«Карточка-инструкция по теме «Производная. Механический и геометрический смысл производной»

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Рассмотрим функцию и ее график (Рис. 1). Для наглядности будем использовать физическую интерпретацию производной.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 1.
Аргументом пусть будет время [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Зависимой переменной пусть будет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – расстояние до дома. График функции показывает путь до дома в каждый момент времени.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – момент времени. В этот момент времени мы находимся на расстоянии [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] от дома.
Через некоторое время [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] мы будем находиться на расстоянии [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] от дома. Мы имеем приращение аргумента – [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и приращение функции – [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Получим треугольник, у которого катеты равны приращению аргумента, приращению функции, а гипотенуза АВ – секущая, где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – тангенс угла наклона этой секущей.
Нас интересует отношение приращения функции к приращению аргумента.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Во-первых, мы получим среднюю скорость. Таков физический
· смысл.
А геометрический смысл состоит в том, что мы получим тангенс угла наклона секущей.
За конечное время [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] может произойти множество событий, и все их надо уловить, отразить. Для этого устремим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] к 0. То есть мы будем рассматривать ближайшие точки к точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Но если приращение аргумента стремится к 0, то приращение функции также стремится к 0. Тогда секущая АВ будет стремиться занять положение касательной к графику в точке А. Рассмотрим, что произойдет с отношением:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Более строгое определение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Такой предел называется производной функции и обозначается [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Каков физический и геометрический смысл производной?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– это мгновенная скорость в момент [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Таков физический смысл производной.
Геометрический смысл: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– тангенс угла наклона касательной в точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Мы вспомнили определение производной, ее физический и геометрический смысл.
Заголовок 215

Приложенные файлы


Добавить комментарий