Метод проверки правильности умножения двух чисел


«Проверка» умножения
Для проверки правильности умножения двух чисел можно использовать следующий метод. Найдем суммы цифр сомножителей, затем разделим полученные суммы на 9 с остатком. Найденные остатки перемножим, и получившееся число опять разделим на 9. Остаток после этого деления запомним. Затем найдем сумму цифр вычисленного произведения и разделим ее с остатком на 9. Если получившийся при этом остаток не равен остатку, запомненному ранее, то произведение вычислено неверно.
2
7
3
6
Пример. Допустим, что после умножения числа 7373 на 4521 получилось произведение 33334333. Сумма цифр первого сомножителя 7 + 3 + 7 + 3 = 20, а второго 4 + 5 + 2 + 1 = 12. Эти числа при делении на 9 дают остатки соответственно 2 и 3. Произведение остатков 2 . 3 = 6, остаток от деления 6 на 9 также равен 6. Вычислим сумму цифр найденного произведения 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 + 3 = 25. Разделив это число на 9, получим в остатке 7. Так как 6 ≠ 7, то произведение вычислено с ошибкой.
Авторы старинных рукописей предлагают для удобства располагать результаты вычислений в вершинах креста. У концов вертикальной черты ставятся остатки от деления на 9 сумм цифр сомножителей. У левого конца горизонтальной черты ставится остаток от деления на 9 произведения чисел, стоящих у концов вертикальной черты, а у правого конца горизонтальной черты – остаток от деления на 9 суммы цифр вычисленного произведения. Если у горизонтальной черты стоят разные числа, то произведение найдено с ошибкой. На рисунке показано, как будут стоять числа в разобранном выше примере.
Как же обосновать этот способ проверки умножения?
pqПусть P и Q – перемножаемые числа, p и q – остатки от их деления на 9. Разность между числом и суммой его цифр делится на 9, поэтому, если разделить на 9 суммы цифр чисел P и Q, в остатках получатся числа p и q. Эти числа по условию должны быть записаны у концов вертикальной черты. Так как разности Р – р и Q – q делятся на 9, то из равенства PQ – pq = (P – p)Q + p(Q – q) следует, что числа PQ и pq имеют одинаковые остатки при делении на девять. Значит, у концов горизонтальной черты должны стоять одинаковые числа. Если же это условие не выполнено, то произведение PQ вычислено неправильно.
Конечно, совпадение чисел у концов горизонтальной черты не означает, что результат найден верно.


Приложенные файлы


Добавить комментарий