«План урока типа «Кейс-стади» и содержание кейса по теме «Взаимодействие алгебры-логики и теории множеств в решении определенного типа задач» (18 задание ЕГЭ)»


Урок «Взаимодействие алгебры логики и теории множеств
в решении определенного типа задач»
Цели урока:
образовательная – организация деятельности учащихся по овладению знаниями: элементы теории множеств, связь между теорией множеств и алгеброй логики;
развивающие:
регулятивные: создание условий для саморегуляции; постановки учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и того что неизвестно; прогнозирования результата; определения последовательности промежуточных задач; предвосхищения результата; коррекцияиплана действий; оценки качества знаний; оценки собственной деятельности.
познавательные: создание условий для анализа, синтеза, установки причинно-следственных связей; самостоятельного выделение и формулирование поставленной цели, формулирования проблемы; поиска и выделения необходимой информации; структурирования знаний; смыслового чтение; построения логической цепи рассуждений.
коммуникативные: создание условий для умения слышать других учащихся; планирования учебного сотрудничества с учителем.
воспитательные: создание условий для воспитания ответственности перед выполнением поставленной задачи, умения концентрировать внимание на определенном виде деятельности;
Тип урока: Урок совершенствования новых знаний и способов действия.
Возраст учащихся: 10 класс.
Оборудование урока:
кейс с материалами урока и задания для самостоятельной работы.
плакат с законами алгебры логики.
Учащиеся должны знать:
основные понятия и определения алгебры логики;
основные законы алгебры логики;
логические операции, свойства логических операций;
Учащиеся должны уметь:
упрощать логические выражения;
строить таблицы истинности;
строить логические схемы по логическому выражению и наоборот;
записывать составные высказывания в виде логических функций.
Структура урока:
Организационный момент.
Актуализация, мотивация, проблематизация.
Целеполагание.
Освоение новых знаний и способов действий
Совершенствование новых знаний и способов действия
Рефлексия
Домашнее задание.
Ход урока
1. Организационная часть.
приветствие;
проверка отсутствующих;
2. Актуализация, проблематизация.
Рассмотрим задачу:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
как с помощью алгебры-логики решить такую задачу???
3. Целеполагание: выработать метод или подход к решению задач с подобными формулировками.
4. Освоение новых знаний и способов действий.
Содержание Кейса
Что нужно знать:
условные обозначения логических операций¬ A, не A (отрицание, инверсия)
A B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)
A B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
A → B импликация (следование)
таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» , «эквивалентность», «исключающее или»
операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A → B = ¬ A B или в других обозначениях A → B =
если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»иногда полезны формулы де Моргана:
¬ (A B) = ¬ A ¬ B
¬ (A B) = ¬ A ¬ B
для упрощения выражений можно использовать формулы
(т.к. )(т.к. )
А теперь введем понятие множества:
Множество - это совокупность объектов, отобранных по определенному признаку
Связь логики и теории множеств:
множества равны, если все элементы совпадают;
множество Х>Y, если во множестве Х присутствуют все элементы множества Y и какие-то еще;
множество X<Y, если множество Х состоит из каких-нибудь элементов множества Y.
пересечение множеств соответствует умножению логических величин, а объединение – логическому сложению;
пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, оно играет роль нуля в теории множеств;
универсальное множество – это множество, содержащее все возможные элементы заданного типа (например, все целые числа), оно играет роль логической единицы: для любого множества целых чисел X справедливы равенства X + I = I и X · I = X (для простоты мы используем знаки сложения и умножения вместо знаков пересечения и объединения множеств)
дополнение множества X – это разность между универсальным множеством I и множеством X (например, для целых чисел – все целые числа, не входящие в X)
пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A + X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение , то есть (или «по-простому» можно записать ), то есть
пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство , в этом случае множество должно включать дополнение , то есть ; отсюда , то есть
Вернемся вновь к условию нашей задачи, это один из типов задач на математическую логику.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Эта задача не столько сложная, сколько закрученная. Во-первых, с трудом себе можно представить реальную задачу, которая сводится к такой формуле, во-вторых, достаточно простая суть скрывается за обилием математических выражений.
Многие задачи на математическую логику сводятся к двум базовым задачам, в которых нужно найти дополнение какого-то множества.
Задача 1:
Каким должно быть множество А, для того, чтобы множество А+В=1 (совпадало с универсальным множеством)?
Очевидно, что можно выбрать в качестве решения дополнение множества В до универсального, т.е. ¬В. Тогда, множество Аmin = ¬В – это минимальное множество, которое является решением. Кроме того, решением будет и любое множество, включающее ¬В, то есть любое А, такое, что А ≥ ¬В.
Задача 2:
Каким должно быть множество А для того, чтобы множество ¬А+В=1 (совпадало с универсальным множеством)?
В этом случае получаем ¬А ≥ ¬В, откуда следует, что А ≤ В. Тогда максимальное множество А совпадает с В (Аmax = В).
Таким образом конкретную задачу на множества и математическую логику нужно попытаться привести к форме Задачи1 или Задачи2. Разберем задачи с различной формулировкой на эту тему.
Снова вернемся к условию нашей задачи:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Рассмотрим алгоритм ее решения:
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x А, P: x P, Q: x Q
перейдем к более простым обозначениям

раскрываем обе импликации по формуле :

теперь используем закон де Моргана :

Мы свели нашу задачу к Задаче1, если =В, то А+В=1 А ≥ ¬В А ≥¬() А ≥QP. Изобразим отрезки на числовой прямой:
40
x
77
60
37

Наименьшая возможная длина А =QP, т.е. пересечение отрезков Q и P. Желтым цветом помечена эта область А=60-40=20.
Ответ:20.
Рассмотрим еще один пример:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,30] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула
( x A) → ((x P) (x Q) )тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) 10 2) 20 3) 30 4) 45
Решение:
для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами
A: x А, P: x P, Q: x Q
перейдем к более простым обозначениям
A → (P + Q)
раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ ():
Мы свели нашу задачу к Задаче2, если = В, то ¬А+В=1 А ≤ В. Изобразим отрезки на числовой прямой:
10
25
x
55
30

Желтым цветом обозначено объединение множеств P и Q, т.к. множество А меньше или равно их объединению максимальное значение это А= – это отрезок [10,55], имеющий длину 45
Ответ: 4.
Задачи для самостоятельного решения:
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [12, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x А) → (x P) ) \/ (x Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 11]2) [2, 21]3) [10, 17]4)[15, 20]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x А) → (x P) ) \/ (x Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 11]2) [6, 10]3) [8, 16]4)[17, 23]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x А) → (x P) ) \/ (x Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15]2) [12, 30]3) [20, 25]4)[26, 28]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 30]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x А) → (x P) ) \/ (x Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [0, 15]2) [3, 20]3) [10, 25]4)[25, 40]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 25] и Q = [0, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x А) → (x P) ) \/ (x Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15]2) [20, 35]3) [5, 20]4)[12, 40]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [12, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x А) → (x P) ) \/ (x Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15]2) [20, 35]3) [5, 20]4)[12, 40]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x P) → (x Q) ) \/ (x A)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15]2) [20, 35]3) [15, 22]4)[12, 18]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x P) → (x Q) ) \/ (x A)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [8, 17]2) [10, 12]3) [15, 22]4)[12, 18]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x P) → (x Q) ) \/ ( (x A) → (x R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 20]2) [15, 25]3) [20, 30]4)[120, 130]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,20], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x P) → (x Q) ) \/ ( (x A) → (x R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [-15,-5]2) [2, 7]3) [10,17]4)[15, 20]
5. Рефлексия.
Вопросы к рефлексии:
1)Какие главные задачи решались на уроке?
2) Какими способами практической деятельности вы овладели?
3) Добились ли мы поставленной цели?
6. Домашнее задание.
Решить примеры:
На числовой прямой даны три отрезка: P = [15,30], Q = [0, 10] и R=[25,35]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x P) → (x Q) ) \/ ( (x A) → (x R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10,17]2) [15, 25]3) [20,30]4)[35, 40]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [20,50], Q = [15, 20] и R=[40,80]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x P) → (x Q) ) \/ ( (x A) → (x R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10,25]2) [20, 30]3) [40,50]4)[35, 45]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,50], Q = [15, 20] и R=[30,80]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x P) → (x Q) ) \/ ( (x A) → (x R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10,25]2) [25, 50]3) [40,60]4)[50, 80]
На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,40], Q = [20, 45] и R=[10,50]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x P) → (x Q) ) \/ ( (x A) → (x R) )
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5,20]2) [10, 15]3) [15,20]4)[35,50]
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x P) /\ (x Q) /\ (x A)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 7]2) [8, 15]3) [15, 20]4)[7, 20]

Приложенные файлы


Добавить комментарий