«Научно-исследовательская работа -Топология «на пальцах»


Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Гимназия № 3 г. Южно – Сахалинска
Топология «на пальцах»
Исследовательская работа
по математике
Сурмин Арсений, 6А класс
Комлева Татьяна Николаевна,
учитель математики
г. Южно-Сахалинск
2016
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………...… 3
Что такое геометрия………………………………………..…………… 4
Основные понятия………………………………………….…………… 6
Неориентируемые поверхности………………………………...…….. 10
Теория графов…………………………………………………………... 12
Заключение…………………………………………………………….... 15
Литература………………………………………………………………. 17

Введение

Недавно при разговоре с мамой я услышал странную фразу: гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе по ядру гомоморфизма. Оказалось, что это теорема из такой необычной науки как топология. Мне захотелось узнать больше об этой специфической науке. В Интернете я узнал многое, и мне захотелось посвятить все слои населения в таинства топологии. И проект я посвящу этой замечательной науке.
Цель: донести до людей информацию по топологии и заинтересовать их этой наукой.
Задачи: 1. Изучить основные понятия топологии.
2. Продемонстрировать односторонние поверхности.
3.Показать то, что топология интересная и даже актуальная наука.
Гипотезы: 1. Я предполагаю, что топология-это часть геометрии.
2. Я думаю, что топология, как наука, сформировалась недавно.
Что такое геометрия
Слово «геометрия» в переводе с древнеегипетского означает «землемерие».
Первоначальные геометрические понятия возникли у людей в глубочайшей древности, когда люди оценивали расстояния, делали прямые копья и стрелы, сравнивали их по длине и т.п. Потом с развитием земледелия были выработаны в практике правила и способы измерения земельных участков, правила нахождения простейших площадей и объемов, правила, необходимые для строительства. Например, в Древнем Египте для разметки земельных участков использовали колышки с натянутой между ними веревкой и треугольники, сделанные из палочек, чтобы откладывать равные углы.
В те далекие времена геометрия была достаточно развита: древние люди могли примерно находить площадь круга, объем шара, решать довольно сложные геометрические задачи. На практике была выведена, но еще не доказана теорема Пифагора. Геометрические знания активно использовались при строительстве зданий и храмов.
Как наука геометрия появилась в Греции в период с VII по V вв. до н.э. Первыми философами-геометрами принято считать Фалеса и Пифагора.
Основные достижения греческой геометрии до 300 г. до н.э. были изложены Евклидом в его знаменитом труде «Начала». Там содержатся только основы геометрии того времени. «Начала» состоят из 13 книг, или глав. В каждой из них содержатся определения. Вот некоторые из них:
Точка есть то, что не имеет частей.
Линия – длина без ширины.
Концы линии – точки.
Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
Дальше приведены постулаты и аксиомы – положения, принимаемые без доказательств.
Труд Евклида содержит сведения в области планиметрии (геометрия на плоскости), стереометрии (геометрия в пространстве), теории чисел.
«Начала» служили образцом научного изложения на протяжении двух тысяч лет. Со времен Евклида все учили геометрию по его «Началам».
В XVII в.н.э. в Индии, в Средней Азии, в арабских странах и Европе геометрия получила значительное развитие, были созданы новые теории, новыеметоды.
Позднее, в XIX веке, некоторые ученые в разных странах пришли к выводу о существовании другой, неевклидовой геометрии, где не действовали привычные утверждения Евклида. Появилась так называемая «геометрия Лобачевского», геометрия на искривленных поверхностях. Так, например, если нарисовать треугольник на вогнутой поверхности, то сумма его углов не будет равна 180 градусам.

На сфере «треугольник» может иметь три прямых угла.
Впоследствии были предложены и другие модели геометрии Лобачевского. Тем самым было показано, что геометрия Евклида не является единственно возможной. Это оказало большое прогрессивное воздействие на все дальнейшее развитие геометрии и математики в целом.
А в XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики, но и связана с физикой. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая в работах X. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна, Г. Минковского, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского. Например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.
С середины XIX века стала выделяться область геометрии, исследующая свойство фигур при непрерывных преобразованиях – топология.
Топология – довольно сложная наука. Она требует знания геометрии, алгебры и других разделов математики, а также умения рассуждать. Но я постараюсь рассказать о топологии простым языком.
Основные понятия

Наверное, Вы удивитесь: причем тут бублики? На самом деле, одно из основных понятий топологии – тор, или бублик.
Эта фигура получена путём вращения окружности вокруг оси, которая не пересекает окружность.

А теперь подумайте, что может связывать тор и обычную кружку?

Топология рассматривает превращения фигур. Для этого используется следующее определение.
Гомеоморфизм –это преобразование фигур, обладающее определенными свойствами: взаимно-однозначностью и непрерывностью. Будем считать, что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными.
Например, окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний). Это легко представить себе с помощью замкнутой веревочки – из нее можно выложить окружность, и превратить её в квадрат, и обратно.
В научно-популярной литературе топологию часто называют "геометрией на резиновом листе", поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию.
Теперь мы можем понять, что поверхность куба гомеоморфна сфере. Если мы деформируем куб, то можно получить шар.

Вернемся к нашей кружке. Со стороны топологии кружка и тор- это одно и то же. Кружка гомеоморфна тору. То есть можно "надуть" кружку и получить бублик, а потом сдуть его. Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в тор. Заметим, что при таких деформациях одно остается неизменным – наличие «дырки». В данном случае «дырка» одна.
Но из тора сделать шар невозможно, так как будет мешать отверстие в центре.
Из тора можно получить так называемую сферу с ручкой. Прекрасным примером сферы с ручкой является спортивная гиря.

Можно представить себе сферу с множеством ручек. С такими понятиями работает топология.


Наличие или отсутствие «дыр» является топологическим свойством, оно сохраняется при топологическом преобразовании, как в нашем примере с кружкой. Область с дырой не может перейти при гомеоморфизме в область без дыр. В топологии используется такое понятие, как род. Говоря совсем простым языком, можно определить род как количество «дырок». Таким образом, род сферы равен нулю, род тора (поверхности "бублика") - единице, род кренделя (тора с двумя дырками) - двум, род поверхности с p дырами равен p. Отсюда следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору.
HYPERLINK "https://yandex.ru/images/search?text=%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0%20%D1%81%20%D1%80%D1%83%D1%87%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B8&img_url=http%3A%2F%2Fimg1.wikia.nocookie.net%2F__cb20100918144232%2Fvlab%2Fru%2Fimages%2F4%2F41%2F%25D0%25A0%25D0%25BE%25D0%25B4_%25D0%25B7%25D0%25B0%25D0%25BC%25D0%25BA%25D0%25BD%25D1%2583%25D1%2582%25D0%25BE%25D0%25B9_%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25B5%25D0%25BD%25D1%2582%25D0%25B8%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9_%25D0%25BF%25D0%25BE%25D0%25B2%25D0%25B5%25D1%2580%25D1%2585%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8.gif&pos=1&rpt=simage"
Почему рассматривается именно сфера с ручками? Все очень просто — любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.914×244
Неориентируемые поверхности
Еще одно понятие, используемое в топологии – ориентируемость. Такие поверхности, как сфера, тор и неперекрученная лента, называют ориентируемыми или двухсторонними.
Я хочу привести в пример два вида неориентируемых, или односторонних, поверхностей.
Простейшей односторонней поверхностью является лист Мебиуса, который получил свое название в честь А. Мебиуса, открывшего его необычайные топологические свойства. Если полоску бумаги перед склеиванием концов перекрутить на полоборота и склеить точку A сточкой C, а B с D, то получится лист Мебиуса. У этой фигуры есть только одна поверхность и один край. Жук, ползущий по середине листа Мебиуса (не пересекая края), вернется висходную точку в положении "вверх ногами". При разрезании листа Мебиуса по средней линии он не распадается на две части.


Бутылка Клейна — неориентируемая поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математикомФ. Клейном. Она тесно связана с листом Мебиуса.
Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки.
Если пустить жука в отверстие у основания бутылки, то он скоро вползет в полость бутылки уже внутри. Жук отсюда сможет выползти наружу и вползти туда, откуда начал свой путь.
Теория графов

Еще одно из понятий топологии – граф. Такое название никак не связано с тем графом, который ездит на балы. Топологический граф представляет собой множество вершин, соединенных ребрами (отрезками). Теория графов – это раздел математики, изучающий свойства графов.

Впервые о теории графов заговорил математик Л. Эйлер в 1736 году. В том же году он пишет в письме задачу о семи кёнигсбергских мостах. Задача: на реке Прегель в Кёнигсберге (ныне город Калининград) два острова с берегами соединяют семь мостов. Можно ли пройти по каждому мосту только один раз и прийти туда, откуда начали свой путь? Ответ: НЕТ. Можно было бы это сделать, если бы мостов было четное число.

Если вы услышите выражение «граф с торчащим ребром гомотопически эквивалентен графу без торчащего ребра», то не пугайтесь. У настоящего графа с ребрами все в порядке. Речь идет о топологическом графе. Оказывается, в такой серьезной науке, как топология, немало понятий, которые нам кажутся смешными.
Теория графов нашла применение во многих областях строительства. Дома – вершины, а линии электропередачи, дороги, водопровод – ребра. С помощью графов находят кратчайший маршрут до магазина или объездной маршрут вокруг города. Еще теория графов используется в химии при составлении моделей структур молекул. Активно используется теория графов в информатике и программировании. В теории графов и по сей день много нерешенных проблем и задач.
Есть и такое понятие, как топология сети. Это схема соединения компьютеров.
Заключение
Топология нашла свое применение в алгебре, геометрии, физике, химии, биологии и во многих других науках. Топология развивается и по сей день. Несколько лет назад петербургский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре, над которой бились на протяжении ста лет математики всего мира. С помощью топологии ученые даже пытаются понять форму вселенной и изучать далекие туманности и черные дыры.
Итак, мои гипотезы подтвердились:
1.Действительно, топология является частью геометрии.
2.Я узнал, что о топологии заговорили всего сто лет назад. Это маленький возраст для науки.
Моя цель и задачи достигнуты.
Я думаю, что топология будет очень важна в будущем для исследования бескрайних космических просторов и для поиска братьев по разуму.

«Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой». Р. Курант
Литература
1. Александров А.Д. Основания геометрии.
2. http://ru.vlab.wikia.com/wiki.
3. https://ru.wikipedia.org.
4. http://dic.academic.ru.
5. https://habrahabr.ru.
6. edulib.pgta.ru.


Приложенные файлы


Добавить комментарий