МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРОЦЕССЕ ИХ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА


УДК 519.2
Кандидат технических наук П.А. СНЕГИРЕВ
филиал Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского
(г. Ярославль)
К ВОПРОСУ РАЗРАБОТКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ НАДЁЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКЕ
Рассмотрены особенности экспериментальной отработки сложных технических объектов. Обоснован выбор закона распределения времени безотказной работы. Теоретически обоснован расчёт надёжности технических объектов по результатам испытаний. Получены выражения для точечных и интервальных оценок вероятности безотказного функционирования объектов испытаний.
В настоящее время затраты на экспериментальную отработку технических объектов (ТО) представляют значительную долю суммарных затрат на их создание. Расчёт и минимизация этих затрат осложняется отсутствием эффективных практических методов планирования объёмов и оценки результатов испытаний ТО и их элементов. В рациональном выборе мероприятий, направленных на повышение надежности ТО, существенная роль принадлежит количественным методам оценки их надежности.
Основной возникающей задачей при этом является устранение противоречий между высокими требованиями к уровню надежности создаваемого ТО и реальными ограничениями на время и затраты на его разработку. Главные ограничения – это время и затраты на разработку ТО, а отсюда, как следствие, ограничения на объём и продолжительность испытаний. Эти ограничения часто приводят к тому, что решение о сдаче ТО в эксплуатацию принимается без достаточной гарантии выполнения предъявляемых к ним требованиям по надежности. Ошибки в принятии решения на этапе создания ТО могут привести к серьёзным последствиям – от чрезмерных затрат на устранение недоработок в период производства и эксплуатации до возможного снижения эффективности отдельных образцов ТО.
В настоящее время существуют государственные и отраслевые стандарты, устанавливающие обязательность и порядок проведения экспериментальной отработки (испытаний ТО на надёжность) и контроля надёжности на различных этапах разработки, изготовления и эксплуатации ТО. Данные документы, как правило, лаконичны и не содержат теоретических основ и достаточных обоснований и пояснений устанавливаемых рекомендаций.
Основной задачей статьи является теоретическое обоснование расчёта надёжности ТО по результатам испытаний.
Контроль надежности образцов ТО производится при использовании различных планов испытаний. Однако все они предполагают знание вида закона распределения времени безотказной работы ТО, что, по сути, является практически невыполнимой задачей. Только план проведения испытаний по схеме испытаний Бернулли свободен от этого условия и, следовательно, универсален в этом смысле, что позволяет производить планирование объемов испытаний ТО и осуществлять статистическую оценку значения величины показателя надежности для ТО с любыми законами распределения времени безотказной работы.
В большинстве практических ситуаций при экспериментальной отработке ТО приходится ограничиваться преимущественно информацией в виде числа проведённых испытаний n и числа отказов d. Одной из наиболее общих схем, основанной на использовании информации вида (n;d) является схема испытаний Бернулли.
Биномиальное распределение.
Предположим, что производится серия независимых испытаний и в испытании с номером і возможны лишь два исхода: Аi – «успех» и Аi – «отказ». При этом Вер {Аi } = p,
Вер {Аi} = 1 – p = q. Предположим также, что число р не меняется от испытания к испытанию и 0 < р < 1.
Тогда вероятность того, что в n испытаниях «успех» наступит ровно x раз
(«отказ» - (n-x ) раз) определяется выражением
Вер { x|p, n} = b(n, p, x) = Cn xpx(1 –p)n-x (1)

при x = 0,1,2,…,n; Cnx = n!x!(n-x)!.
Распределение (1) является распределением Бернулли [1]. Оно основывается на следующих предположениях:
испытания и их результаты независимы друг от друга;
вероятность успешного исхода испытаний р остаётся постоянной во всех n испытаниях.
Для определения состоятельной оценки р* используем метод максимального правдоподобия. Функция правдоподобия имеет вид [1]:
L = px(1 – p)n-x.
Тогда состоятельной оценкой для параметра р служит величина
Р* = 1 – n-xn = xn. (2)
Минимаксная оценка для параметра р была получена в работе [1] и имеет вид
Р*мм = x+ n2x+ n. (3)
Оценка (2) имеет дисперсию
Dp* = p(1-p)n,
зависящую от неизвестного параметра р, в то время как дисперсия оценки (3) не зависит от р:
Dp*mm = ( 12(1+ n) )2.
Математическое ожидание и дисперсия числа х определяются следующими выражениями [1]:
Mx = np, Dx = np(1 – p).
Интегральное представление функции биномиального распределения.
Пусть Х – случайная величина, подчиняющаяся биномиальному распределению с параметрами n и p, т.е.
Вер { X = t | n, p } = b(n,p,t) = Ctnpt(1 – p)n-t, t = 0,1,…,n. (4)
Обозначим Bi (n,p,x) функцию распределения этой случайной величины. В общем случае функция распределения Р(х) случайной величины Х определяется по правилу
P(x)=Вер {X ≤ x}= i=1np(xi) = i=0np(xi) = p(x0) + p(x1) + … + p(xn) , (5)
где xn ≤ x ≤ xn+1.
Согласно (5), функцию Bi (n,p,x) можно записать в виде
Bi (n,p,x) = 0, если x<0;i≤xnCnt pt1-pn-1 , если 0≤x≤n;1, если x>n,
где суммирование распространяется на все неотрицательные числа t, не превосходящие х. Функция Bi (n,p,x) является ступенчатой со скачками величины b(n,p,t) (t = 0,1,…n) в точках x = t.
Интервальное оценивание параметра р биномиального
распределения.
Предположим, что проводятся n опытов, каждый из которых состоит в испытании одного образца ТО в установленных условиях. По окончании всех n опытов фиксируется общее количество наблюдаемых отказов d. Значения n и d представляют собой непосредственные результаты испытаний, на основе которых определяются необходимые числовые характеристики надёжности ТО.
Точечная оценка вероятности безотказного функционирования ТО в ходе экспериментальной отработки связана с непосредственными результатами испытаний выражением

Р* = 1 – dn .

Известно [1,3], что такая оценочная функция является несмещённой, состоятельной и эффективной. В тех случаях, когда объёмы испытаний ТО n, и, следовательно, количество отказов d малы, представляется целесообразным вместо статистических точечных оценок параметра р вычислять доверительные границы для р как корни р1 и р2 уравнений
i=0d-1Cn ip1n-i(1-p1)i = γ1 и i=0dCn ip2n-i(1-p2)i = 1 – 𝛾2, (6)

где γ1 + γ2 ― 1 = γ.
Корни р1 и р2 являются соответственно верхней и нижней границами доверительного интервала [p2, p1] для параметра р, причём
Вер { p2 < p <p1 } ≥ γ,
где γ – заданная доверительная вероятность.
Корни р1 и р2 являются квантилями ß – распределения и рассматриваются как случайные величины. Уравнения (6) аналитического решения не имеют. Численные решения данных уравнений табулированы в работах [ 4, 5].
Выводы. Рассмотрены особенности экспериментальной отработки сложных технических объектов. Обоснован выбор закона распределения времени безотказной работы. Теоретически обоснован расчёт надёжности технических объектов по результатам испытаний. Получены выражения для точечных и интервальных оценок вероятности безотказного функционирования объектов испытаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп.- М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2006. – 573с.
Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение.
Пер. с англ. Под ред. Ю.В. Линника. – М.: Наука, 1968. 547 с.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. – 6-е издание.
М.: Высшая школа, 1999.-576 с.
Шор Я.Б. Статистические методы анализа и контроля качества
и надёжности. – М.: Сов. Радио, 1962. – 552 с.
Статистические задачи отработки систем и таблицы для числовых
расчётов показателей надёжности. Под Р.С. Судакова. – М.: Высш. шк., 1975. – 608 с.

Приложенные файлы


Добавить комментарий