Лабораторная работа. Тема: Представление чисел в компьютере. Единицы измерения информации. Алфавитный подход к определению количества информации. Основы алгебры логики.

Лабораторная работа

Тема: Представление чисел в компьютере. Единицы измерения информации. Алфавитный подход к определению количества информации. Основы алгебры логики.


Представление чисел в компьютере
В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:
естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой);
нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой)

Представление чисел в естественной форме
Целые числа хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой: в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Для хранения целого числа без знака отводится 1 ячейка памяти – 1 байт, например, число А2=111100002 будет хранится в ячейке памяти следующим образом:
1
1
1
1
0
0
0
0



Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного преставления оно будет равно 2n -1.
Целые числа без знака в памяти компьютера занимают:
от 0 до 255 - 1 байт
от 256 до 65535 – 2 байта
Для хранения целого числа со знаком отводится 2 ячейки памяти – 2 байта, причем старший(левый) разряд отводится под знак числа (если оно положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное - 1).
Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак - величина» называется прямым кодом числа. Например, число 200910 =111110110012 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:

0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1


Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно: 2n-1 -1.
Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.
Дополнительный код представляет собой дополнение модуля отрицательного числа до нуля.
Для получения дополнительного кода отрицательного числа необходимо:
Модуль числа записать в прямом двоичном коде
Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).
К полученному обратному коду прибавить единицу

Примеры.
Число: -1
Код модуля числа: 0000 0001
Обратный код числа: 1111 1110
Дополнительный код числа: 1111 1110 + 1 =1111 1111

Число: -127
Код модуля числа: 0111 1111
Обратный код числа: 1000 0000
Дополнительный код числа: 1000 0000 + 1 = 1000 0001

Число: -2009
Код модуля числа: 0000011111011001
Обратный код числа: 1111100000100110
Дополнительный код числа: 1111100000100110+1=1111100000100111

Использование дополнительного кода позволяет рассматривать вычитание чисел в двоичной системе счисления как сложение положительного числа с отрицательным числом.
Пример: Вычесть 100111012-10112
Решение: Запишем числа в 16-разрядном виде 00000000100111012-00000000000010112
Получим дополнительный код вычитаемого 1011:
0000000000001011 – прямой код
1111111111110100 – обратный код
1111111111110101 – дополнительный код, полученный прибавлением к обратному коду 1
Найдем разность, сложив полученный дополнительный код числа с уменьшаемым и отбросив старший разряд полученного числа:
0000000010011101
1111111111110101

10000000010010010


Ответ:100100102
Вещественные числа хранятся в памяти в формате с плавающей запятой (положение запятой в записи числа может изменяться).
Число в форме с плавающей запятой может быть представлено в виде:
N = m qn
где m - мантисса числа (|N|<1)
q - основание системы счисления
n - порядок числа (целое число)
Например, 53,21 = 0,5321 102
Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 или 8 байтов. При записи числа выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Упражнения 1.
Заполнить таблицу, записав отрицательные десятичные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах в 16-разрядном представлении:
десятичные числа
прямой код
обратный код
дополнительный код

-50




-500




-123





Упражнения 2.
Вычесть целые двоичные числа рассматривая вычитание как сложение положительного числа с отрицательным.
1001102-10102;
100111001(2)-110110(2);
1111001110(2)-111011010(2);

Единицы измерения количества информации. Алфавитный подход к определению количества информации
Подход к информации как мере уменьшения неопределенности знаний позволяет количественно измерять информацию, что чрезвычайно важно для информатики. Рассмотрим вопрос об определении количества информации более подробно на конкретных примерах.
Пусть у нас имеется монета, которую мы бросаем на ровную поверхность. С равной вероятностью произойдет одно из двух возможных событий – монета окажется в одном из двух положений: «орёл» или «решка».
Можно говорить, что события равновероятны, если при возрастающем числе опытов количества выпадений «орла» и «решки» постепенно сближаются. Например если мы бросаем монету 10 раз, то «орёл» может выпасть 7 раз, а «решка» - 3 раза, если бросим монету 100 раз, то «орёл» может выпасть 60 раз, а «решка» - 40 раз, если бросим монету 1000 раз, то «орёл» может выпасть 520 раз, а «решка» - 480 и так далее. В итоге при очень большой серии опытов количества выпадений «орла» и «решки» практически сравняются.
Перед броском существует неопределенность наших знаний( возможны два события), и, как упадет монета, предсказать невозможно. После броска наступает полная определенность, так как мы получаем зрительное сообщение о том, что монета находится в определенном положении. Это сообщение приводит к уменьшению неопределенности наших знаний в два раза.
В окружающей действительности достаточно часто встречаются ситуации, когда может произойти некоторое количество равновероятных событий.
Чем больше количество возможных событий, тем больше начальная неопределенность и соответственно тем большее количество информации будет содержать сообщение о результатах опыта.
Для количественного выражения любой величины необходимо определить единицу измерения.
За единицу количества информации принимается такое количество информации, которое содержит сообщение, уменьшающее неопределенность в два раза. Такая единица названа «бит».
Байт – последовательность из восьми бит.
Соответствие единиц измерения объемов данных
Название
Двоичное слово
Объем в байтах

Килобайт
210 байт
1024 байт

Мегабайт
220 байт
1024 Кбайт = 1 048 576 байт

Гигабайт
230 байт
1024 Мбайт = 1 073 741 824 байт

Терабайт
240 байт
1024 Гбайт = 1 099 511 627 776 байт

Петабайт
250 байт
1 125 899 906 842 624 байт

Экзабайт
260 байт
1 152 921 504 606 846 976 байт

Зеттабайт
270 байт
1 180 591 620 717 411 303 424 байт

Йоттабайт
280 байт
1 208 92 81 614 629 174 706 176 байт

Существует формула, которая связывает между собой количество возможных событий N и количество информации I:
N=2I
По этой формуле можно легко определить количество возможных событий, если известно количество информации.
Пример.
Если получено 4 бита информации, то количество возможных событий составит: N=24=16.
И, наоборот, для определения количества информации, если известно количество событий, достаточно решить показательное уравнение относительноI.
Пример.
В игре «Крестики - нолики» на поле 8х8 перед первым ходом существует 64 возможных события (64 различных варианта расположения «крестика»), тогда уравнение принимает ви:
64=2I.
Так как 64=26, то получим: 26=2I.
Таким образом, I=6 ,то есть количество информации , полученное вторым игроком после первого хода первого игрока, составляет 6 битов.

При определении количества информации на основе уменьшения неопределенности наших знаний мы рассматриваем информацию с точки зрения содержания, ее понятности и новизны для человека.
Однако при хранении и передаче информации с помощью технических устройств целесообразно отвлечься от содержания информации и рассматривать ее как последовательность знаков(букв, цифр, кодов цветов точек изображения и т.д.)
Количество информации, которое содержит сообщение, закодированное с помощью знаковой системы, равно количеству информации, которое несет один знак, умноженному на количество знаков.



Пример.
В кодировке Unicode на каждый символ отводится два байта. Определить информационный объем слова из двадцати четырех символов в этой кодировке.
Решение:
Сначала узнаем, сколько байт содержит слово:
24 символа х 2 байта = 48 байт
Переведем байты в биты: 48 байт х 8 = 384 бита.


Упражнения 3.
Азбука Морзе позволяет кодировать символы для радиосвязи, задавая комбинацию точек и тире. Сколько различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т. д.) можно закодировать, используя код Морзе длиной не менее пяти и не более шести сигналов (точек и тире)?
Сколько мегабайт информации содержит сообщение объемом 223 бит?
Считая, что каждый символ кодируется 16-ю битами, оцените информационный объем следующей пушкинской фразы в кодировке Unicode: Привычка свыше нам дана: замена счастию она.
Световое табло состоит из лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях ("включено" или "выключено"). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 50 различных сигналов?
Метеорологическая станция ведет наблюдение за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100%, которое записывается при помощи минимально возможного количества бит. Станция сделала 80 измерений. Определите информационный объем результатов наблюдений.

Алгебра логики или булева алгебра
Алгебра логики это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними
Логика – это наука о формах и способах мышления, рассуждений и доказательств.
Мышление осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.
Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные и отличительные признаки объекта.
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких простых высказываний (суждений) может быть получено новое составное высказывание (суждение).
Высказывание – это формулировка в форме утверждения или отрицания об объекте и его свойствах. Высказывание может быть истинным или ложным.
Примеры высказываний:
Истинное высказывание: «Буква «А» - гласная».
Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».
Примеры умозаключений:
Дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить путем умозаключений из предыдущего другое высказывание: «Этот треугольник равносторонний».
Решение:
Пусть основанием треугольника является сторона С
Тогда А=В
Так как в треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая сторона, например, А.
Тогда В=С
Следовательно, А=В=С. Треугольник равносторонний.

Логические выражения
Логическая переменная – простое высказывание, которое можно обозначить буквой, и имеющее значение «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ».
А = «Миля больше километра» = ИСТИНА
В = «Фут больше мили» = ЛОЖЬ
Логическая функция – составное высказывание, состоящее из логических переменных, связанных логическими операциями.
F(A,B) = A и В
Логические операции – логические действия над логическими переменными
Логические выражения:
«Неверно, что миля больше километра и фут больше мили»
«Верно, что миля больше километра или фут больше мили»
«Если число простое, то оно нечетное»
Сложные высказывания могут быть соединительные, разделительные, условные, эквивалентные, с внешним отрицанием
Логические операции
НЕ,,¬
Инверсия, логическое отрицание

И ,^, and, &, *, ·
Конъюнкция, логическое умножение

ИЛИ, V, or, +
Дизъюнкция, логическое сложение


Импликация, логическое следование

=,
Эквивалентность, логическое равенство


ИСТИНА – 1
ЛОЖЬ - 0

Таблица истинности определяет значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний
Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую войдут логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Таблица истинности функции логического отрицания
Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.


A
F=
·

0
1

1
0

В переводе на естественный язык «Не А» «Неверно, что А»

Таблица истинности функции логического умножения
Результат логического умножения является истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
A
B
F=A*B

0
0
0

0
1
0

1
0
0

1
1
1

В переводе на естественный язык «и А, и В» «как А, так и В» «А вместе с В»
«А несмотря на В» «А, в то время как В»

Таблица истинности функции логического сложения
Результат логического сложения является истинным тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

A
B
F=A+B

0
0
0

0
1
1

1
0
1

1
1
1

В переводе на естественный язык «А или В»






Таблица истинности функции логического следования
Результат логического следования является ложным тогда и только тогда, когда из истины следует ложь
A
B
F=AB

0
0
1

0
1
1

1
0
0

1
1
1

В переводе на естественный язык «если А, то В»
«В, если А» «Когда А, тогда В» «А достаточно для В» «А только тогда, когда В»


Таблица истинности функции логического равенства
Результат логического равенства является истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.

A
B
F=AB

0
0
1

0
1
0

1
0
0

1
1
1


В переводе на естественный язык «А эквивалентно В»
«А только тогда и только тогда, когда В»



Упражнения по записи высказываний в виде логических выражений
«Летом Петя поедет в деревню и, , то он будет рыбачить.»
А= «Летом Петя поедет в деревню»
В= «если будет хорошая погода»
С= «он будет рыбачить»
F=A*(BC)
Примечание: При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций: 1. действия в скобках 2. инверсия 3. конъюнкция 4. дизъюнкция 5. импликация 6. эквивалентность
2. «Точка Х принадлежит интервалу [A;B]»
F= (X>=A) * (X<=B)
3. «Точка Х не принадлежит интервалу [A;B]»
F= ¬((X>=A) * (X<=B)) или F= (XB)

Упражнения 4.
1. По мишеням произведено три выстрела. Рассмотрено высказывание: Pk = «Мишень поражена к-тым выстрелом», где к=1, 2, 3. Что означают следующие высказывания: а) P1 + P2 + P3 б) P1 * P2 * P3 в)P1 * P2 * P3
2. Построить таблицу истинности для выражения
F=(A+B)*(¬A+ ¬B)










13PAGE 15


13PAGE 14115



+



Заголовок 315

Приложенные файлы


Добавить комментарий