«Проект по математике 5 класс по теме «Линейные уравнения и способы их решения».»



Муниципальное Казённое Образовательное Учреждение
"Средняя общеобразовательная школа №4"














Научный проект по математике
"Виды линейных уравнений"


Автор проекта:
Ученица 5Г класса
Комарова Ксения
Руководитель проекта:
Чухманова Наталия
Викторовна





2016-2017 уч. год

Содержание.

1. Введение:
1.1 Возникновение проблемы.
1.2 Цель и задачи проекта.

2. Теоретическая часть:
2.1 Понятие линейного уравнения.
2.2 Случаи решения линейного уравнения.

3. Практическая часть:
3.1
3.3 Решение уравнений с дробными коэффициентами (с переносом
слагаемых).
Примеры решение уравнений.
3.4 Применение линейных уравнений при решении задач.

4. Заключение: Решение линейных уравнений, делением на коэффициент.
Примеры решение уравнений.
3.2 Решение линейных уравнений, способом переноса слагаемых
из одной части равнения в другую.
Примеры решение уравнений.
5. Самооценка.
6. Отзыв учителя.
7. Информационные ресурсы.







Введение.
Возникновение проблемы.
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Актуальность: чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопрос «Зачем нужно изучать уравнения?». С линейными уравнениями мы знакомы из математики начальной школы, но в курсе 6 класса будет изучена новая тема - перенос слагаемых из одной части уравнения в другую и свойства уравнений. Этот материал в курсе математики -5 класса представляет некоторую сложность и научный интерес.
Проблема: углубить представления об уравнениях. Ответить на вопрос: «Какими способами можно решить уравнение и показать где, когда и какие уравнения приходится решать современному человеку.
Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый.
Цель и задачи проекта.
Цель проекта: Рассмотреть различные виды линейных уравнений и способы их решений.
Задачи проекта:
Рассмотреть виды линейных уравнений.
Привести примеры различных способов решения уравнений..
Обобщить знания по этой теме.
Защитить проект и приготовить презентацию.


Теоретическая часть.
2.1 Понятие линейного уравнения.
Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..
В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.
В уравнениях с одной переменной неизвестное обычно обозначают буквой «х».
Уравнения бывают разных видов:
ax + b = 0. - Линейное уравнение.
ax2 + bx + c = 0. - Квадратное уравнение.
ax3 + bx2 + cx + d = 0. - Кубическое уравнение.
ax4 + bx2 + c = 0. - Биквадратное уравнение.
Уравнение вида a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Примеры линейных уравнений.
5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x, здесь коэффициент a равен 5, а число b есть 10.

·2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y, в котором a=
·2,3 и b=0.
А в линейных уравнениях x=
·2 и
·x=3,33 числовые коэффициенты a не присутствуют в явном виде и равны 1 и
·1 соответственно, при этом в первом уравнении b=
·2, а во втором - b=3,33.
А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6, и т.п. тоже линейные.
2.2 Случаи решения линейного уравнения.

Рассмотрим способы решения линейных уравнений a·x+b=0. Выясним , имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.
Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b. При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет
единственный корень при a
·0,
не имеет корней при a=0 и b
·0,
имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0, в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.
При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0. Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x, при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0. Это равенство верное, когда b=0, а в остальных случаях при b
·0 это равенство неверное.
Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0. А при a=0 и b
·0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0.
Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:
Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b.
Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
Если a=0 и b
·0, то исходное уравнение не имеет корней.
Если же a отлично от нуля, то
коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=
·b,
после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a, что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .
Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.
Похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b. Его отличие состоит в том, что при a
·0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.
Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:
Если a=0 и b=0, то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
Если a=0 и b
·0, то исходное уравнение не имеет корней.
Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a, откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a.













Практическая часть:

3.1 Решение линейных уравнений, делением на коэффициент.

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Примеры решение уравнений.
Решение уравнений с дробными коэффициентами (с переносом
слагаемых).
Применение линейных уравнений при решении задач.
Решение линейных уравнений, делением на коэффициент.
Решение линейных уравнений, способом переноса слагаемых
из одной части равнения в другую.

3.2 Решение линейных уравнений, способом переноса слагаемых
из одной части равнения в другую.
Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перевести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.
Переносите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного:
а) 8х+5,9=7х+20
8х-7х=20-5,9
х=14,1

б) 6z-8=-5z-1.6
6z+5z=8-1.6
11z=6.4
z=6,4: 11
z= 0,58
Соберём в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестные, а в правой - не содержащие неизвестное:

в) 15y-8=-6y+4.6
15y+6y=8+4.6
21y= 12.6
У=12.6:21
У=0,6

г) -16n+1.7=2n-1
-16n-2n=-1.7-1
-18n=-2.7
18n=2.7
n=2,7:18
n=0,15

3.3 Решение уравнений с дробными коэффициентами (с переносом слагаемых).
Если в уравнении встречается дробный коэффициент – он него стараются избавиться – способном домножения на дробь обратную коэффициенту.
Примеры решение уравнений.
Решим уравнение 1/3х +12=х.
Решение. Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того, чтобы освободится от дробного коэффициента. Получим х+36=3х. Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое 3х из правой части в левую: х-3х = -36. Упростим левую часть уравнения: -2х = -36. Теперь разделим обе части уравнения на -2, получим х=18.
Число 18 является корнем данного уравнения 1/3х + 12=х, так как верно равенство 1/3*18 + 12=18.

Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.





3.4 Применение линейных уравнений при решении задач.
Решение линейных уравнений широко применяется при решении задач, рассмотрим примеры. Решим с помощью уравнения задачи.
Задача1.
На одной полке 42 книги, а на другой 34. Со второй полки сняли несколько книг, а с первой - столько, сколько осталось на второй. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг сняли со второй полки ?
Пусть х книг сняли со второй полки, тогда на второй полке осталось 34-х книг. После того, как с первой полки сняли 34-х книг, на ней осталось 12 книг.
Составим уравнение:
42-(34-х)=12
42-34+х=12
х=4.
Ответ: со второй полки сняли 4 книги.
Задача2.
Стены дома 8 каменщиков сложили за 42 дня. Сколько нужно каменщиков, чтобы сложить стены такого же дома за 28 дней?
Пусть х - количество каменщиков, необходимое для того, чтобы сложить стены такого же дома за 28 дней. Составим и решим пропорцию:
8/х = 28/48
х = 8*42/28 = 12 каменщиков.
Ответ: 12 каменщиков.
Задача3.
Отрезок на плане, масштаб которого 2:7, изображается отрезок 4,2 см. Какой длины будет этот отрезок на плане, сделанном в масштабе 5:3?
Длина отрезка в натуре:
4,2: х = 2:7
х= 4,2*7/2
х = 14,7 см.
Длина отрезка на другом плане:
х : 14,7 = 5:3
х = 14,7*5
х=24,5 см
Ответ: 24,5 см.
Задача 4.
Длина отрезка АВ а 2 см больше, чем длина отрезка CD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получается равные результаты. Найдите длину отрезка АВ.
Пусть х - длина отрезка АВ, тогда длина отрезка CD равна х - 2 см. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получается равные результаты.
Составим и решим уравнение:
х+10 = 3(х-2)
х+10 = 3х-6
-2х= -16
х=8 см.
Ответ: 8 см.






4.Заключение.
Самооценка


В целом, значение темы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях (Физике, Химии и Алгебры, Геометрии), а так же открывает простор для созданий новых.

Работа над проектом, изучение линейных уравнений и их виды позволила более широко изучить данную тему.

По изученному мною материалу, использованного в процессе подготовке проекта можно сделать вывод о том, что большое количество людей знакомы с уравнениями и знают где можно применить в практической деятельности линейные уравнения. Это ещё раз говорит об актуальности данной темы.



















6. Отзыв учителя.






























7.Информационные ресурсы.



1. https://www.calc.ru/Lineynyye-Uravneniya-Vidy-Lineynykh-Uravneniy.html

2. http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/sistema-lineynyh-uravneniy.html

3. http://www.cleverstudents.ru/equations/linear_equations.html#definition

4. http://www.cleverstudents.ru/




15

Приложенные файлы


Добавить комментарий