«Карточки-алгоритмы по теме «Производная»


КАРТОЧКА № 1.
Уравнение касательной к графику функции у=f(x) точке (х0 ; у0)
Уравнение касательной к графику функции у=f(x) точке (х0 ; у0),
имеет вид ук= f(x0) + f/(x)(х- х0).
Задание. Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой x0 =1, если f(x)=х3+2х2-5.
№ План составления уравнения касательной к графику функции у=f(x) в заданной точке Применение плана
1 Вычисляем значение функции в точке х= х0x0 =1, у0= f(1),
у0=1+2-5=-2
2 Находим производную функции f/(x) f/(x)=3х2+4х
3 Вычисляем значение производной функции в точке x0, т.е. f/(x0) f/(x0)= f/(1)=3+4=7
4 Подставляем значения в уравнение касательной ук= f(x0) + f/(x)(х- х0). ук= f(x0) + f/(x)(х- х0)
ук=-2+7(х- 1),
ук= 7х-9
5 Записываем ответ. Ответ: ук= 7х-9
Примеры. Применяя указанный выше план, напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) точке х0, если
f(x)= 1-х2 , х0=1;
f(x)= х3-2х, х0= -1;
f(x)=sin3x, х0=П/3.
КАРТОЧКА № 2.
Наименьшее и наибольшее значения функции.
Задание. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у= х4-2х2-3 на промежутке [0;2].
№ План нахождения унаим и унаиб на [0;2]. Применение плана
1 Находим производную функции у/= 4х3-4х=4х(х2-1)
2 Находим стационарные точки функции у/=0, 4х (х2-1)=0,
х=0, х=1, х=-1 -стационарные точки
3 Выбираем стационарные точки, лежащие внутри [а;в]. 0 [0;2], 1 [0;2].
4 Находим значения функции в стационарных точках (внутри данного отрезка) и на концах отрезка у(1) =1-2-3=-4,
у(0)=-3 ,
у(2)=16-8-3=5 .
5 Из найденных значений функции выбираем наименьшее и наибольшее унаим = у(1) =-4) унаиб=у(2)=5
6 Записываем ответ Ответ: унаим =-4) унаиб=5 .
Примеры. Применяя указанный выше план, найдите наименьшее и наибольшее значения функции у=f(x) на промежутке [а;в], если:
f(x)=3х2-х3, [-1;3];
f(x)=- 3х2+х3+3х+2, [-2;2];
f(x)=tgx+ctg2x, [П/6; П/3];
f(x)= 2х2-lnx, [1;е]
f(x)=- 3х2+х3+3х+2, (-2;2).
КАРТОЧКА № 3. Исследование функции на монотонность и экстремумы
Задание. Исследуйте функцию  f(x) = 3х4-4х3+1 на монотонность и экстремумы.
№ План Применение плана
Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна. Область определения: x R
Функция непрерывна в каждой точке своей области определения
Найти производную f/(х) f/(х)=12х3-12х2=12х2(х-1)
Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых f/(х)=0 или не существует f/(х) существует на всей области определения.
f/(х)=0 при х=0, х=1
Отметить критические точки на области определения; найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или не является точка экстремума Записываем ответ исследования (промежутки монотонности и экстремумы) Ответ: f(x) возрастает при хи х
f(x) убывает при х; хmax=0; xmin=1;
уmах= f(0)=1; уmin = f(1)=0.
КАРТОЧКА № 4. Исследование функции с помощью производной и построение ее графика
Задание. Исследуйте с помощью производной и постройте график функции .
№ План Применение плана
Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна. Область определения:

Исследовать на четность (нечетность), периодичность Функция ни четная, ни нечетная и непериодическая.
Точки пересечения с осями координат (если можно) Оу: х=0, у=0.
Ох: у=0, ; =0; х=о или х=5.
Найти производную f/(х)
Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых f/(х)=0 или не существует f/(х)=0, =0, при х=-10, х=2
Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума(и значения функции в этих точках)
Нахождение асимптот (вертикальные, горизонтальные) х=4 –вертикальная асимптота.
Прямая у=х-9 – наклонная асимптота
Если необходимо, найти координаты дополнительных точек, уточняющих поведение графика функции Х -6 -2
у -33 7
На основании проведенного исследования построить эскиз графика функции у=f(x)

Приложенные файлы


Добавить комментарий