Методическая разработка занятия по математике по теме: «Определенный интеграл. Его геометрический смысл и основные свойства» для студентов 2 курса по специальности 15.02.08 Технология машиностроения


ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГБПОУ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Методическая разработка
занятия по математике
по теме: «Определенный интеграл. Его геометрический смысл и основные свойства»
для студентов 2 курса
по специальности 15.02.08 Технология машиностроения
Преподаватель: Рудас И. Г.
2017
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
математических и
естественнонаучных дисциплин

Председатель
_____________
« » ________
Тема занятия:
Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства
Вид занятия:
Лекция.
Цели занятия:
образовательная:
-- дать понятие определенного интеграла, основных его свойств, геометрического смысла ;развивающая:
-- формировать у студентов умение логически мыслить, проводить
сравнительный анализ, классифицировать полученную информацию и синтезировать на ее основе;
воспитательная:
-- воспитывать у студентов культуру поведения на занятиях,
умение грамотно отвечать на вопросы, продуктивно работать в
процессе закрепления материала.
Студент должен:
Иметь представление:
-- об определенном интеграле и его геометрическом смысле;
-- о связи с неопределенным интегралом;
знать:
-- определение определенного интеграла и его свойства;
-- формулу Ньютона-Лейбница;
уметь:
--применять формулу Ньютона-Лейбница;
-- вычислять простейшие определенные интегралы.


Структура занятия

Ход учебного занятия:
1. Проверка знаний.
В начале занятия проводится фронтальный опрос группы по пройденной теме «Неопределенный интеграл» с целью образовать логическую связь нового материала с предыдущим.
Студенты должны ответить на следующие вопросы:
1.Что такое первообразная и неопределенный интеграл?
2.Какие существуют методы нахождения неопределенного интеграла?
3.С чем связана необходимость умения находить неопределенные интегралы в будущей специальности студентов?

2. Изложение нового материала.
Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие.

Рассмотрим отрезок [a, b] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек xi : a=x1 < x2 <…< xn-1 < xn=b. При этом точки xi называются точками

у
y=f(x)


х0=а x1 хп-1 хп=b х
разбиения, отрезки [xi-1, xi] – отрезками разбиения (их длины обозначаются Δxi), а число
| τ | = max ( Δx1, Δx2,…, Δxn )
называется мелкостью разбиения.
Пусть на [a,b] задана функция y = f(x). Выберем на каждом отрезке разбиения по точке ξi и составим сумму вида
, (1)
называемую интегральной суммой функции f(x). Если f(x) > 0, такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi ).
Определение.
Если для любого разбиения отрезка [a, b] существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при и :
= I , (2)
то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b ], а число I называется определенным интегралом f(x) на [a, b] и обозначается Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
1) ;
2) ;
3) - ;
4) , (k = const, kR);
5) ;
6) ;
7) f()(b-a) ( [a,b]).
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.
Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
f(x) dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:
F(b) - F(a). (3)
Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.
Вспомним, каким образом вводилось понятие определенного интеграла. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой (при f(x) ≥ 0) сумму площадей прямоугольников с основанием и высотой . Переходя к пределу при |τ|→0, получаем, что при представляет собой площадь так называемой криволинейной трапеции aА1В1b, то есть фигуры, ограниченной частью графика функции f(x) от х = а до x = b и отрезками прямых х = а, x = b и у = 0
(4)
у

A1 B1 y=f(x)

a b х
Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла с помощью формулы (3)
Примеры.
1.
2.
  
3. Закрепление нового материала.
Предлагается студентам решить следующие задачи.
Вычислить определенные интегралы:
1.
2.
3.
4.

4.Заключение.
Провести фронтальный опрос
Студенты отвечают на вопросы:
1. Что называется определенным интегралом?
2. Что называется пределами интегрирования?
3. Что называется формулой Ньютона-Лейбница?
Задать задание на дом.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., Высшая школа,2011
Стр.205 – 208, §1.
Литература
Основная
Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа / под ред. Яковлева Г.Н.4.1.-М.Наука, 2008.
Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа / под ред. Яковлева Г.Н.4.2.-М.Наука, 2008.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., Высшая школа,2011
Дополнительная
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика». Учебное пособие для техникумов. – М., Высшая школа,2001
Пехлецкий И.Д. Математика, учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования – М., Издательство центр «Академия», 2003


Приложенные файлы


Добавить комментарий