ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ В КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛАХ ЕГЭ


Введение
Актуальность. Единый государственный экзамен является основной формой аттестации выпускников средних общеобразовательных учреждений, а его результаты учитываются всеми вузами страны в качестве вступительных экзаменов. Следовательно, подготовка к ЕГЭ стала необходимой составляющей деятельности учащихся и учителей старшей школы.
Очень важно, чтобы в ходе повторения темы происходили обобщение и систематизация учебного материала и приемов решения задач. В ЕГЭ последние годы очень часто встречаются задания различной сложности, требующие различных знаний по теме «Производная функции». В частности, необходимо уметь вычислять производную функции, применять ее геометрический и физический смысл, находить наибольшие и наименьшие значения функции, экстремумы.
Значимость теории и ее многочисленные применения являются доказательством актуальности выбранной темы. Это в свою очередь позволяет определить цели, задачи и предмет исследования работы.
Цель исследования: обобщить имеющиеся понятия и свойства производной функции, рассмотреть наиболее часто встречающиеся задачи из КИМов ЕГЭ и предложить оптимальный способ их решения.
Задачи исследования:
1. На основе анализа имеющейся литературы по теме исследования систематизировать материал.
2. Привести комплекс заданий, необходимых для закрепления понятий.
Объектом исследования является производная функции в школьном курсе математики.
Предмет исследования: свойства производной функции, основные методы решения задач из этого раздела.
Теоретическая значимость заключается в систематизации материала.
Практическая значимость: применение теоретических знаний в решении задач; разбор основных часто встречающихся на экзаменах заданий.
Методы исследования: анализ научной литературы, синтез и обобщение полученных знаний, анализ решения заданий, поиск оптимального способа решения задач.
Работа состоит из введения, двух параграфов (первый – теоретическая часть, второй – практическая часть), заключения и списка использованной литературы.

§1. Производная функции. Теоретическая часть
п.1.1. Определение производной
Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались огромным интересом ученых к объяснению движения и нахождению законов, которым оно подчиняется. Как никогда остро встали вопросы об определении и вычислении скорости движения и его ускорения. Решение этих вопросов привело к установлению связи между задачей о вычислении скорости движения тела и задачей проведения касательной к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени. Общее понятие производной было введено независимо друг от друга почти одновременно английским физиком и математиком И.Ньютоном и немецким философом и математиком Г.Лейбницем.
x
y=f(x)
Δy
Δx
x0
x1
y0
y1
0
y
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует, называется производной функции в точке.
.
Нахождение производной функции называется дифференцированием.
Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.
Числа иназываются соответственно левой и правой производными функции в точке .
Вторая производная функции есть первая производная от: .
Производной n-го порядка (или n-ой производной) функции называется производная от производной порядка n-1: .
Теорема. Всякая функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно. Действительно, функция непрерывна, но не дифференцируема в точке.
п. 1.2. Вычисление производной
- постоянный множитель можно выносить за знак производной.
-производная суммы функций равна сумме производных этих функций.
Производная произведения двух функций вычисляется по формуле .
Производная отношения двух функций вычисляется по формуле .
, , где .
Эти правила дифференцирования позволяют находить производные многих функций, которые являются комбинацией нескольких основных функций.
Если функция четна (нечетна) и дифференцируема на всей области определения, то функция является нечётной (чётной).
Производные некоторых функций:
Константа: Тригонометрические функции:
, ,
,
Линейная функция: Степенная функция: Показательная функция: Обратные тригонометрические функции:
, ,
, .
Экспонента: Логарифм: Натуральный логарифм: Правило дифференцирования сложной функции еще более расширяет количество тех функций, которые дифференцируются достаточно просто.
Теорема (о производной сложной функции):
Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке, то сложная функция также имеет производную в точке, причем, или кратко. В дифференциальных обозначениях эта формула примет вид.
Из этой теоремы, в частности, следует:
а) если u- функция от х, то , , ,, и т.д.
б) если u, v – функции от x, то ,и т.д.
Теорема (о производной обратной функции):
Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и пусть в точке существует производная, причем . Тогда обратная функция имеет производную в точке , причем .
Следовательно, производная обратная функции равна величине, обратной величине производной данной функции.
Если иметь перед глазами таблицу производных основных элементарных функций, то найти производную практически любой функции будет совсем нетрудно: необходимо только аккуратно следовать сформулированным выше правилам дифференцирования.
п.1.3. Геометрический и механический смысл производной функции
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.
x0
y
y=f(x)

x
A
k<0
0
x0
x
A
y
k>0
y=f(x)

0

В уравнении прямой линии число k- угловой коэффициент.
.
Параллельные прямые имеют одинаковые коэффициенты.
Угловой коэффициент прямой линии, параллельной оси абсцисс, равен нулю, т.е., если параллельна оси абсцисс, то .
Уравнение касательной к графику функции в точке :.
Производная функции часто используется в решении задач по механике. Пусть - уравнение зависимости пути от времени при движении какого-либо тела. Тогда - скорость движения этого тела в момент времени . - ускорение движущегося тела в момент времени .
п. 1.4. Касательная к графику функции
f(x)
x0
M0
x
y
f(x0)
Касательная к графику функции в точке – это прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент. Уравнение этой прямой называется общим уравнением касательной и имеет вид. Полагая , получим.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к графику функции в этой точке. Произведение угловых коэффициентов касательной и нормали в силу их перпендикулярности равно -1, поэтому уравнение нормали имеет вид .
Под углом между кривыми и принято понимать угол между касательными к этим кривым в точке пересечения кривых .
Тангенс этого угла может быть вычислен по формуле . Если знаменатель этого выражения равен нулю, то кривые пересекаются под прямым углом.
Условие касания кривых, заданных уравнениямии , выглядит следующим образом: .
п. 1.5. Монотонность функции. Экстремумы функции.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными).
Если функция возрастает и дифференцируема на некотором промежутке, то на этом промежутке , за исключением отдельных точек, где . Справедливо и обратное утверждение.
Если функция убывает и дифференцируема на некотором промежутке, то на этом промежутке , за исключением отдельных точек, где .
Теорема. Для того чтобы функция возрастала (убывала) на данном интервале (или на открытом луче, или на всей числовой прямой), достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) в каждой точке этого интервала (открытого луча, прямой). Если при этом функция непрерывна на одном или обоих концах промежутка возрастания (убывания) (достаточно даже соответствующей односторонней непрерывности), то этот конец можно присоединить к указанному промежутку (т.е. утверждать монотонность на , или ).
Теорема. Если производная неотрицательна (неположительна) в любой точке некоторого промежутка и равна нулю лишь в конечном числе точек, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.
Теорема. Функция возрастает (убывает) на промежутке, если производная этой функции положительна (отрицательна) всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, и в этих точках функция непрерывна.
x
y
max
y=f(x)
x0
0
Точка из области определения функции называется точкой максимума, если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .
Условия существования максимума функции в точке
1.
2. При переходе через критическую точку функции ее производная меняет знак с «плюса» на «минус». – точка максимума (рис.), - максимум функции.
Точканазывается точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .
0
x0
x
y
min
y=f(x)
Условия существования минимума функции в точке
1.
2. При переходе через стационарную точку функции ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс». – точка минимума (рис.), - минимум функции.
y=f(x)
m
a
y
0
x1
x2
x
Если касательная к графику функции в точках , где - точка экстремума (min или max), параллельна оси абсцисс, ее угловой коэффициент равен нулю, т.е. .
, a||Ox, , m||Ox.
Пусть функция дважды дифференцируема (т.е. имеет вторую производную) в критической точке и в некоторой ее окрестности. Если , то – точка максимума, если, то – точка минимума. Если, то требуется дополнительное исследование.
п.1.6. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
Одной из наиболее сложных задач на исследование функции является задача нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на ее области определения или на каком-либо промежутке, входящем в область определения.
Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значений функции, непрерывной на промежутке и имеющей на нем единственный экстремум:
1. Убедиться в том, что функция на данном промежутке определена и непрерывна.
2. Найти производную функции и определить ее промежутки знакопостоянства на данном промежутке.
3. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы и убедиться в том, что на данном промежутке она имеет единственный экстремум (находим только точку, в которой функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение на промежутке, а не само наибольшее или наименьшее значение).
4. Если найденный экстремум – максимум, то он является наибольшим значением функции на промежутке (если минимум - наименьшим).
Непрерывная на отрезке функция принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения, причем либо на концах отрезка, либо в критических точках.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке:
1. Убедиться в том, что функция на данном промежутке определена и непрерывна.
2. Найти критические точки функции.
3. Отобрать те критические функции, которые принадлежат данному отрезку.
4. Найти значения функции в критических точках отрезка и на его концах.
5. Записать в ответ наибольшее и наименьшее из найденных в п.4 значений – это и будут наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.
Данные алгоритмы применимы лишь к указанным частным случаям и не могут быть распространены на другие случаи (в первом алгоритме нельзя рассматривать промежуток, на котором функция имеет более одной точки экстремума, а во втором – нельзя заменять отрезок промежутком другого вида).
Теорема. Дифференцируемая на и непрерывная на функциядостигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка или в одной из стационарных точек на интервале . В частности, если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную критическую точку, которая достигается точкой максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение.
Теорема. Область значений функции, непрерывной на отрезке, представляет собой отрезок.
п. 1.7. Выпуклость и вогнутость функции.
Пусть функцияимеет непрерывную вторую производную. График функцииназывается выпуклым вниз (выпуклым вверх, или вогнутым) на интервале, если в любой точке интервала он расположен выше (ниже) касательной, проведенной к нему.
Теорема. Пусть функциядважды дифференцируема на интервале, тогда если () при любом, то ее график является выпуклым вниз (вверх) на интервале.
В простейших случаях область определения функцииможно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которыхлибо не существует. Точка , в которой направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба.
Достаточное условие точки перегиб: Пусть функциядважды дифференцируема в некоторой окрестности точки, в которой или не существует. Если при этом в интервалахи производная имеет противоположные знаки, то – точка перегиба.
п. 1.8 План исследования функции с помощью производной. Следует найти:
1. область определения функциии поведение ее на границе области определения.
2. особенности функции, а именно, четность, нечетность и периодичность.
3. нули функции (т.е. точки х, в которых) и интервалы знакопостоянства (,).
4. асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты находят из условия (или предел прии). Наклонные асимптоты находят с помощью формул (или отдельно при и), (или отдельно при и).
5. экстремумы функции и интервалы монотонности.
6. точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости. Выпуклость вверх определяется из условия, выпуклость вниз – из условия, точка перегиба – из условия или не существует (однако это лишь необходимое условие перегиба)
п.1.9. Теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ролля. Если функциянепрерывна на отрезке, дифференцируема прии, то существует по крайней мере одна точка такая, что.
Доказательство. По условию функция непрерывна на, тогда по второй теореме Вейерштрасса она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. для выполняется неравенство, где m- наименьшее значение, M- наибольшее значение функции на отрезке.
Возможно 2 случая:
1) m=M, значит,, а производная константы равна 0, значит в качестве точки с можно взять любую точку из и теорема доказана.
2) m<M. т.к. значения m и M достигаются на отрезке и в силу условия, какое-то из этих значений должно достигнуться внутри, а тогда по теореме Ферма, все условия которой выполнены, производная функции в этой точке равна нулю. Теорема доказана.
Точек с на может быть несколько.
Если в теореме Ролля положить, что, тогда эту теорему можно сформулировать в виде: между двумя нулями дифференцированной функции лежит хотя бы один нуль ее производной.
Теорема Лагранжа. Если функциянепрерывна на отрезкеи дифференцируема при, то существует по крайней мере одна точка такая, что (формула конечных приращений Лагранжа).
Доказательство. Пусть выполняются условия теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию и покажем что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
1. F(x) – непрерывна на как разность непрерывных функций: данной функции f(x) и линейной.
2.Найдем – непрерывна на (a,b), т.к. по условию существует на (a,b).
3. ,
, значит по теореме Ролля существует такая точка, что. или
Отсюда . Теорема доказана.
Теорема Коши. Если функцииинепрерывны на отрезке, дифференцируемы при ипри, то существует по крайней мере одна точкатакая, что(формула Коши).
Доказательство. Сначала докажем, что . Действительно, предполагая противное, получим, что функция g(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, в силу которой найдется такая точка, что, а по условию, для, в частности и в точке с (). Получили противоречие, что и доказывает, что.
Рассмотрим вспомогательную функцию и покажем, что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
1. F(x) непрерывна на как разность непрерывных функций (по условию f(x) и g(x) непрерывны на).
2. Найдем . Она дифференцируема на (a,b), т.к. и существуют на (a,b).
3.

Тогда по теореме Ролля существует такая точка, что или , отсюда и следует доказываемое равенство. Теорема доказана.
§2. Применение производной функции к решению задач
Задание 1
Найдите наибольшее значение функции на отрезке.
f(x)
f’(x)
+

+
max
1
3
x
Решение. Найдем производную данной функции:. Производная обращается в нуль, если . Корнями этого уравнения являются числа 1 и 3. Значит, .
Отмечаем найденные корни на числовой прямой и определяем промежутки знакопостоянства. при и при . Таким образом, непрерывная функция возрастает на отрезке и убывает на отрезке . Значит .
Ответ: 9.
Задание 2.
Найдите значение производной функции в точке .
Решение. Найдем производную данной функции: . Значение полученной функции в точке равно .
Ответ: 1.
Задание 3.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой.
Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функциив точке с абсциссойравен значению производной этой функции в точке . Найдем производную: , и подставим в нее значение : .
Ответ: 0,5.
Задание 4.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке , равен 3. Найдите .
Решение. Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , т.е. .
Задание 5.
Касательная в точке М графика функции параллельна оси абсцисс. Найдите абсциссу точки М.
Решение. Прямая, параллельная оси абсцисс задается уравнением: . Значит, угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, равен нулю. Тогда и угловой коэффициент касательной, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку графика заданной функции, равен нулю. Следовательно, значение производной в точке равно нулю. Производная заданной функции равна: . Итак, , значит .
Ответ: -2,5.
Задание 6. (часть С)
При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два корня.
Решение. Данное уравнение имеет ровно два корня, если прямая пересекает график функции ровно в двух точках. Исследуем эту функцию с помощью производной. Найдем критические точки и промежутки, на которых производная отрицательна или положительна. Точки и точки минимума, а – точка максимума, причем и .
Итак уравнение имеет ровно два корня при или .
Ответ: , .
Задание 7. (часть С)
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень.
Решение. Рассмотрим функцию . Если , получим . При любом раскрытии модуля получим ,.
На промежутке функция возрастает.
Если, получим . При любом раскрытии модуля получим ,.
На промежутке функция убывает.
Таким образом, в точкефункция принимает свое наименьшее значение. Поэтому функция имеет нули, если.
, , ,, , .
Ответ: .
Задание 8.
y
x
1
4
8
0
-7
1
3
6
y=f’(x)
На рисунке изображен график производной функции . Найдите число точек, в которых касательная к графику этой функции имеет угловой коэффициент, равный 3 на промежутке .
Решение. . Производная на промежутке (-7;8) принимает значение 3 в пяти точках, следовательно, касательных с угловым коэффициентом 3 к графику функции при можно провести 5.
Задание 9.
Прямая параллельна касательной, проведенной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Решение. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. , значит, угловой коэффициент касательной равен числу -7, т.е. k=-7. Согласно геометрическому смыслу производной . , , .
Ответ: -0,6.
Задание 10.
Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке М(2;-3). Найдите.
Решение. - уравнение прямой линии, проходящей через начало координат. - угловой коэффициент касательной, т.е. . Точка М находится на касательной, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению т.е. -3=2k, k=-1,5. . Ответ: -1,5.
Задание 11.
Решить уравнение ; .
Решение. Область определения функции: . . Уравнение имеет вид: , ,и.
Ответ: 0.
Задание 12.
В точке графика функциипроведена касательная к графику функции, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты точки А.
Решение. Функция имеет смысл, если , т.е. . Касательная, проведенная к графику функции в точке А, параллельна оси абсцисс, значит ее угловой коэффициент равен нулю, т.е. k=0.
., , , , .
.
Ответ: А(10; -0,5).
Задание 13.
В каких точках касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс угол?
Решение. Используя геометрический смысл производной имеем:
, (т.к. ).
, , . - 2 различных корня. ,.
, получили точку .
, получили точку .
Ответ: ,.
Задание 14.
При каких значениях параметра а прямая касается графика функции ?
Решение. - графики функций имеют общие точки. , . . Уравнение имеет один корень, так как графики касаются, т.е. имеют только одну общую точку: D=16-40а=0. а=0,4.
Ответ: 0,4.
Задание 15.
Тело падает с высоты 122,5 м. Определите перемещение (путь) тела за последнюю секунду падения.
Решение. Вычислим сколько времени длится падение. (g=9.8), ,,. Значение не имеет смысла, т.е. падение длится 5 секунд. За 4 секунды тело пройдет (м), за последнюю секунду падения 122,5-78,4=44,1 м.
Ответ: 44,1 м.
Задание 16.
Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону (h –метрах, t – в секундах). Найдите скорость тела в момент соприкосновения с землей (g считать равным 10м/с2).
Решение. Найдем скорость, с которой тело поднимается: . В наивысшей точке скорость равна нулю. ,.
Перед началом движения ,, поэтому время подъема равно времени спуска, т.е. свободное падение длилось 4,5 с.
Скорость свободного падения . м/с.
Ответ: 45 м/с.
Задание 17.
Составьте уравнение касательной к графику функции .в точке с абсциссой .
Решение. . .
. Уравнение касательной .
Ответ: .
Задание 18. (часть С)
В зависимости от параметра найдите число решений уравнения.
Решение. ОДЗ параметра а – все действительные числа, ОДЗ переменной х – все действительные числа.
При уравнение имеет вид . Левая часть уравнения представляет собой сумму положительных чисел: при любом х. Следовательно, при уравнение решений не имеет.
Решаем задачу графически. , .
, нули функции: .
x
-
+
+
-
-1
1
0
Исследуем знак на полученных интервалах.

- 0 + 0 - 0 +
2 3 2
min max min ,
,,, т.е. .
-1
1
0
1
3
x
y(a)
Используя полученные данные, построим график функции .
Согласно графику запишем:
1) при уравнение имеет два решения,
2) при - четыре решения,
3) при - три решения,
4) при - два решения.
Задание 19.
139703175На рисунке дан график функции y=f(x), а также касательная к графику в точке с абсциссой, равной 3. Найти значение производной данной функции в точке х=3.
Решение.
Производная функции в точке равна тангенсу угла, образованному касательной и осью Ox, т.е. . .
381024130Рассмотрим треугольник ADC и найдем . По определению, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. AD=6, CD=3. Отсюда очевидно, что =6/3=2. Следовательно, .
Ответ. 2

Заключение
Каждый год в ЕГЭ встречаются задания различного уровня сложности по теме «Производная функции». В школе учителя должны найти правильный подход к объяснению данного материала, чтобы учащиеся как можно лучше разобрались в способах решения задач.
Все задачи исследования были выполнены. Систематизирован теоретический материал: приведены основные определения производной, свойства, теоремы и правила вычисления. За теоретической частью следовала практическая. Было решено 19 задач, выявлены основные методы и способы их решения.
Данная работа может быть использована выпускниками для самостоятельной подготовки. Учащиеся 11 классов могут проконтролировать уровень усвоения данной темы, потренироваться в выполнении заданий различной сложности.
Работа также будет полезна учителям математики, так как дает возможность эффективно организовать подготовку учащихся к экзамену на уроках, в процессе изучения темы «Производная функции».

Список использованной литературы
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012: уч.-методич. пособие/ Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 416 с.
Математика. Экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ: уч. пособие / А.Н. Манова. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012. – 541 с.
Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания / Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С. – М.: МЦНМО, 2012. – 208 с.
ЕГЭ 2012. Математика. Сборник заданий и методических рекомендаций / Ю.А.Глазков, И.К. Варшавский. – 4-е изд. – М.: Экзамен, 2012. – 367 с.
ЕГЭ: 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С / И.Н. Сергеев, В.С. Панферов. – М.: Экзамен, 2012. – 301 с.
ЕГЭ 2009. Математика. Сборник заданий / В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – М.: Эксмо, 2008. – 208 с.
3000 конкурсных задач по математике / Е.Д. Куланин. – 10-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 624 с.


Приложенные файлы


Добавить комментарий