Квадратные уравнения с параметром


Тема урока:
"КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ"
(8 класс)
Конспект урока
Цель: закрепление навыков учащимися по решению квадратных уравнений ax2 + bx + c = 0 с использованием:
а) формулы корней квадратного уравнения;
б) свойств коэффициентов (а + b + с = 0 и а + с = b);
в) формирование у учащихся желания и потребности теоретического обобщения изучаемого материала;
г) развитие творческого мышления, самостоятельности учащихся при изучении данной темы.
ХОД УРОКА
Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим решение квадратных уравнений и познакомимся с квадратными уравнениями с параметрами. А пока работаем устно.
1. Какие уравнения называются квадратными? Почему в определении квадратного уравнения старший коэффициент а 0?
2. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
3. Сколько корней имеет уравнение: а) 4х+ х – 5 = 0; б) х- 4х + 4 = 0; в) 9х- 6х + 10 = 0.
4. Составьте квадратное уравнение или уравнение, приводимое к квадратному, корнями которого являлись бы числа: а) -8; 5 б) 6; 1 в) 2 г) -4.
5. Решите уравнение: а) х+ 23х – 24 = 0; б) 2х+ х – 3 = 0; в) -5х+ 2х + 7 = 0; г) 9х+ 6х + 1 = 0.
6. Составьте квадратное уравнение или уравнение, приводимое к квадратному, которое имело бы: а) два равных корня б) два корня с разными знаками в) не имело бы корней.
7. Сколько корней может иметь уравнение вида хm?
Примечание 1. На данный момент учащиеся еще не знакомы с теоремой Виета и поэтому четвёртое и шестое задания они могут выполнить исходя из следующих соображений. Уравнение вида (х – а)(х – b) = 0 имеет два корня х = а и х = b. Поэтому уравнение с корнями -8 и 5 может иметь вид (х + 8)(х – 5) = 0 или х2 + 3х – 40 = 0, которое получается из предыдущего уравнения после раскрытия в его левой части скобок и приведения подобных слагаемы.
Примечание 2. Пятое задание рассчитано на решение и применением следующих соображений. Уравнение ax2 + bx + c = 0 при а + b + с = 0 или а + -b + с = 0 имеет корни 1 и с/а или -1 и –с/а. Соответствующий теоретический материал был изучен на предыдущих уроках.
Учитель: Ребята, давайте рассмотрим уравнение 9х+ 6х + 1 = 0. Заменим в этом уравнении число 3 на переменную а. Какой при этом вид может принять данное уравнение?
Учащиеся предлагают свои варианты ответов. Учитель в ходе обсуждения и поощрения учащихся за интересные ответы записывает их варианты уравнений на доске.
Варианты ответов учащихся: а) 3ах+ 6х + 1 = 0 б) а2х2 + 6х + 1=0 в) 9х+ 2ах + 1 = 0 г) 9х+ 6х + = 0 д) (12 - а)х+ (3 + а)х + = 0 и др.
Учитель: Все эти уравнения являются уравнениями с параметрами. Давайте попробуем определить, какие же уравнения будут квадратными уравнениями с параметрами?
Учащиеся предлагают свои возможные с их точки зрения определения уравнения с параметром. Учитель внимательно выслушивает их и останавливается на наиболее удачном ответе.
Учитель: Итак, квадратное уравнение вида ах+ bх + с = 0, в котором хотя бы один из коэффициентов является выражением от новой переменной, будем называть квадратным уравнением с параметром. При этом сама переменная называется параметром.
Примечание 3. На данном этапе урока была применена организация деятельности учащихся по выполнению действий адекватных определению алгебраического уравнения с параметром. По мнению психологов, такая организация деятельности учащихся способствует формированию теоретического мышления учащихся. Для учителя-практика этот подход интересен тем, что учащиеся еще ни разу ни видели квадратного уравнения с параметром, но уже сами, хоть и под руководством учителя составили такие уравнения. Поэтому сам термин «уравнение с параметром» возник как результат учебной деятельности учащихся. В то время как на практике по традиционной методике обучения чаще всего сначала вводят термин, а потом раскрывают его содержание на многочисленных примерах.
Далее учащиеся открывают тетради для записи темы урока: «Квадратные уравнения с параметрами».
Учитель: Рассмотрим теперь ранее составленное нами уравнение 9х+ 2ах + 1=0. Какие вопросы можно сформулировать к полученному уравнению?
Примечание 4. Варианты ответов учащихся на этот вопрос, как показала практика, были разными. Среди них учитель должен выделить типичны вопросы, которые предлагаются в учебниках для общеобразовательных школ.
Учитель: Мы сегодня остановимся на только одном вопросе: «При каких значениях параметра квадратное уравнение имеет единственный корень?». Ваши предложения, как можно решить такую задачу?
Учащиеся предлагают способы решения уравнения. При этом учитель выслушивает всех желающих и фиксирует на доске те способы, которые могут быть реально использованы на практике. Некоторым из этих способов даются краткие названия.
Решение 1 (дискриминант). Суть этого способа состоит в том, что квадратное уравнение имеет единственный корень только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
Поэтому 9х+ 2ах + 1 = 0 (а = 9, в = 2а, с = 1), D = 4а- 36; 4а-36 = 0, 4а=36, а= 36, а = 3 или а = -3.
Значит, при а = ± 3 уравнение 9х+ 2ах + 1 = 0 имеет единственное решение или два равных корня.
Решение 2 (выделение квадрата двучлена). При выводе формулы корней квадратного уравнения учащиеся выделяли полный квадрат из левой части уравнения. Поэтому они вспоминают и предлагают этот прием, но со следующим ограничением: «Если квадратное уравнение имеет единственный корень, то его левая часть должна быть полным квадратом».
Поэтому 9х+ 2ах + 1 = 0; (3х)+2.
Так как левая часть последнего уравнения должна быть полным квадратом, то свободный член левой части этого уравнения 1 должен представлять собой квадрат выражения . Поэтому , , а= 9, а = ±3. Мы получили ответ, уже известный из предыдущего решения.
Примечание 5. Следует отметить, что первое решение данной задачи, как я и ожидала, учащиеся предложили не испытывая никаких затруднений и практически мгновенно. Это и понятно, так как формула для вычисления корней квадратного уравнения применяется постоянно и, наверное, имеет сильную ассоциацию с термином «квадратное уравнение».
Дольше учащиеся думали над конструированием второго решения. На мой взгляд это объясняется тем, что метод выделения полного квадрата еще не получил достаточного применения при решении различных задач. Однако я считаю, что следует целенаправленно учить учащихся не только применению известных формул, но и обобщению ранее изученных методов решения задач на новые типы задач, так, чтобы эти методы не повисали в воздухе, не оставались без применения.
Решение 3 (введение новой переменной). Этот способ, как и предполагалось, не был предложен учащимися. Учитель планировал сам рассказать о нем, выполняя подробное оформление процесса решения задачи на доске. Учащиеся при этом должны были одновременно записывать все это в тетрадях.
9х+ 2ах + 1 = 0. Вынесем из первых двух слагаемых общий множитель 3х за скобки. Тогда получим + 1= 0. Запишем последнее уравнение в виде + 1 = 0. Пусть 3х + = t, тогда предыдущее уравнение примет вид: + 1 = 0, t, t.
Исходное уравнение имеет один корень (два равных корня) тогда и только тогда, когда один корень (два равных корня) имеет уравнение t. А это возможно тогда и только тогда когда , т.е. а = ±3.
Мы еще раз убедились, что только при а = ±3 уравнение 9х+ 2ах + 1 = 0 имеет единственное решение или два равных корня.
Учитель: А сейчас вы сами можете выяснить, насколько прочно были усвоены рассмотренные нами способы решения задачи. Сможет ли вы применить изученные сегодня способы для решения другой, но аналогичной задачи.
Задача. При каких значениях параметра k уравнение х+ 2kх + 36 = 0 имеет два равных корня?
На каждый ранее рассмотренный способ решения к доске приглашаются желающие учащиеся, остальные работают в тетрадях, выполняя задание тем способом, который для них более приемлем.
Решение 1 Решение 2 Решение 3
х+ 2kх + 36=0 х+ 2kх + 36 = 0 х + 2kх + 36 = 0
D = k х х(х + k - k)(х + k + k) + 36=0
k k Пусть х + k = р, тогда k = ± 6
k = ±6 (р - k)(p + k) + 36 = 0
p- k+ 36 = 0
pk
k
k = ± 6
Значит, при k = ±6 уравнение х+ 2kх + 36 = 0 имеет два равных корня.
Примечание 6. На данном уроке рассматривалось только решение одного типа задач («При каких значениях параметры уравнение имеет единственный корень»). Это объясняется тем, что время, ограниченное одним уроком диктовала концентрацию внимания учащихся только на одном типе задач. Иначе, на мой взгляд, трудно было бы ожидать положительного эффекта для учащихся от проведения данного урока.
Справедливости ради следует сказать, что перенос данных методов решения на другие типы задач («При каких значениях параметры уравнение имеет два различных корня», «При каких значениях параметра уравнение имеет корни разных знаков» и др.) не сложен и не должен в дальнейшем вызвать учащихся затруднений. Однако считаю очень важным озвучивание на уроке рассуждений учащихся при обобщении известных им методов решения задачи на решение новых задач.
ИТОГ УРОКА
Учитель: Итак, сегодня на уроке мы познакомились с квадратными уравнениями с параметрами и рассмотрели три способа решения одной задачи. Возможно, какой-то из способов, на ваш взгляд, не рационален при решении конкретной задачи, но знать и уметь применять их вам нужно. Существуют ещё, по меньшей мере, три способа решения этой задачи, но о них мы будем говорить на следующих уроках.
Далее объявляются оценки учащихся за работу на уроке.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Из уравнения 5хсоставьте несколько уравнений с параметром.
При каких значениях параметра с уравнение: а) х2 + сх + 16 = 0; б) 4х2 - 8х + с= 0; в) 5х2 + сх + 5 = 0 имеет единственный корень?

Приложенные файлы


Добавить комментарий