«Курсовая «Ряды Фурье и их применение»


Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный педагогический университет»
Физико-математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Направление подготовки: 050.100.62 педагогическое образование
Профиль подготовки: математика
Форма обучения: очная
Выполнила студенткаИшматова Айгерим Кайрбековна,
3 курс, 304-М группа (оценка) (подпись)« » 2015 г.Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение PAGEREF _Toc421550835 \h 31. Ряды Фурье в действительной области PAGEREF _Toc421550836 \h 51.1. Понятие периодической функции PAGEREF _Toc421550837 \h 51.2. Тригонометрический полином PAGEREF _Toc421550838 \h 81.3. Ортогональность тригонометрической системы функций PAGEREF _Toc421550839 \h 131.4. Тригонометрический ряд Фурье PAGEREF _Toc421550840 \h 171.4.1. Условия разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье PAGEREF _Toc421550841 \h 201.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функций PAGEREF _Toc421550842 \h 221.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции PAGEREF _Toc421550843 \h 251.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на [–l;l] PAGEREF _Toc421550844 \h 251.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на [0;l] PAGEREF _Toc421550845 \h 281.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на [k;k+2l] PAGEREF _Toc421550846 \h 302. Практическое применение рядов Фурье PAGEREF _Toc421550847 \h 312.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение PAGEREF _Toc421550848 \h 312.2. Примеры рядов Фурье в различных областях деятельности человека PAGEREF _Toc421550849 \h 39Заключение PAGEREF _Toc421550850 \h 40Список литературы PAGEREF _Toc421550851 \h 41

ВведениеРяд Фурье – это представление произвольной функции с периодом в виде ряда. В общем виде рядом Фурье называется разложение элемента по ортогональному базису. Разложение функции в ряд Фурье – хороший инструмент при решении разных задач, потому что обладает свойствами преобразования при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций. Данное преобразование имеет большое значение, поскольку с помощью него можно решать много практических задач. Рядами Фурье пользуются не только математики, но и специалисты других наук.
Разложение функций в ряд Фурье – это математический прием, который можно наблюдать и в природе, если использовать прибор, чувствующий синусоидальные функции.
Данный процесс происходит, когда человек слышит какой-либо звук. Ухо человека устроено таким образом, что может чувствовать отдельные синусоидальные колебания давления воздуха разной частоты, что, в свою очередь, позволяет человеку распознавать речь, слушать музыку.
Ухо человека воспринимает звук не целиком, а через составляющие его ряда Фурье. Струны музыкального инструмента производит звуки, представляющие собой синусоидальные колебания различных частот. Действительность разложения света в ряд Фурье представляет радуга. Зрение человека воспринимает свет через некоторые его составляющие разных частот электромагнитных колебаний.
Преобразованием Фурье является функция, которая описывает фазу и амплитуду синусоид, определенной частоты. Это преобразование используют для решения уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под действием энергии. Ряды Фурье решают задачу выделения постоянных составляющих в сложных колебательных сигналах, что позволило правильно трактовать полученные данные экспериментов, наблюдений в медицине, химии и астрономии [8].
Открытие данного преобразования принадлежит французскому математику Жан Батисту Жозефу Фурье. В честь, которого впоследствии было и названо рядом Фурье. Первоначально ученый нашел применение своего метода при изучении и объяснении механизмов теплопроводности. Было предположено, что изначальное нерегулярное распределение тепла можно представить в виде простейших синусоид. Для каждой, из которых будет определен температурный минимум, максимум и фаза. Функция, описывающая верхние и нижние пики кривой, фазу каждой гармоники называется преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор преобразования предложил способ разложения сложной функции в виде суммы периодических функций косинуса, синуса [2].
Целью курсовой работы является изучение ряда Фурье и актуальности практического применения данного преобразования.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1) дать понятие тригонометрического ряда Фурье;
2) определить условия разложимости функции в ряд Фурье;
3) рассмотреть разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций;
4) рассмотреть разложение в ряд Фурье непериодической функции;
5) раскрыть практическое применение ряда Фурье.
Объект исследования: разложение функций в ряд Фурье.
Предмет исследования: ряды Фурье.
Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, аксиоматический метод.

1. Ряды Фурье в действительной области
1.1. Понятие периодической функцииВ природе и технике мы часто сталкиваемся с периодическими функциями времени. Процессы, связанные с работой любой машины, любого механизма, процессы и явления, изучаемые в курсе физики, электротехнике дают нам примеры такого рода величин. В настоящее время периодические функции хорошо изучены и широко используются в различных областях техники.
Определение. Число T≠0 называется периодом функции y=fx, если для любого x из области определения функции числа x-T, x+T также принадлежат области определения и
fx=fx±T(1)
Из этого определения следует, что если T-период функции, то ее периодом будет также kT, где k- любое целое число. Действительно,
fx=fx±T=fx±T±T=⋯=fx±kTПоэтому, обычно говоря о периоде функции, имеют ввиду наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству (1).
Например, так как
sinx=sinx+2π=sinx+2kπ, cosx=cosx+2π=cosx+2kπ,
то функции y=sinx и y=cosx – периодические функции с периодом 2π. Аналогично, в силу равенств
tgx=tgx+π=tgx+kπ, ctgx= ctgx+π= ctg(x+kπ)
функции y= tgx и y= ctgx – периодические функции периода π.
Отметим некоторые свойства периодических функций.
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т является периодической функцией того же периода Т.
Так, например, функция y=Asinx+Bcosx – периодическая функция периода Т=2π.2) Если функция y=f(x) имеет период Т, то функция y=f(ax) имеет период T2.
Действительно, для любого xfax+Ta=fax+T=fax(2)
Например, для функции y=sinωx имеем:
sinωx=sinωx+2π=sinωx+2πωСледовательно, эта функция имеет период T=2πω и, по предыдущему свойству, такой же период будет иметь функция y=Asinωx+Bcosωx. С геометрической точки зрения, умножение аргумента функции на число a означает сжатие при a>1 и растяжение при a<1 графика этой функции вдоль оси Ox.
1) Если fx - периодическая функция периода Т, то любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины Т, равны между собой (предполагается, что эти интегралы существуют):
aa+Tfxdx=bb+Tfxdx=0Tfxdx(3)
Действительно,
aa+Tfxdx=abfxdx+bb+Tfxdx+b+Ta+Tfxdx.Преобразуем последний интеграл:
b+Ta+Tfxdx=x=u+T, xн=b+T=uн+T → uн=b dx=du, xв=a+T=uв+T → uв=a==bafu+Tdu=fu+T=fu, т.к. fu- периодическая =bafudu=bafxdxТогда
aa+Tfxdx=abfxdx+bb+Tfxdx+bafxdx=bb+Tfxdx.Дадим геометрическую иллюстрацию формулы (3). Построим график периодической функции. Для этого достаточно знать ее аналитическое выражение на отрезке [0; T], построить график функции на этом отрезке и затем продолжить его вправо и влево по периодическому закону. При этом, площадь криволинейной трапеции с основанием [0; T] будет равна площади криволинейной трапеции с основанием α;α+T, изображенной на рисунке 1.

Рис.1
В частности, если α=-T2, то α+T=T2 и из (3) следует
0Tfxdx= -Т/2T/2fxdx(4)

1.2. Тригонометрический полином Простейшей тригонометрической функцией является функция y=sinx. Рассмотрим функцию, которая получится, если умножить эту функцию на постоянный множитель, а аргумент заменить на линейную функцию от x, т.е. функцию
y=Asinωx+α(5)
Это периодическая функция с периодом Т=2πω. Имеем:
y=Asinωx+α=Asinωx∙cosα+cosωx∙sinα=Acosα∙sinωx++Asinα∙cosωx. Обозначим Acosα=b, Asinα=a. Тогда
A=a2+b2, cosα=ba2+b2 , sinα=aa2+b2y=asinωx+bcosωx(6)
Определение. Отдельные функции вида (5) или (6) называются членами ряда Фурье функции (или гармониками). При этом постоянная A называется амплитудой, выражение (ωx+α) – фазой, α - начальной фазой (фаза при x=0), ω – частотой (ω - целое положительное число, связанное с периодом соотношением Т=2πω).График синусоидальной функции y=Asinωx+α получается из графика синусоиды y=sinx следующим образом:
1) растяжением по оси Oy с коэффициентом растяжения А;
2) сжатием графика y=Asinx с коэффициентом сжатия ω;
3) смещением полученного графика по оси Ox на величину - αω (т.е. вправо при α<0 влево при α>0).
Пример. Построим график функции y=2sin(4x-8). Здесь A=2, ω=4, α=-8
1) Построим график функции y=sinx.
2) Растянем этот график по оси Oy в 2 раза и получим график функции
y=2sinx, изображенный на рисунке 2.

Рис.2
3) Сжатием по оси Ox в 4 раза получим график функции y=2sin4x, изображенный на рисунке 3.

Рис.3
4) Сместим полученный график влево на 2=84 и получим искомый график, изображенный на рисунке 4.

Рис.4
Сложение гармоник одной частоты (одного периода) дает гармонику той
же частоты. Действительно,
y1=A1sin⁡(ωx+ α1)= a1 cosωx+ b1 sin ωx,
y2=A2sin⁡(ωx+ α2)= a2 cosωx+ b2sinωx,
⇒ y=y 1+ y2=(a1+ a2)cosωx+(b1+b2)sin ωx.
Сложение гармоник с частотами, кратными ω, т.е. с частотами
ω, 2ω,3ω, ...,nω дает более сложную периодическую функцию, чем синусоидальная функция.
Определение. Функция вида
f(x)= A1sin⁡(ωx+ α1) + A2sin⁡(ωx+ α2)+…+ Ansin⁡(nωx+ αn) (7)
называется тригонометрическим полиномом n-го порядка.
В (7) первая гармоника A1sin⁡(ωx+ α1)= a1 cosωx+ b1 sin ωx имеет период T1=2πω . Вторая гармоника A2sin⁡(2ωx+ α2)= a2 cos2ωx+ b2sin2ωxимеет период T2=2π2ω,… , n-я гармоника Ansin(nωx+an)=ancosnωx++bnsinnωx имеет период Tn=2πnω. Период тригонометрического полинома (7) равен периоду первой гармоники. Действительно,
fx+2πω=A1sinωx+2πω+α1+ A2sin2ωx+2πω+α2++A3sin3ωx+2πω+α3+…+An1+(ствительно,ен периоду гармоникиsinnωx+2πω+αn==A1sinωx+2π+α1+A2sin2ωx+2π+α2+…+
+Ansinnωx+2π+αn=A1sinωx+α1+A21)+nsin2ωx+α1+…+Ansinnωx+αn=fxТаким образом, подбирая различные амплитуды Ai и начальные фазы αi различных гармоник и увеличивая n, можно получить разнообразные периодические функции с периодом, равным периоду первой гармоники.
Определение. Совокупность величин Ai называется амплитудным спектром, а совокупность начальных фаз αi – фазовым спектром.
Прибавим к сумме (7) постоянное слагаемое a02, означающее сдвиг начала отсчета. Получим
fx=a02+a1cosωx+b1sinωx+(a2cos2ωx+b2sin2ωx)+…++( ancosnωx+bnsinnωx)= a02+k=1n(akcoskωx+bksinkωx)Эта функция дает закон сложного периодического колебания с периодом T=2πω. Рассмотрим следующие случаи:
1) если T=2π, т.е. ω=1, то
fx=a02+k=1n(akcoskx+bksinkx);2) если T=2l, т.е. ω=πl, то
fx=a02+k=1n(akcoskπxl+bksinkπxl )Рассмотрим задачу обратную данной. Пусть fx — периодическая функция (T=2π), описывающая некоторое колебательное движение. Возникает вопрос о представлении этой функции в виде суммы простейших колебаний (гармоник). При этом заранее известно, что период функции должен быть целым кратным периоду любой гармоники, входящей в эту сумму. Тогда гармоники, сумма которых должна быть равна f(x), имеют вид Ansin⁡(nx+ α),
т.е. fx=k=0nAk sinkx+α,или fx=k=0n(akcoskx+ bksinkx), или fx= a02+k=1n(akcoskx+bksinkx)(8)
Но оказалось, что если брать конечное число гармоник, то не всегда удается представить fx в виде суммы (8). В общем случае такое представление возможно, только если число слагаемых бесконечно, т.е.
fx= a02+k=1n(akcoskx+bksinkx) (9)
Определение. Функциональный ряд fx= a02+k=1n(akcoskx+bksinkx)называется тригонометрическим рядом, a0,ak, bk – коэффициентами тригонометрического ряда.
Отметим несколько фактов, касающихся сходимости ряда (9).
Имеем: akcoskx≤ak, bksinkx≤bk. Поэтому, сели рядa02+k=1∞ak+bkсходится, то и ряд (9) сходится на всей числовой оси, притом равномерно.
Кроме того, если ряд (9) равномерно сходится на –π;π, то в силу периодичности слагаемых, он будет равномерно сходиться на всей числовой прямой, а его сумма f(x) будет функцией периодической (период 2π) и непрерывной (так как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть непрерывная функция).
В дальнейшем будем решать задачу разложения сложного колебания на сумму простых гармоник.
Определение. Представление периодических функций в виде суммы гармоник, называется гармоническим анализом.

1.3. Ортогональность тригонометрической системы функцийОпределение. Функция f(x) заданная на a;b называется кусочно-непрерывной на a;b, если она имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода.
Определение. Скалярным произведением двух функций f(x) и g(x), определенных и кусочно-непрерывных на a;b называется число, обозначаемое ( fx,g(x)), и равное определенному интегралу от произведения этих функций по отрезку a;b, т.е.
fx,gx=abfx∙gxdx. Определение. Функции f(x) и g(x) называются ортогональными на отрезке a;b, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. если
abfx∙gxdx=0 Определение. Нормой функции fx на отрезке a;b называется число
f(x) равное корню квадратному из интегралаabfx2dx, т.е. f(x)=abfx2dxОпределение. Функция f(x) называется нормированной на отрезке a;b, если интеграл abfx2dx=1 Пусть имеется последовательность функций f1x, f2x, …,fnx,…, определенных и кусочно-непрерывных на a;b, причем среди них нет функций, тождественно равных нулю.
Определение. Последовательность функций fix называется ортогональной на a;b, если любые две различные функции этой системы ортогональны на a;b, т.е.
abfix∙fjxdx=0 , i≠j. Определение. Последовательность функций fix называется нормированной на a;b, если нормирована каждая функция этой последовательности, т.е.
abfix2dx=1 , ∀i. Определение. Последовательность функций fix называется ортонормированной на a;b, если она является ортогональной и нормированной, т.е.
abfix∙fjxdx=0, если i≠j;1, если i=j. Пример. Рассмотрим систему тригонометрических функций
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,… (10)
общего периода T=2π. Покажем, что эта система функций ортогональна на –π;π. Имеем:
1)-ππ1∙cosnxdx=1nsinnxπ-π=0; -ππ1∙sinnxdx=-1ncosnxπ-π=0. 2)-ππcosnx∙coskxdx=12-ππcosn-kx+cosn+kxdx=0, при n≠k;-ππsinnx∙sinkxdx=12-ππcosn-kx-cosn+kxdx=0, при n≠k.3)-ππsinnx∙coskxdx=12-ππsinn-kx+sinn+kxdx=0, при n≠k;-ππsinnx∙cosnxdx=12-ππsin2nxdx=0.Таким образом, система (10) тригонометрических функций действительно является ортогональной на отрезке –π;π.
Ортонормированный система (1.10) не будет, так как
-ππ12dx=2π, -ππcos2nxdx=12-ππ(1+cos2nx)dx=π,-ππsin2nxdx=12-ππ(1-cos2nx)dx=π.Учитывая последние равенства, получаем, что ортонормированной будет система функций
12π, cosxπ,sinxπ,cos2xπ, sin2xπ, …, cosnxπ, sinnxπ, …(11)Заметим, что функции системы (10) ( а также системы (11)) линейно независимы.
Аналогично можно показать, что на –l;l система функций
1, cosπlx,sinπlx,cos2πlx, sin2πlx, …,cosnπlx,sinnπlx, …. (12)
является ортогональной, а система функций
12l, cosπlxl,sinπlxl, cos2πlxl,sin2πlxl,…,cosnπlxl,sinπlxl,..(13)
является ортонормированной.
Ортогональную (ортонормированную) систему функций можно считать аналогом ортогонального (ортонормированного) базиса в конечномерном евклидовом пространстве. Как мы позднее убедимся, имеется класс функций, которые являются линейными комбинациями функций ортогональной (ортонормированной) системы, причем слагаемых в линейной комбинации может быть бесконечное число. Линейная комбинация с бесконечным числом слагаемых представляет собой ряд. Использование ряда как функции связано с вопросами сходимости этого ряда.
Рассмотрим разложение функции f(x) по тригонометрической системе функций (10).

1.4. Тригонометрический ряд ФурьеОпределение. Тригонометрическим рядом Фурье функции fx на отрезке –π; π называется разложение этой функции по тригонометрической системе функций (10), т.е. ряд
fx=a02+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+…+(ancosnx++bnsinnx)+…=a02+n=1∞(ancosnx+bnsinnx)(14)Членами ряда (14) являются кратные друг другу гармоники, расположенные в порядке возрастания их частот (нулевая гармоника берется с множителем 12 ) .
Определение. Числа a0, an,bn — называются коэффициентами тригонометрического ряда Фурье [2].
Пусть ряд (14) равномерно сходится на –π; πи его сумма равна f(x). Равномерная сходимость допускает почленное интегрирование ряда. Воспользуемся этим, чтобы найти коэффициенты ряда.
1) Интегрируя почленно ряд (14) будем иметь:
-ππfxdx=-ππa02dx+n=1∞-ππancosnx+bnsinnxdx=a0π++n=1∞an-ππcosnxdx+bn-ππsinnxdx=a0π(равенство нулю интегралов показано ранее, при доказательстве ортогональности системы (10)). Отсюда находим
a0=1π-ππfxdx и a02=12π-ππfxdx. Замечание! Свободный член ряда (14) представляет собой среднее значение функции fx на –π;π.
2) Умножим ряд (14) на coskx. При этом его равномерная сходимость не нарушается, так как coskx – непрерывна на –π;π и, следовательно, ограничена на этом отрезке. Почленно интегрируя полученный ряд, будем иметь:
-ππfxcoskxdx=a02-ππcoskxdx++n=1∞-ππ(ancosnx∙coskx++bnsinnx∙coskx)dx=n=1∞an-ππcosnx∙coskxdx+bn-ππsinnx∙coskxdx==an∙0, при n≠k;an∙π, при n=k.Следовательно, -ππf(x)cosnxdx=anπ, ⇒ an=1n-ππf(x)∙cosnxdx.3) Аналогично, умножая ряд (14) на sinkx и почленно интегрируя, получим:
-ππf(x)sinkxdx=a02-ππsinkxdx+n=1∞-ππ(ancosnx∙sinkx++bnsinnx∙sinkx)dx=n=1∞an-ππcosnx∙sinkxdx+bn-ππsinnx∙sinkxdx==bn∙0, при n≠k;bn∙π, при n=k.Следовательно,-ππf(x)sinnxdx=bnπ, ⇒ bn=1π-ππf(x)sinnxdx.Таким образом, получили:
an=1n -ππf(x)∙cosnxdx n=0, 1, 2,…,bn=1n -ππf(x)∙sinnxdx (n=1, 2,…).(15)
Найти ряд Фурье для функции f(x) – значит найти коэффициенты по формулам (15) и записать тригонометрический ряд (14) с этими коэффициентами [2].

1.4.1. Условия разложимости функции в тригонометрический ряд ФурьеОпределение. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке a,b , если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция монотонна, т.е. либо возрастает, либо убывает, либо является постоянной.
Если непрерывная (или кусочно-непрерывная) функция f(x) на a,b монотонна или кусочно-монотонна, то в любой внутренней точке c∈a,b она имеет левый и правый предел, т.е. существуют
limx→c-0fx=f(c-0) и limx→c+0fx=fc+0.Теорема (Дирихле). Пусть функция f(x) определена на -π,π и удовлетворяет на этом отрезке условиям:
f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода (т.е. кусочно-непрерывна);
f(x) монотонна или имеет конечное число точек экстремумов (т.е. кусочно-монотонна).
Тогда f(x) разлагается на отрезке -π,π в тригонометрический ряд Фурье. То есть тригонометрический ряд Фурье функции f(x)сходится на всем отрезке-π,π и его суммой является функция S(x), определенная на этом отрезке следующим образом:
Sx=fx во всех точках x∈-π,π, в которых функция f(x) непрерывна;
Sxk=fxk-0+f(xk+0)2, если x∈-π,π и xk – точка разрыва первого рода функции f(x) . То есть в точках разрыва функции f(x) функция S(x) равна среднему арифметическому односторонних пределов f(x)в этой точке;
S-π=Sπ=fπ-0+f(-π+0)2. То есть на границах отрезка -π,π функция S(x) равна среднему арифметическому левого предела функции f(x) в точке x=π и правого предела функции f(x) в точке x=-π [9].
Причем, на любом отрезке a,b⊂-π;π, не содержащем точек разрыва функции f(x) тригонометрический ряд Фурье сходится к f(x) равномерно.
Условия 1) и 2) теоремы Дирихле называются условиями Дирихле.
Теорема Дирихле дает достаточные условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке -π;π. Существуют и другие достаточные условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье. Но для решения практических задач обычно достаточно теоремы Дирихле, так как условия Дирихле удовлетворяет большой класс функций.
Пусть функция f(x) – периодическая, с периодом T=2π, разлагающаяся в тригонометрический ряд Фурье на отрезке -π;π. Тогда это разложение имеет место для всех x∈(-∞;+∞). Это очевидным образом вытекает из следующих утверждений:
1) cosx,sinx определены для всех x∈(-∞;+∞) и, следовательно, тригонометрический ряд Фурье определен для всех x∈(-∞;+∞);
2) сумма S(x) тригонометрического ряда (14) является функцией периодической с периодом T=2π;
3) Sx=fx во всех точках непрерывности функции f(x) на отрезке –π;π и, следовательно, и в остальных точках непрерывности функции fx (т.к. обе функции периодические с периодом T=2π).


1.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функцийРассмотрим симметричный интеграл
-llfxdx=-l0fxdx+0lfxdx,где fx- непрерывная или кусочно-непрерывная на –l;l. Сделаем замену в первом интеграле. Полагаем x=-t. Тогда
dx=-dt,xн=-l=-tн ⇒ tн=l,xв=0=-tв ⇒ tв=0.-llfxdx=-l0f-tdt+0lfxdx=0lf-xdx+0lfxdxСледовательно, если fx- четная функция, то f-x=f(x) (т.е. график четной функции симметричен относительно оси Oy) и-llfxdx=0lf-xdx+0lfxdx=20lfxdxЕсли fx - нечетная функция, то f-x=-f(x) (т.е. график нечетной функции симметричен относительно начала координат) и
-llfxdx=0lf-xdx+0lfxdx=0l-fxdx+0lfxdx=0.Т.е. симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу по половинному промежутку интегрирования, а симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.
Отметим следующие два свойства четных и нечетных функций:
1) произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная;
2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.
Пусть fx - четная функция, заданная на –π;πи разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье. Используя полученные выше результаты, получим, что коэффициенты этого ряда будут иметь вид:
a0=2π0πfxdx, an=2π0πf(x)∙cosnxdx, bn=0 n=1, 2,….Если fx - нечетная функция, заданная на отрезке –π;π и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье, то коэффициенты этого ряда будут иметь вид:
a0=0, an=0, bn=2π0πf(x)∙sinnxdx, n=1, 2,….Следовательно, тригонометрический ряд Фурье на отрезке –π;π будет иметь вид
для четной функции:
a02+n=1∞ancosnx (16)
для нечетной функции:
n=1∞bnsinnx(17)Ряд (16) не содержит синусов кратных углов, то есть в ряд Фурье четной функции входят только четные функции и свободный член. Ряд (17) не содержит косинусов кратных углов, то есть в ряд Фурье нечетной функции входят только нечетные функции [8].
Определение. Ряды a02+n=1∞ancosnx, n=1∞bnsinnx являются частями полного ряда Фурье и называются неполными тригонометрическими рядами Фурье.
Если функция fx разлагается в неполный тригонометрический ряд (16) (или (17)), то говорят, что она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (или по синусам).

1.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции1.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на –l;lПусть функция f(x) задана на отрезке –l;l и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Выполним замену переменной. Пусть x=ωt, где ω подберем так, чтобы получившаяся функция fx=f(ωt) аргумента t была определена на [–π;π]. Следовательно, считаем, что
l=ωπ,⇒ ω=lπ, x=ωt=lπt.Получившуюся в результате замены функцию flπt можно разложить на –π;π в ряд Фурье:
flπt=a02+n=1∞(ancosnt+bnsinnt),где a0=1π-ππflπtdt, an=1π-ππflπt∙cosntdt, bn=1π-ππflπtsinntdt, Сделаем обратную замену t=πlx, ⇒ dt=πldx, xн=-l, xв=l. Получим
flπt=fx=a02+n=1∞ancosπnlx+bnsinπnlx(18)где
a0=1l-llfxdx, an=1l-llfx∙cosπnlxdx, bn=1l-llf(x)∙sinπnlxdx(19)
Ряд (18) – ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций
12, cosπlx, sinπlx,cos2πlx, sin2πlx,…,cosπnlx, sinπnlx, …(20)Таким образом, получили, что если функция задана на отрезке –l;lи удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле, то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (18) по тригонометрической системе функций (20) [8].
Тригонометрический ряд Фурье для четной функции f(x), заданной на –l;l, будет иметь вид
fx=a02+n=1∞ancosπnlx,где
a0=2l0lfxdx, an=2l0lf(x)∙cosπnlxdx, bn=0(21)для нечетной функции fx=n=1∞bnsinπnlx, где
bn=2l0lf(x)∙sinπnlxdx, a0=an=0(22)Замечание! В некоторых задачах требуется разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по системе функций (20) не на отрезке –l;l , а на отрезке 0;2l. В этом случае необходимо просто изменить пределы интегрирования в формулах (19) ((15), если l=π), то есть в этом случае
a0=1l02lfxdx, an=1l02lfx∙cosπnlxdx, bn=1l02lf(x)∙sinπnlxdx(23)
или, если l=π,a0=1π02πfxdx, an=1π02πfx∙cosnxdx, bn=1π02πf(x)∙sinnxdx(24)
Сумма тригонометрического ряда Фурье периодическая функция с периодом T=2l (или T=2π), являющаяся периодическим продолжением заданной функции f(x). А для периодической функции справедливо равенство (4).

1.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на 0;lПусть функция f(x) задана на 0;l и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Такую функцию также можно разложить в ряд Фурье. Для этого функцию f(x)нужно доопределить на промежуток –l;0 и полученную функцию разложить в ряд Фурье на отрезке –l;l . При этом полученный ряд следует рассматривать только на отрезке 0;l, на котором функция задана. Для удобства вычислений доопределим функцию четным и нечетным образом.
1) Продолжим функцию f(x) на промежуток –l;0 четным образом, то есть построим новую четную функцию f1(x), совпадающую на отрезке 0;l с функцией f(x). Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси Oy и на отрезке 0;l совпадает с графиком f(x). По формулам (21) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции f1(x) и запишем сам ряд Фурье. Сумма S1(x) ряда Фурье для f1(x) – периодическая функция, с периодом T=2l. Она будет совпадать с функцией f(x) на 0;l во всех точках непрерывности.

2) Доопределим функцию f(x) на промежуток –l;0 нечетным образом, то есть построим новую нечетную функцию f2(x), совпадающую на 0;l с функцией f(x). График такой функции симметричен относительно начала координат и на отрезке 0;l совпадает с графиком f(x). По формулам (22) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции f2(x) и запишем сам ряд Фурье. Сумма S1(x) ряда Фурье для f2(x) – периодическая функция с периодом T=2l. Она будет совпадать с функцией f(x) на 0;l во всех точках непрерывности.

Замечания!
1) Аналогично можно разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке 0;π.2) Так как разложение функции f(x) на отрезке 0;l предполагает ее продолжение на отрезок -l;0 произвольным образом, то и ряд Фурье для функции fx не будет единственным [3].

1.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на k;k+2lПусть функция f(x) задана на произвольном отрезке k,k+2l длины 2l и удовлетворяет на нем условиям теоремы Дирихле.

Тогда эта функция может быть разложена в ряд Фурье. Для этого функцию нужно периодически ( с периодом 2l) продолжить на всю числовую прямую и полученную функцию разложить в ряд Фурье, который следует рассматривать только на отрезке k,k+2l. В силу свойства (3) периодических функций имеем
-llfxdx=02lfxdx=kk+2lfxdx 10.Поэтому коэффициенты Фурье для полученного продолжения функции fx можно найти по формулам
a0=1lkk+2lfxdx, an=1lkk+2lfx∙cosπnlxdx, bn=1lkk+2lf(x)∙sinπnlxdx(25)

2. Практическое применение рядов Фурье2.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение
В тригонометрический ряд Фурье требуется разложить функцию, являющуюся периодическим продолжением заданной на отрезке функции. Для этого необходимо пользоваться алгоритмом разложения периодической функции в ряд Фурье.
Алгоритм разложения периодической функции в ряд Фурье:
1) Построить график заданной функции и ее периодического продолжения;
2) Установить период заданной функции;
3) Определить функция четная, нечетная или общего вида;
4) Проверить выполнимость условий теоремы Дирихле;
5) Составить формальную запись ряда Фурье, порожденного данной функцией;
6) Вычислить коэффициенты Фурье;
7) Записать ряд Фурье для заданной функции, используя коэффициенты ряда Фурье (п.4).
Пример 1. Функцию fx=x+1 разложить в ряд Фурье на промежутке [-π;π].
Решение:
1) Построим график заданной функции и его периодическое продолжение.

2) Период разложения функции T=2π.
3) Функция fx=x+1 - нечетная.
4) Функция fx - непрерывная и монотонна на [-π;π], т.е. функция fx удовлетворяет условиям Дирихле.
5) Вычислим коэффициенты ряда Фурье.
a0=1π-ππfxdx=1π-ππx+1dx=1πx22+xπ-π==1ππ22+π-(-π)22-π=1ππ22+π-π22+π=1π∙2π=2an=1π-ππfxcosnxdx=1π-ππx+1cosnxdx==u=x+1⇒du=dxdv=cosnxdx⇒v=cosnxdx=1ncosnxdnx=1nsinnx==1π1n(x+1)sinnxπ-π-1n-ππsinnxdx =1π1n∙(π+1)sinπn---π+1sin-πn-1n-1ncosnxπ-π=1π1n∙0-0+1n2cosnxπ-π==1n0+1n2(cosπn-cos(-πn))=1πn(cosπn-cosπn)=0bn=1π-ππfxsinnxdx=1π-ππx+1sinnxdx==u=x+1⇒du=dxdv=sinnxdx⇒v=sinnxdx=1nsinnxdx=-1ncosnx==1π-1nx+1cosnxπ-π+1n-ππcosnxdx==-1πn∙π+1cosπn—π+1cos-πn+1πn∙1n(sinnx)π-π= =-1πn∙((π+1)(-1)n—π+1-1)n+1πn2∙(sinπn-sin(-πn))=-1πn∙(π+1+π-1)∙(-1)n+1πn2∙0-0=-1πn∙2π∙(-1)n+0==-2π∙-1nπn=-2∙(-1)nn6) Запишем ряд Фурье, подставив коэффициенты Фурье в формулуfx=a02+n=1∞(ancosnx+bnsinnx)fx=22+n=1∞0∙cosnx-2∙(-1)nn∙sinnx==1+n=1∞-2∙(-1)nn∙sinnx=1-2n=1∞(-1)n∙sinnxn.Ответ: fx=22+n=1∞0∙cosnx-2∙(-1)nn∙sinnx==1+n=1∞-2∙(-1)nn∙sinnx=1-2n=1∞(-1)n∙sinnxn.Пример 2. Разложим функцию fx с произвольным периодом в ряд Фурье.
fx=-2, если-3<x≤0 3-x, если 0≤x≤3Решение: функция fx определена на полуинтервале (-3;3]. Период разложения функции T=6, полупериод l=3. Разложим функцию в ряд Фурье
fx=a02+n=1∞ancosπnlx+bnsinπnlx=a02+n=1∞ancosπn3x++bnsinπn3xВ начале координат функция разрывная, поэтому каждый коэффициент Фурье будем представлять в виде суммы двух интегралов.
a0=1l-llfxdx=1l-l0fxdx+1l0lfxdx=13-30(-2)dx++13033-xdx=-23x0-3+13∙3x-x2230=-230—3++13∙9-92-3∙0+0=-230+3+13∙92=-2+32=-12an=1l-llfxcosπnlxxdx=13-30-2∙cosπn3xdx++13033-x∙cosπn3xdx==u=3-x⇒du=-dxdv=cosπn3xdx⇒v=cosπn3xdx=3πnsinπn3x==-23∙3πn-30cosπn3xdπn3x+133πn(3-x)sinπn3x30++3πn03sinπn3xdx=-2πnsinπn3x0-3+1πn((3-3)sinπn--3-0sin0)+1πn∙-3πncosπn3x30=-2πn(sin0-sin(-πn))++1πn0-0-3π2n2(cosπn-cos0)=-2πn0-0+0-3((-1)n-1)π2n2==3(1-(-1)n)π2n2bn=1l-llfxsinπnlxdx=13-30-2∙sinπn3xdx++13033-x∙sinπn3xdx==u=3-x⇒du=-dxdv=sinπn3xdx⇒v=sinπn3xdx=-3πncosπn3x==-23∙3πn-30sinπn3xdπn3x+13-3πn(3-x)cosπn3x30--3πn03cosπn3xdx=2πncosπn3x0-3-1πn∙3-3cosπn--3-0cos0)-1πn∙3πnsinπn3x30=2πncos0-cos(-πn))-1πn0-3--3π2n2sinπn-sin0=2πn∙1-(-1)n)+3πn-3π2n20-0=2-2(-1)n+3πn=(5-2(-1)n)πnЗапишем ряд Фурье, подставив найденные коэффициенты ряда Фурье в формулу.
fx=a02+n=1∞ancosπn3x++bnsinπn3xfx=-14+n=1∞3(1-(-1)n)π2n2cosπn3x+(5-2(-1)n)πnsinπn3xОтвет: fx=-14+n=1∞3(1-(-1)n)π2n2cosπn3x+(5-2(-1)n)πnsinπn3xПример 3. Разложить функцию fx=9-x2 на промежутке x∈0;3 в ряд Фурье по косинусам. Построить график суммы ряда.
Решение: продолжим функцию fx на промежуток -3;0 четным образом, то есть построим новую четную функцию f1(x), совпадающую на отрезке 0;3 с функцией fx. Найдем коэффициенты ряда Фурье для функции f1(x) и запишем ряд Фурье. Сумма S1(x) ряда Фурье для f1(x) - периодическая функция, с периодом T=2l=6. Она будет совпадать с функцией fx на 0;3 во всех точках непрерывности.
Тригонометрический ряд Фурье для функции будет иметь вид
fx=a02+n=1∞ancosnxНайдем коэффициенты ряда Фурье
a0=2l0lfxdx=23039-x2dx=239x-x3330=2327-273=12an=2l0lfx∙cosnxdx=23039-x2∙cosnxdx=603cosnxdx--2303x2cosnxdx=u=x2⇒du=2xdxdv=cosnxdx⇒v=sinnxn=6nsinnx30--2303sinnxn2xdx=u=x⇒du=2xdxdv=sinnxdx⇒v=-cosnxn=6∙sin3nn-23∙9sin3nn--23∙xcosnxn30+2303cosnxndx=6sin3nn-6sin3nn- -2cos3nn+2sinnx3n230=-2cos3nn+2sinnx3n2bn=0Таким образом, когда найдены коэффициенты, можно записать ряд Фурье
fx=6+2n=1∞sinnx3n2-cos3nncosnx.Построим график суммы ряда Ответ: fx=6+2n=1∞sinnx3n2-cos3nncosnx.Пример 4. Дана функция fx=x2, определенная на отрезке [0;2π]. Выяснить, можно ли разложить функцию в ряд Фурье. Записать разложение функции в ряд Фурье [6].
Решение:
1) построим график функции на [0;2π].

2) функция fx непрерывна и монотонна на [0;2π], то есть по теореме Дирихле fx=x2 разлагается в тригонометрический ряд Фурье.
3) вычислим коэффициенты Фурье по формулам (1.19).
a0=1πk2πx2dx=x33π2π0=13π(2π)3-03=8π23an=1π02πx2cosnxdx=u=x2⇒du=2xdxdv=cosnxdx⇒v=1nsinnx ==1πnx2sinnx 2π0-202πxsinnxdx=u=x⇒du=dxdv=sinnxdx⇒v=-1ncosnx==2πn2xcosnx 2π0-02πcosnxdx=2πn22π-1nsinnx2π0=4n2bn=1π02πx2sinnxdx=u=x2⇒du=2dxdv=sinnxdx⇒v=-1ncosnx==1π-x2cosnx2π0+202πxcosnxdx=u=x⇒du=dxdv=cosnxdx⇒v=1nsinnxdx==1πn-4π2+2xnsinnx2π0-1n02πsinnxdx=-4πn+2n3cosnx2π0==-4πn 4) запишем ряд Фурье, используя найденные коэффициенты.
fx=4π23+4n=1∞cosnxn2-4πn=1∞sinnxnОтвет: fx=4π23+4n=1∞cosnxn2-4πn=1∞sinnxn.
2.2. Примеры применения рядов Фурье в различных областях деятельности человека
Математика – одна из наук, которая имеет широкое применение на практике. Любой производственно-технологический процесс основан на математических закономерностях. Применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции, сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий, сооружений.
Ряды Фурье применяются математиками в геометрии при решении задач в сферической геометрии; в математической физике при решении задач о малых колебаниях упругих сред. Но кроме математики ряды Фурье нашли свое применение и в других областях наук.
Ежедневно люди пользуются различными устройствами. И зачастую эти устройства работают неисправно. Например, звук плохо различим из-за больших шумов или изображение, полученное по факсу, нечеткое. Причину неисправности человек может определить по звуку. Компьютер также может провести диагностику повреждения устройства. Лишние шумы можно убрать с помощью компьютерной обработки сигналов. Сигнал представляют в виде последовательности цифровых значений, которые затем вводят в компьютер. Выполнив определенные вычисления, получают коэффициенты ряда Фурье.
xn=k=0N2Akcos2πknN+k=0N2Bksink=0N2Akcos2πknNИзменение спектра сигнала позволяет очищать запись от шумов, компенсировать искажения сигнала различными устройствами звукозаписи, менять тембры инструментов, акцентировать внимание слушателей на отдельных партиях.
В цифровой обработке изображений применение рядов Фурье позволяет проводить следующие эффекты: размытие, подчеркивание границ, восстановление изображений, художественные эффекты (тиснение)
Разложение в ряд Фурье применяется в архитектуре при исследовании колебательных процессов. Например, при создании проекта различного вида конструкций рассчитывают прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций.
В медицине для проведения медицинского обследования с помощью кардиограмм, аппарата УЗИ пользуются математическим аппаратом, в основе которого лежит теория рядов Фурье.
Объемные вычислительные задачи оценки статистических характеристик сигналов, фильтрации шумов возникают при регистрации и обработке данных морского непрерывного дна. При постановке измерений, их регистрации перспективны голографические методы, использующие ряды Фурье. То есть ряды Фурье применяются и в такой науке как океанология.
Элементы  математики  встречаются  на  производстве  практически  на  каждом  шагу,  поэтому специалистам  важно  знать  и  блестяще  ориентироваться  в  области  применения  тех  или  иных  инструментов  анализа  и  расчета [7].

ЗаключениеТема курсовой работы посвящена изучению ряда Фурье. Произвольную функцию можно разложить на более простые, то есть можно разложить в ряд Фурье. Объем курсовой работы не позволяет подробно раскрыть все аспекты разложения функции в ряд. Однако, из поставленных задач, представилось возможным раскрыть основную теорию о рядах Фурье.
В курсовой работе раскрыто понятие тригонометрического ряда Фурье. Определены условия разложимости функции в ряд Фурье. Рассмотрены разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций; непериодических функций.
Во второй главе приведены лишь некоторые примеры разложения функций, заданных на различных промежутках, в ряд Фурье. Описаны те области наук, где используется данное преобразование.
Существует также комплексная форма представления ряда Фурье, которую не удалось рассмотреть, так как не позволяет объем курсовой работы. Комплексная форма ряда алгебраически проста. Поэтому часто используется в физике и прикладных расчетах.
Важность темы курсовой работы обусловлена тем, что находит широкое применение не только в математике, но в других науках: физике, механике, медицине, химии и многих других.
Список литературы1. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды. [текст]/ Н.К. Бари. — Москва, 1961. — 936 с.
2. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов [текст]/ А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – 11-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 736 с.
3. Бугров, Я. С. Высшая математика: Учебник для вузов: В 3 т. [текст]/ Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —512 с.
4. Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу: пособие для университетов, пед. вузов: В 2 ч. [текст]/ И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В.А. Садовничий; под ред. В.А. Садовничего. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – 712 с.
5. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 2. Учебник для студентов вузов. [текст]/ А. А. Гусак. – 5-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2004.
6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для вузов: 2 ч. [текст]/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- Москва: ОНИКС: Мир и образование, 2003. – 306 с.
7. Лукин, А. Введение в цифровую обработку сигналов( математические основы) [текст]/ А. Лукин. — М., 2007. — 54 с.
8. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: Учебное пособие для втузов. [текст]/ Н. С. Пискунов. — 13-е изд.— М.: Наука, 1985. — 432 с.
9. Рудин, У. Основы математического анализа. [текст]/ У. Рудин. — 2-е изд., Пер. с англ. .— М.: Мир, 1976 .— 206 с.
10. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Часть 2. [текст]/ Г. М. Фихтенгольц. — 6-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 464 с.

Приложенные файлы


Добавить комментарий