«Методические рекомендации по математике (внеаудиторная самостоятельная работа) «Строительство и эксплуатация зданий, сооружений»


Основная профессиональная образовательная
программа по специальностям:
08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений
профильный уровень
Рассмотрено и рекомендовано к применению на заседании методического объединения
общеобразовательных дисциплин
протокол №___ от ___________ 2016 г. Председатель: ___________Шабалина Ю.В.
Рассмотрено педагогическим советом техникума
протокол №____ от___________2016г.
Председатель: ______________ Б.Б.Буторин
Рецензенты:
Е.В. Белых, заместитель директора по учебной работе.
Г.Д. Буторина, заместитель директора по методической работе.
Данные методические рекомендации предназначены для студентов по специальности: 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений (профильный уровень) заочной формы обучения при выполнении внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика».
В методических рекомендациях содержатся задачи на вычисление площадей и объемов, задачи по аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислении, дифференциальным уравнениям, комбинаторике, теории вероятностей, дискретной математике. Каждый раздел содержит теоретические сведения, снабженные разобранными примерами и задачами для самостоятельного решения.
Пояснительная записка
Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» предназначены для студентов заочной формы обучения по специальности: 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений (профильный уровень).
Настоящие методические указания содержат определения, формулы, другие краткие сведения по теории и методические указания, иллюстрированные примерами. Примеры приводятся с подробными решениями и краткими пояснениями теоретических положений. Задачи и примеры подобраны в соответствии с программой учебной дисциплины. Структура изложения материала поможет студенту приобрести необходимые навыки для решения, как учебных задач, так и прикладных.
Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий, выполнения студентами индивидуальных и групповых заданий, контрольной работы.
В результате освоения учебной дисциплины «Математика» студент должен:
уметь:
- выполнять необходимые измерения и связанные с ними расчеты;
- вычислять площади и объемы деталей строительных конструкций, объемы земляных работ;
- применять математические методы для решения профессиональных задач;
знать:
- основные понятия о математическом синтезе и анализе, дискретной математики, теории вероятности и математической статистики;
- основные формулы для вычисления площадей фигур и объемов тел, используемых в строительстве;
Должны быть сформированы компетенции: ОК1-9, ПК 1.1, ПК 1.3, ПК 1.4, ПК 2.3, ПК 2.4, ПК 3.3, ПК 4.1, ПК 4.2, ПК 4.3, ПК 4.4.
Раздел 1
Элементы аналитической геометрии
Пример 1. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямойx = -1 и точки E(2;2).Решение:Этап 1. В условии задачи точка E(2;2) определяется двумя координатами x = 2 и y = 2, следовательно, имеем «плоскую» задачу.
Этап 2. По условию задачи, можно выделить три различных фигуры – линия, точка, прямая.
Этап 3. Выполним схематический чертеж:

Этап 4.
Рассмотрим произвольную точку линии — K(x, y). Расстояние от точки K до прямой x = -1 есть длина перпендикуляра KN, который опущен из точки K на прямую x = -1. Далее определим координаты точки N. Абсцисса точки N равна -1, а ордината точки N равна ординате точки K, т.е. N(-1, y) — координаты точки.
По условию задачи имеем ρ(K, N) = ρ(K, E). Тогда для любой точки K(x, y), которая принадлежит искомой линии, справедливо равенство:
или
Упростим полученное уравнение:

Искомое уравнение линии:
Ответ: 6x = (y — 2)2 + 5.
Пример 2. Найти расстояние от точки M(1, 1, 1) до плоскости α: 5x + y — z + 1 = 0.Решение:Этап 1. В условии задачи точка M(1, 1, 1) определяется системой трех координат (x, y, z), следовательно, имеем пространственную задачу.
Этап 2. По условию задачи, можно выделить две различных фигуры – точка и плоскость.
Этап 3. Выполним схематический чертеж:

Этап 4.
Расстояние от точки M(1, 1, 1) до плоскости α есть длина перпендикуляра KN, опущенного из точки M на эту плоскость.
Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле:

3. Вычислим искомое расстояние:

Решите задачи по разделу «Элементы аналитической геометрии».
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равно 2.
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, что его полуоси равны соответственно 7 и 2.
Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3.
Составьте интеллект-карту по разделу «Элементы аналитической геометрии».
Раздел 2
Вычисление площадей и объемов
Решите задачи по разделу «Вычисление площадей и объемов».
Вычислите площадь поверхности и объем тела

Высота конуса 8, образующая 10. Найдите радиус вписанного шара
В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найдите отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара
Площадь поверхности шара равна 330. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около шара.
В куб вписан шар. Найдите площадь поверхности шара, если площадь полной поверхности куба равна 1170/π
Найти объем котлована в виде круглого колодца с откосами, если ширина основания 3 м, ширина по верху 4 м, высота котлована 3м.
Составьте интеллект-карту по разделу «Вычисление площадей и объемов».
Раздел 3
Дифференциальное исчисление
Нахождение дифференциала функции
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0 ϵ [a; b] определяется равенством
.
Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:
Δy = f '(x0)·Δx + a·Δx.
Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy и обозначают
dy = f '(x)·Δx (1)
Пример:
Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:
dy = f '(x)dx
Задания.
Найдите дифференциалы функций:
y=x3y=tg(arccos1-2x2)y=ax+arctgxay=tgln3xy=7x-15y=x+2x-2y=cos2x2y=x4-4x2+3
Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка
M1(x+Δx; y+Δy).
Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
Пример:
y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.
Решение:
Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.
f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.
Задания.
Вычислить приближенно значение функции y=4x в точке x = 17. Ответ: 2,031
Вычислить ln 0,99. Ответ: -0,01
Вычислить приближенно sin310 . Ответ: 0,515
Вычилить приближенно y=4x+1 в точке x = 2,56Раздел 4
Интегральное исчисление
Вычисление интегралов методом подстановки
Рассмотрим интеграл I=f(x)dx . Пусть x=φ(x), где φ(x) – дифференцируемая функция. Тогда dx=φ'(t)dt и f(x)dx=fφtφ'(t)dt.
Данный метод основан на удачно выбранной замене, после которой интеграл либо сразу, либо после нескольких действий сводится к табличному.
Примеры:
xex2dx=12etdt=12et+C=12ex2+Cзамена: x2=t→2xdx=dt; xdx=12dt;3-2x5x-1dx=3-215(t2+1)t25tdt=22515-2t2-2dt=22513t-23t3+C=225135x-1-235x-13+Cзамена: 5x-1=t2→x=15t2+1→dx=25tdt; t=5x-1 ;ln2(x-3)x-3dx=t2dt=13t3+C=13ln2x-3+Cзамена: ln(x-3)=t→1x-3dx=dt;ctgxdx=cosxsinxdx=dtt=12lnt+C=12lnsinx+Cзамена: sinx=t→cosxdx=dt;dx2x2-2x+3=dx2(x-12)2+52=12dx(x-12)2+54=12dx(t)2+54=12∙25arctg2t5+C=15arctg2x-15+Cзамена: x-12=t→dx=dt;3x-1x2-4x+8dx=3x-1(x-2)2+4dx=3t+5t2+4dt=3tt2+4dt+51t2+4dt=32lnt2+4+52arctgt2+C=32lnx2-4x+8+52arctgx-22+Cзамена: x-2=t→x=t+2 → dx=dt; 3x-1=3t+2-1=3t+5Задания.
63-4cos3xsin3xdx Ответ: 114(3-4cos3x)76+C3x3dx53-2x4 Ответ: -1532(3-2x4)45+Cdx6-5x-2x2 Ответ: 173ln4x+5+73-4x-5+73+Cln(x2+x)dx Ответ: xln(x2+x)-2x+lnx+1+Carccos2x1-2xdx Ответ: -1-2xarccos2x-21+2x+Cesin3xcos3xdx Ответ: 13esin3x+CВычисление объёма тела вращения
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=fx, a≤x≤b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле:
VOx=πabf2(x)dxПример:
Вычислить объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=5x и y=6-x .Графики y=5x и y=6-x пересекаются в точках x1=1 и x2=5.
Задания.
Найдите объем тела вращения, образованного вращением:
окружности x2+y2=R2 вокруг оси Ox. Ответ: 43πR3вокруг прямой y=-1 фигуры, ограниченной линиями y=cosx, y=-1, x=-π, x=π Ответ: 3π2вокруг оси Ox линий y2=x и x2=y между их точками пересечения Ответ: 310πвокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y2=4-x и x=0
Ответ: 51215πвокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=sinx при 0≤x≤π Ответ: π22вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=6x, y=16-x2 Ответ: 76π3Раздел 5
Дифференциальные уравнения
Однородные ДУ первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y'=f(yx).С помощью подстановки yx=u(x) однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример:
y-xy'=ylnxyПриведем данное уравнение к виду y'=yx(1+lnyx)Полагая yx=u →y=ux и y'=u'x+u.
Подставив в исходное уравнение с разделяющимися переменными
xdudx=ulnu → duulnu=dxx →u=c∙exПодставив вместо u=yx , окончательно получим общее решение y=cxexЗадания.
xy+y2=(2x2+xy)y' Ответ: lnx=-2lnyx-yx+C2x+5ydx+5x+3ydy=0 Ответ: 2x2+10xy+3y2=Cxy'=3y3+2x2yx2+2y2 Ответ: x3=Cyy2+x2xy'=2x2+y2+y Ответ: y+x2+y2=Cx3Уравнения Бернулли
Уравнение Бернулли имеет вид y'+pxy=Q(x)yn.Его можно свести к линейному подстановкой z=y1-n, и поэтому его можно решать как линейное ДУ первого порядка.
Пример:
Найти частное решение уравнения: y'-yx=x2y, удовлетворяющее заданному начальному условию y1=2Решение:
Данное уравнение есть уравнение Бернулли (n=-1). Пусть y=uv, y'=u'v+uv'. Подставив в исходное уравнение и сгруппировав, получим dvdx∙u+vdudx-uv=x2uvПолагая dudx-ux=0 или duu=dxx , получим u=xПодставив в наше уравнение, имеем dvdxx=x2vx или vdv=dx илиv22=x+c или v=2x+cТогда общее решение исходного уравнения Бернулли имеет вид y=uv=x2(x+c)Найдем частное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. при x=1 значение y=2. Подставив в общее решение, получим 2=121+c →c=1Следовательно, искомое частное решение y=x2(x+1)Задания.
Решите задачу Коши для следующих дифференциальных уравнений:
x+1y'+y2=-y, y0=1 Ответ: y=2(x+1)x2+2x+2y'x+y=-3x2y2 , y1=1 Ответ: y=13x2-2xy'x-y=y2cosx , yπ=π Ответ: y=x1-sinxy'x-y=y2lnx , y1=1 Ответ: y=11-lnxy'+y=ex2y , y0=1 Ответ: y=(ex+1)24ex или y=(ex-3)24exy'-yx-1=y2x-1 , y2=1 Ответ: y=x-13-xРаздел 6.
Основы дискретной математики
Решите задачи по разделу «Основы дискретной математики».
Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?
На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?
В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.
В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?
На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор ровно 1 раз?

Составьте интеллект-карту по разделу «Основы дискретной математики».
Раздел 7.
Теория вероятностей и математическая статистика
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Пример:
В урне 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из неё вынимается наугад один шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?
Решение:
Пусть событие А – вынутый шар не белый.
Первый способ. PA=mn=10+1510+15+5=2530=56Второй способ. PA=PK+C=PK+P(C), где событие K – вынутый шар красный; С – вынутый шар синий. PA=1030+1530=2530=56Третий способ. PA=1-P(A), где A – вынутый шар белый; PA=1-530=2530=56.
В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой
Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),
где АВ – произведение событий А и В.
Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.
Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:
Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).
Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Р (АВ) = Р(А) · Р(В).
Следствие. При производимых nодинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых событияА появляется с вероятностью р, вероятность появления событияА хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n
Пример:
Монету подбросили два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет герб.
Решение:
Рассмотрим события: А – первый раз выпадет герб, PA=12 и B – второй раз выпадет герб, PB=12.
События A и B независимы. Тогда PAB=PAPB=12∙12=14.
Задания.
Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку – с вероятностью 0,2, в восьмерку – с вероятностью 0,5. Сделан один выстрел. Какова вероятность следующих событий:
а) выбито не менее 8 очков; Ответ: 0,75
б) выбито менее 8 очков; Ответ: 0,25
в) выбито более 8 очков; Ответ: 0,25
г) выбито не более 8 очков. Ответ: 0,75
То вар завозится в магазин с трех баз. Вероятности того, что нужный товар находится на первой, второй и третьей базах, равны соответственно: 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что нужный товар есть:
а) только на одной базе; Ответ: 0,188
б) не менее чем на двух базах; Ответ: 0,788
в) хотя бы на одной базе. Ответ: 0,976
Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, перемешал буквы и разложил их вновь в производном порядке. Найдите вероятность того, что снова получится слово «ананас». Ответ: 0,0167
В лифт семиэтажного дома вошло три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже. Ответ: 0,0046
Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с дефектом, берут на удачу 3 детали. Найдите вероятность того, что по крайней мере одна деталь без дефекта. Ответ: 0,9985
Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0,9; на третий – 0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен ,если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса. Ответ: 0,954
Формула Бернулли
Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. Любая машина может выйти из строя при этих перевозках. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зависит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испытания). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми ().Пусть, в общем случае, производится независимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно в испытаниях наступит событие , если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна . В случае с машинами это могут быть вероятности выхода из строя ровно одной машины, ровно двух машин и т.д.
Определим вначале вероятность того, что в первых испытаниях событие наступит, а в остальных испытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий
,
где .
Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие произошло только в первых испытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .
Таким образом, вероятность того, что событие наступит ровно в испытаниях определяется по формуле
, (3.3)
где .
Формула (3.3) носит название формулы Бернулли.
Пример.
В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?
Решение.
По формуле Бернулли находим

Задания.
В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найдите вероятность того ,что среди десяти автомобилей имеют некомплектность:
а) три автомобиля; Ответ: 0,2013
б) менее трех автомобилей Ответ: 0,6778
В квартире имеется четыре электрические лампочки. Для каждой лампочки вероятность не перегореть в течение года равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее трех лампочек? Ответ: 0,016
Вероятность прибытия поезда без опоздания равна 0,9. Считая опоздание поездов независимыми событиями, найдите вероятность того, что из пяти поездов опоздает не более одного.
База заказала на некоторый день четыре автомобиля, имея шесть потребителей, каждый из которых делает по одному заказу в день, не зависимо друг от друга, с вероятностью 0,4. Определите вероятность того, что автомобилей не хватит для удовлетворения всех заказов. Ответ: 0,041
Певец получит главный приз, если он победит по крайней мере в трех конкурсах. Найдите вероятность получения им приза, если было проведено пять конкурсов и вероятность победы певца в каждом конкурсе равна 0,7. Ответ: 0,837
Вероятность того, что балка выдержит критическую нагрузку, равна 0,8. Испытывают 5 балок. Найдите вероятность того, что:
а) все выдержат нагрузку Ответ: 0,32768
б) три выдержат нагрузку Ответ: 0,2048
в) не менее двух выдержат нагрузку. Ответ: 0,99328
Список рекомендуемой литературы:
Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2013.
Математика: Задачник: учеб. пособие для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования/М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2013.
Математика: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для учреждений нач. и сред. проф. образования/М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2013.
http://math.semestr.ru/gauss/gauss.phphttp://matematikam.ru/calculate-online/predel-limit.phphttp://www.mathprofi.ru/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi.htmlhttp://math.semestr.ru/math/int.phphttp://www.cleverstudents.ru/differential_equations/differential_equations.htmlhttp://fxdx.ru/page/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-v-pole-kompleksnyh-chiselhttp://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par14СОДЕРЖАНИЕ
Элементы аналитической геометрии…...……………………...5
Вычисление площадей и объемов…………………………….. 8
Дифференциальное исчисление ………..……………………..9
Интегральное исчисление…………………………………..…13
Дифференциальные уравнения …….…………………………17
Основы дискретной математики………………………….......20
Теория вероятностей и математическая статистика ………..21
Литература……………………………………………………...28
Содержание………………………………………………...…...29

Приложенные файлы


Добавить комментарий