Методическая разработка занятия по математике по теме: «Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства и методы интегрирования» для студентов 2 курса по специальности 15.02.08 Технология машиностроения


ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГБПОУ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Методическая разработка
занятия по математике
по теме: «Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства и методы интегрирования»
для студентов 2 курсапо специальности 15.02.08 Технология машиностроения
Преподаватель: Рудас И. Г.
2017
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
математических и
естественнонаучных дисциплин

Председатель
_____________
« » ________
Тема занятия:
Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов.
Вид занятия:
Комбинированный урок.
Цели занятия:
образовательная:
-- дать понятия первообразной и неопределенного интеграла и
его свойств таблицы основных неопределенных интегралов,
показать суть непосредственного интегрирования;
развивающая:
-- формировать у студентов умение логически мыслить, проводить
сравнительный анализ, классифицировать полученную информацию
и синтезировать на ее основе;
воспитательная:
-- воспитывать у студентов культуру поведения на занятиях,
умение грамотно отвечать на вопросы, продуктивно работать в
процессе закрепления материала.
Студент должен:
знать:
-- определение первообразной и неопределенного интеграла;
-- свойства неопределенного интеграла;
-- таблицу основных интегралов;
-- суть метода непосредственного интегрирования;
уметь:
--интегрировать, используя метод непосредственного интегрирования;
--проверять правильность интегрирования дифференцированием.
Наглядные пособия:
дидактический материал: таблицы производных и интегралов.
Структура занятия

Ход учебного занятия:

1. Анализ самостоятельной работы .В начале занятия проводится анализ самостоятельной работы по теме “Дифференциальное исчисление одной переменной”. Преподаватель объявляет результаты работы и коротко характеризует основные ошибки, допущенные студентами.
2. Проверка знаний.
После этого проводится фронтальный опрос группы по пройденной теме с целью образовать логическую связь нового материала с предыдущим.
Студенты должны ответить на следующие вопросы:

1. Что называется производной?
2. В чем заключается геометрический смысл производной?
3. В чем заключается физический смысл производной?
4. Что называется дифференциалом?
5. Что называется второй производной?
6. Каковы основные свойства производной?
Также студенты вспоминают основные формулы дифференцирования, таблицу производных.
3. Изложение нового материала.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной (для) функции f(x) на некотором множестве значений х, если F΄(x) = f(x) на этом множестве.
Теорема 1. Если функции F(x) и G(x) являются первообразными одной и той же функции f(x) на некотором множестве, то необходимым и достаточным условием этого является то, что G(x) = F(x) + C, где С – любая постоянная.
Доказательство.
Пусть F(x) - первообразная f(x), то есть F΄(x) = f(x). Тогда для любого числа C (F(x) + C)΄= F΄(x) + C΄= F΄(x) + 0 = f(x), то есть F(x) + C - первообразная f(x).
Пусть F(x) и G(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x). Тогда (F(x) – G(x))΄= F΄(x) - G΄(x) = f(x) – f(x) = 0, следовательно, F(x) – G(x) = C (по следствию из теоремы Лагранжа). Теорема доказана.
Таким образом, если функция на данном множестве имеет одну первообразную, то она имеет их бесконечно много, причем все они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f(x) на некотором множестве называется ее неопределенным интегралом.
Обозначение: .
f(x) при этом называется подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла.
1.
2.
3. Действительно, а . Но, поскольку С1+С2 – произвольная постоянная, выражения в левой и правой частях равны.
4.
Замечание. Все перечисленные свойства формулировались и доказывались в предположении, что на некотором множестве существуют первообразные функций f(x) и g(x), равные соответственно F(x) и G(x).
Табличные интегралы.
Из определения первообразной и неопределенного интеграла следует, что таблицу основных интегралов можно получить из таблицы основных производных (см. лекцию 18 первой части курса), считая производные табличных функций подынтегральными функциями, а сами функции – их первообразными.
1. 2.
3. 3΄.
4. 5.
6. 7.
8.
9.
Можно добавить к этой таблице еще несколько формул, не следующих непосредственно из таблицы производных, но удобных для вычисления многих интегралов, а именно:
10. 11.
Доказательство справедливости этих формул предлагается провести самостоятельно.
Примеры.
1.

2.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Теорема 2. Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а функция φ(t) – на множестве Φ, причем . Тогда, если функция f(x) имеет первообразную F(x) на Х, а φ(t) дифференцируема на Φ, то
(1)
Доказательство.
, поэтому функция F(φ(t)) является первообразной функции f(φ(t)) φ΄(t). Следовательно, . С другой стороны, при x = φ(t) . В полученных формулах равны правые части, следовательно, равны и левые, что доказывает справедливость формулы (1).
Замечание 1. Формулу (1) называют формулой интегрирования подстановкой.
Замечание 2. Часто удобно бывает использовать формулу (1) «в обратную сторону»:
, (2)
то есть заменять переменную х функцией новой переменной t. Формула (2) носит название формулы интегрирования заменой переменной.
Замечание. Формулы (1) и (2) показывают, что вид первообразной не изменяется при замене независимой переменной х на функцию φ(t), поэтому их называют формулами инвариантности интегрирования.
Примеры.
1. При этом была сделана подстановка x = sin t.
2.
Интеграл был вычислен с помощью замены переменной: x = t².
Формула интегрирования по частям.
Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке, и на нем существует интеграл , то на нем существует и интеграл причем

Доказательство.
d(uv) = vdu + udv, поэтому udv = d(uv) – vdu. Проинтегрируем обе части полученного равенства, учитывая, что Тогда что и требовалось доказать. Существование интеграла в левой части равенства следует из существования обоих интегралов в правой части.
Пример.

4. Закрепление пройденного материала.
В заключительной части занятия студенты под руководством преподавателя решают у доски предложенные задания с использованием метода непосредственного интегрирования.
Найти неопределенные интегралы:
1.; 3.
2.; 4.
После решения задач следует подчеркнуть, что большинство задач на интегрирование функций решаются с помощью специальных методов интегрирования, которые являются темой следующего занятия.
5. Проверка усвоения нового материала.
Проводится фронтальный опрос группы по формулам интегрирования и свойствам неопределенного интеграла. Выясняются недопонятые студентами вопросы по новому материалу.
6. Заключение.
В заключении преподаватель напоминает студентам тему следующего занятия: « Методы интегрирования», подчеркнув при этом о необходимости хорошей теоретической подготовке к нему.
После этого задается задание на дом.

Литература
Основная
Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа / под ред. Яковлева Г.Н.4.1.-М.Наука, 2008.
Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа / под ред. Яковлева Г.Н.4.2.-М.Наука, 2008.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М., Высшая школа,2011
Дополнительная
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика». Учебное пособие для техникумов. – М., Высшая школа,2001
Пехлецкий И.Д. Математика, учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования – М., Издательство центр «Академия», 2003


Приложенные файлы


Добавить комментарий