жуковский блестяще использовал эти теории для расчета крыльев самолета. Эти теории с огромным успехом применяются в электротехнике, гидромеханике, аэромеханики, теории упругости и во многих других отделах естествознания и техники. Необходимость изучения данного курса также состоит том, что при решении упражнений на повторение в 11 классе по учебнику Ш.А.Алимова предлагается выполнить задания с комплексными числами, но теоретический материал в 10 – 11 классах по этой теме не рассматривается. Все свойства, входящие в элективный курс, и их доказательства не вызовут трудности у учащихся, т.к. не содержат громоздких выкладок. 
При изучении теории комплексных чисел применяются опорные конспекты, предусмотрено использование интерактивной доски и индивидуальная работа учащихся по усвоению теории.
Цели курса:
- расширить кругозор  учащихся непосредственных связей школьной программы математики с наукой и ее приложениями;
- сформировать представление о теории комплексных чисел.
Задачи курса:
- познакомить учащихся с понятием комплексного числа; научить выполнять основные арифметические операции на множестве комплексных чисел;
- сформировать умение решать упражнения по данной теме;
- показать необходимость знаний данного курса в развитии математики и во многих отделах техники и естествознания;
-овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения на практике, изучения смежных дисциплин (  HYPERLINK "https://kopilkaurokov.ru/matematika/planirovanie/proghramma_eliektivnogho_kursa_komplieksnyie_chisla" \t "_blank" физики), продолжения образования и сознательного выбора профессии;
- показать прикладную значимость математики.
- развивать интеллектуальные способности, логическое мышление;
Программа (34 часа)
Комплексные числа.
Тема 1.
Постановка задачи о расширении поля действительных чисел. Комплексные числа, алгебраическая форма комплексного числа.
Тема 2.
Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Тема 3.
Векторы на плоскости как изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа и связь между ними.
Тема 4.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел заданных в тригонометрической форме. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.
Тема 5.
Решение двучленных уравнений 3-й и 4-й степени с действительными коэффициентами. Алгебраическое уравнение n-й степени.
Учебно-тематический план

Темы Наименование разделов и тем Кол-во
часов Дата
провед.
1. Исторические замечания. Прошлое и настоящее комплексных чисел.
Числовые поля
Постановка задачи о расширении поля действительных чисел
Алгебраическая форма комплексного числа 34
1
1
1 2.
Основные понятия
Сложение комплексных чисел. Противоположные числа.
Вычитание комплексных чисел. Умножение комплексных чисел.
Деление комплексных чисел.
Контрольная работа № 1 по теме «Действия с комплексными числами». 1
1
1
1 3.
Комплексные числа как аффиксы точек.
Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел.
Модуль и аргумент комплексного числа.
Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих.
Самостоятельная работа № 1 по теме « Модуль числа» 1
1
1
1
4.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Самостоятельная работа № 2 «Тригонометрическая форма комплексного числа»
Возведение в степень.
Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа.
Самостоятельная работа № 3 по теме «Возведение в степень, извлечение корня из комплексного числа».
Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и векторов.
Задачи.
Комплексные числа как изображения физических величин. 1
1
1
1
1
1
1
1
5. Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел. Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами.
Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами.
Двучленные уравнения 4-й степени с действительными коэффициентами.
Алгебраическое уравнение n-й степени.
Контрольная работа № 2 по теме «Решение уравнений»
1
1
1
1
1
6. Составление проектов. Самостоятельная работа дома. 7
Контрольная работа № 1
1 вариант 2 вариант
№ 1. Изобразите на плоскости заданные комплексные числа:
z1= 4i z1= -5i
z2 = 3 + iz2= 4 + iz3= - 4 +3i z3 = -7 + 2i
z4= - 2 -5i z 4= -3 – 6i
№ 2. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
А) (3 + 5i) + (7 – 2i).б) (6 + 2i) + (5 + 3i). 
в) (– 2 + 3i) - (7 – 2i).г) (5 – 4i) - (6 + 2i). (3 – 2i) + (5 + i).(4 + 2i) + (– 3 + 2i).(– 5 + 2i) - (5 + 2i).(– 3 – 5i) - (7 – 2i).
№ 3. Произведите умножение комплексных чисел:
a) (2 + 3i)(5 – 7i). б) (6 + 4i)(5 + 2i).в) 11) (3 – 2i)(7 – i). г) (– 2 + 3i)(3 + 5i). (1 –i)(1 + i).(3 + 2i)(1 + i).(6 + 4i)3i.(2 – 3i)(– 5i).
№ 4. Выполните действия:
a) (3 + 2i)(3 – 2i). б) (5 + i)(5 – i). в) (1 – 3i)(1 + 3i).  а) (7 – 6i)(7 + 6i).б) (4 + i)(4 – i).в) (1 – 5i)(1 + 5i).
№ 5. Решите уравнения:
а) x2 – 4x + 13 = 0.
б) x2 + 3x + 4 = 0  а) 2,5x2 + x + 1 = 0.б) 4x2 – 20x + 26 = 0.

Самостоятельная работа №1
Модуль числа
Вариант 1
Задание 1
Укажите значение выражения|-2,3|:
а) -2,3;б)-3,2;в)3,2;г)2,3.
Задание 2
Найдите модуль числа:
а) +36;б)-1,78;в);г)-478.
Задание 3
Сравните:
а) |-2,3| и 0;б) |-56,2| и 26;в) |-75,2| и 75,2;г) |-12| и |-28|.
Задание 4
Вычислите:
а) |-26|-|-14|+|+18|;б) |-13,2|+|+8,9|-|-10,1|;
в) |-3,8|·|-2,2|·|+2|;г) |-65,6|:|-1,6|:|+0,41|.
Задание 5
Решите уравнение:
а) |x|=14; б) |x|+9,25=11,83;
в) г) .
Вариант 2
Задание 1
Укажите значение выражения|-3,5|:
а) -3,5;б)3,5;в)-5,3;г)5,3.
Задание 2
Найдите модуль числа:
а) 92;б)-8,56;в);г) +7,028.
Задание 3
Сравните:
а) |-23| и 8;б) |-61,2| и 0;в) |-5,42| и 5,42;г) |-77| и |-93|.
Задание 4
Вычислите:
а) |-38|-|-12|-|-8|;б) |-25,6|-|-17,9|+|+5,3|;
в) |-2,7|·|-3,3|·|+4|;г) |-105,3|:|+27|:|-0,39|.
Задание 5
Решите уравнение:
а) |x|=45; б) |x|+8,62=11,83;
в) г) .Самостоятельная работа № 2
«Тригонометрическая форма комплексного числа»
Вариант 1
Записать число в тригонометрической форме:
Записать число в алгебраической форме:
Выполнить действия:
а) 
б)
в) 
Вариант 2
Записать число в тригонометрической форме: 
Записать число в алгебраической форме: 
Выполнить действия:
а) 
б) 
в) 
Самостоятельная работа № 3
по теме «Возведение в степень, извлечение корня»
1. Возведите в степень:
а) 32-12i6; б) 2cosπ8+isinπ88; в) cos35°+isin35°-12.
2. Вычислите: а) 1-i12+1+i12 б) 1+i8-1-i81+i8∙1-i83. Извлеките корни:
а)3-1 б) 4-1 в) 3i г) 44 д) 4-2+2i3 е) 61
Контрольная работа № 2
по теме «Решение уравнений»
Найти все корни уравнения: z3 + 2 - 2i = 0Найти все корни уравнения: z2 - z + 5 = 0 Найти все корни уравнения: z4  + 16 = 0 Найти корни уравнения: z=3-2
Решить уравнение: x3=-27Решить уравнение: cos2z=3i4
Основное содержание курса
1.Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексным числом z называется выражение вида z=x+iy, где х и у – действительные числа , i – мнимая единица, при этом i2= -1.
Число х – называется действительной частью комплексного числа и обозначается x=ReZ, а у – мнимой частью Z, y=ImZ.
Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: z1= z2, если x1= x2 и y1= y2.
Два комплексных числа z=x+iy и =x-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
left0Любое комплексное числоz=x+iy можно изобразить точкой на плоскости ХОУ и любой точке плоскости можно поставить в соответствие какое-то комплексное число. При этом x=ReZ, y=ImZ, сама плоскость ХОУ называется комплексной.
Комплексное число z=x+iy можно задать иначе, определив длину радиуса-вектора точки М, получившую название модуля комплексного числа, и величину угла между положительным направлением оси ОХ и радиусом-вектором. Этот угол (рис.1) называется аргументом комплексного числа, который обозначается как argZ.
Запись комплексного числа в виде z=x+iy называется алгебраической формой комплексного числа. Тригонометрическая форма определяет число z через его модуль и аргумент и имеет вид z=r(cos+isin), где , - аргумент комплексного числа; . При определении аргумента необходимо учитывать четверть комплексной плоскости, в которой лежит точка, соответствующая данному комплексному числу:
Примеры:
(1+i)4 = [(1+i)2]2 = (1+2i + i2)2 = (1+2i-1)2 = (2i)2 = 4i2 = 4 (-1) = -4;
(1+i)3 = 1+3i+3(i)2+(i)2 = 1+3i-9-3i = -8;
(2+3i)(3+2i) = 6+4i+9i+6i2 = 6+13i-6 = 13i;
(2+3i)(2-3i) = 22-(3i)2 = 4+9 = 13.
Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме
Сложение
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i.
Вычитание
(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i
Умножение
(a+bi) (c+di) = ac+bdi2+adi+bci = (ac-bd)+(ad+bc)i.
(a+bi) (a-bi) = a2 - (bi)2 = a2-b2i2 = a2+b2.
Произведение двух сопряженных комплексных чисел есть действительное неотрицательное число.
Деление

(Здесь предполагалось, что c+di≠0, т.к. делить на нуль невозможно.)
Пример. Сумма комплексных чисел.
Дано: Найти: 
Решение:Исходя из того, что сумма комплексных чисел — это комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей, а мнимая часть равна сумме мнимых частей суммируемых комплексных чисел , получим:
.
Ответ: .
Пример. Разность комплексных чисел.
Дано: Найти: 
Решение:Исходя из того, что разность комплексных чисел — это комплексное число, действительная часть которого равна разности действительных частей, а мнимая часть равна разности мнимых частей вычитаемых комплексных чисел , получим:
.
Ответ: .
Пример. Произведение комплексных чисел.
Дано: Найти: 
Решение:Исходя из того, что перемножение комплексных чисел выполняется с помощью обычного раскрытия скобок с последующим выделением вещественной и мнимой частей (следует учесть i2=-1)

 получим:


Ответ: .
Пример. Деление комплексных чисел.
Дано: Найти: 
Решение:Исходя из того, что при делении комплексных чисел результат представляют в виде дроби, после чего числитель и знаменатель этой дроби умножают на число, комплексно сопряженное знаменателю:

 получим:


Ответ: .
3. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел.
Комплексное число a+bi изображается вектором 

На рисунке 1 векторы ,,, изображают комплексные числа: 1+3i; -2+I; 4-2i; -3-3i; 5+0i; -5+0i; 0+5i; 0-5i.

рис1.
Модуль комплексного числа
|a+bi| = 
|1+i| = ;
|-1-i| = ;
|0+0i| = 0;
|3-4i| = 5;
|3+0i| =  = 3 = |3|;
|-3+0i| = =3=|-3|;
|a+0i| = = |a|.
Из последних трех равенств видно, что модуль действительного числа равен абсолютному значению этого действительного числа:
|0+5i| = 5;
|0-5i| = 5;
|bi| = |b|;
|i| = 1.
Отсюда видно, что модуль чисто мнимого числа равен абсолютному значению коэффициента при i.
Нуль есть единственное комплексное число, модуль которого равен нулю.
Аргумент комплексного числа
рис2.
Примеры.
Построив векторы, соответствующие комплексным числам:
1+i; 1-i; -1+i; -1-i; (рис2.), легко видеть что arg(1+i)=; arg(1-i)=;
a
rg(-1+i)=; arg(-1-i)=.

Рис3.
Построив векторы, соответствующие числам 4+0i; -4+0i; 0+2i; 0-2i; (рис3),
легко видеть, что arg(4+0i)=arg4=0;
arg(-4+0i)= arg(-4)=π;
arg(0+2i)=arg2i=;
arg(0+2i)=arg(-2i)=-.
4. Тригонометрическая форма комплексного числа
a=r cosφ и b= r sinφ
a+bi=r cosφ+ir sinφ=r (cosφ+i sinφ)
Выражение r (cosφ+i sinφ) называется тригонометрической формой комплексного числа в отличие от формы a+bi, называемой алгебраической.
Примеры преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую1+i=(cos+ i sin );
1-i=[cos(-)+i sin (-)];
1= cos0 + sin0;
-1= cosπ +i sinπ;
i= cos+i sin;
+3i= 2(cos+i sin ).
Очевидно, что
r(cosφ+i sinφ) = r[cos(φ+2kπ) + i sin(φ+2kπ)]
Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны друг другу тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную π.
Следовательно, если
r1 (cosφ1+i sinφ1) = r2 (cos φ2+ isin φ2),
r1=r2 и 2) φ2 = φ1 +2kπ.
Умножение
[r1(cos φ1+isin φ1)] [r2(cos φ2+isinφ2)]=r1r2(cosφ1 cosφ2 - sinφ1 sin φ2+isinφ1 cosφ2 + icos φ1 sin φ2) = r1r2[cos(φ1+ φ2)+isin(φ1+ φ2)]
Возведение в степень: – формула Муавра.
Извлечение корня:
Пример. Возведение комплексного числа в степень.
Дано: .Найти: 
Решение:Исходя из того, что для возведения комплексного числа в степень его представляют в тригонометрической форме, после чего модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень: получим:
Модуль комплексного числа: .
Аргумент: .
Тригонометрическая форма числа: .
В итоге: 
Ответ: 
Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами
Так называются уравнения вида
ах3 = b,
где а и b — произвольные действительные числа, отличные от нуля.
Решение таких уравнений мы рассмотрим на некоторых частных примерах.
Пример   1.   Решить уравнение х3 = 8.
Перепишем данное уравнение в виде х3 — 8 = 0. Используя формулу для разности кубов, получим: (х — 2) (х2 + 2х + 4) = 0. Если х — 2 = 0, то  х = 2; если же х2 + 2х + 4 = 0, то  х = — 1 ± √1—4 = — 1 ± √—3 = r^> = — 1 ± √3 i. Таким образом, данное уравнение имеет три корня:
x1  = 2;    x2 = — 1 — √3 i  ;   x3 = — 1 + √3 i.
Действительным среди них является лишь один корень х = 2
П.р и м е р 2. Решить уравнение  — 1/2  х3 = 4.
Умножив обе части этого уравнения на —2, мы придем к уравнению х3 = —8. Это уравнение принципиально не отличается от ранее рассмотренного уравнения х3 = 8. Поэтому мы приводим его решение без объяснений:
х3 + 8 = 0,
(х + 2)(х2 — 2х + 4) = 0,  
 x1 = — 2; x2 = 1 — √3 i ;  x3 = 1 + √3 i.

Приложенные файлы


Добавить комментарий