Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнение.


Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнение.
Цели урока:
Образовательные: организовать деятельность учащихся по повторению тригонометрических формул сложения и двойного угла; создание условий для осознанного усвоения преобразований тригонометрических выражений и подготовки к итоговой аттестации
- систематизация знаний учащихся по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»;
-углубление знаний по теме;
- формирование умения классифицировать тригонометрические уравнения по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.
Развивающие:
– способствовать развитию аналитико-синтетического мышления, внимания;
- содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.
Воспитательные:
- развивать у учащихся коммуникативные способности, элементы ораторского искусства;
- способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.
Оборудование: экран, проектор, карточки для самостоятельной работы, карточки с проверочной работой, интерактивная доска, система опроса и тестирования, таблицы, индивидуальный справочный материал, индивидуальные оценочные листы; Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1.Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), - М.: Мнемозина, 2012.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Методы обучения:метод постановки проблемы и метод поиска решений.
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.
Педагогические приемы урока:эпиграф, наблюдение, обобщение, общественный смотр знаний, самостоятельная и проверочная работы.
План урока:
Организационный момент (1 мин).
Систематизация теоретического материала.
1.Самостоятельная работа: блиц-опрос - контроль знаний по простым тригонометрическим тождествам и формулам.
2. математический диктант.
Повторение: методы решения тригонометрических уравнений (13 мин).
Проверочная работа (20 мин).
Итог урока. Рефлексия (2 мин).
Домашнее задание (1 мин).
Конспект урока
I Организационный момент урока.
Сегодня на уроке мы с вами обобщим и закрепим пройденный материал по теме «формулы тригонометрии», и будем учиться применять различные методы в решении тригонометрических уравнений, которые занимают важное место в математическом анализе. Математика способствует развитию умений анализировать, сопоставлять, творчески мыслить. Правильное решение по-своему красиво, а поиск решения всегда интересен. Эпиграфом нашего урока будут слова Конфуций: «Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это самый горький».
И я думаю каждый выберет свой путь. И по ходу урока может поменять свои ююю.
II. Систематизация теоретического материала:
Мы сейчас вспомним с вами некоторые формулы. А 6 человек в это время будут решать на компьютере тест по теме .(ФИ ученика)
- Устно найдем значения.
sin 30º =
ctg 60º =
cos 45º =
sin 180º =
cos 360º =
tg 405º =
sin 330º =
ctg 780º =
-2) Ребята, давайте вспомним 6 основных тригонометрических тождеств:
sin² α + cos² α = 1
tg α · ctg α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
ctg α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
-3) Ребята, давайте вспомним формулу двойного угла синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
cos 2α = cos² α - sin² α= 1 - 2sin² α =2cos² α - 1
sin 2α = 2sin α · cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
-4)математический диктант.

Два ученика работает на доске. Потом делаем проверку.
методы решения тригонометрических уравнений.
Проверим ваши умения по решению простейших тригонометрических уравнений.
Установите соответствие:

Мы с вами вспомнили простейшие уравнения. А теперь назовите методы решения тригонометрических уравнений.
- Сравните и сопоставьте эти уравнения. Разбейте их на группы. Какими способами можно решить каждую получившуюся группу уравнений?

10. 1 – 3sinx*cosx – 5cos2x = 0
11. 2sin2 2x + 5 sin2x – 3 = 0
12. tg3 x+ tg2 x-3 tg x-3=0(егэ 2016 г.)
13 2sin2x+ cosx-1=0.14. 2sin2(x)+3cos(x)=0
15 8sin2+23cosx + 1=0
Учащиеся
- Решение простейших уравнений: примеры 1,2
- Метод разложения на множители: примеры 3,9,12
- Метод замены переменных: примеры 2,6,11
- Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул: примеры 4,5,7,8,10,13
Учитель Как вы думаете, какой из этих типов является ключевым? Почему? ( 1, решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших.)
Все тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям, которые мы научились решать с помощью общих формул простейших тригонометрических уравнений, их частных случаев, а также с помощью тригонометрических формул. Обратите внимание на таблицы и справочный материал:
Учитель:
- А сейчас вам предстоит работа в группах. Вы должны представить решение тригонометрического уравнения указанным методом в карточке и составить алгоритм решения
( делятся на группы разной подготовленности. Обсуждают коллективно решение примеров.) Учитель:
Проверка задания: один человек группы произносит алгоритм решения тригонометрического уравнения.
1 группа. Решение методом замены.
2 группа. Метод разложения на множители.
3 группа. Метод замены переменных.
Пример
Решите уравнение 2sin2x+ cosx-1=0.Решение. Запишем уравнение в виде 2(1- cos2x)+ cosx-1=0, откуда 2cos2x- cosx-1=0.Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно cosx. Обозначим t= cosx, получим уравнение
2t2-t-1=0, корни которого t1=1 и t2= - 12.Получаем два случая:
1) cosx=1, откуда x=2πk, k ∈Z;2) cosx= -0,5, откуда x= ±2π3+2πn, n∈Z.Ответ:2πk, ±2π3+2πn, где n, k ∈Z.Учитель.
Методом замены можно решать «однородные тригонометрические» уравнения. Тригонометрическое уравнение называют однородным, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени. Например:
Решите уравнение 5sin2x-8sinx cosx- cos2x= -2.Решение. Перепишем уравнение в виде
7sin2x-8sinxcosx+ cos2x=0.Получили уравнение, однородное относительно sinx и cosx.Рассмотрим два случая:
1) cosx=0, тогда 7sin2x-8sinx∙0+ 02=0, откуда sinx=0, что невозможно, поскольку sin2x+ cos2x=1; в этом случае корней нет.
2) cosx ≠0, тогда разделим обе части уравнения на cos2x:7tg2x-8 tg x+1=0.Пусть y = tgx. Получим: 7y2-8y+1=0, откуда y1=1, y2 = 17.
Осталось решить уравнения tgx = 1 и tgx = 17.
Ответ:π4+ πm, arctg17+ πm, где m ∈Z.Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул.
Решить уравнение: №14
2sin2(x)+3cos(x)=0Решение:Воспользуемся тождеством:
sin2(x)+cos2(x)=1Наше уравнение примет вид:
2-2cos2(x)+3cos(x)=02cos2(x)- 3 cos(x) -2 = 0 введем замену t=cos(x): 2t2 -3t - 2 = 0Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πkОтвет: x= ±2π/3 + 2πkУчитель:
- При решении тригонометрических уравнений можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку на основе
Учитель.
В заданиях ЕГЭ встречаются тригонометрические уравнения, решаемые способом отбора корней. Рассмотрим решение такого уравнения. Решаем № 12. Это задание из Егэ 16 года. 5. Подведение итогов. Рефлексия.
Учитель: Итак, подведем итоги урока.
Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов.Первый - преобразование уравнения для получения его простейшего вида. 2
Второй - решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существуют основные методы решения уравнений такого вида:
Какие методы решения тригонометрических уравнений мы сегодня повторили?
Ответы учащихся:
Разложение на множители.
Метод замены переменной:
- сведение к квадратному уравнению;
- сведение к однородному уравнению;
3.Отбор корней
Учитель
Оцените свою работу по вашим оценочным листам
(дает дополнительные баллы отличившимся ученикам).
Рефлексия.
Учитель
Продолжите фразу:
Вызвало затруднения задание…
Самым интересным при работе для меня было…
6. Домашнее задание, инструкция о его выполнении (слайд)
Решить уравнение:
2 sin2 x + cos 4 x = 0
sin4 x + cos4 x = cos22 x + ¼
sin 2 x = cos x - sin x
√3 cos x + sin x = 2
При решении первого уравнения воспользуйтесь формулой понижения степени.
Творческое задание
Sin x + Cos x = 1
Составить и решить уравнение по одной из предложенных схем:

где и содержат одну из простейших тригонометрических функций.
Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.
Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении задач, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

Приложенные файлы


Добавить комментарий