Методические особенности изучения темы «Тригонометрические неравенства» в школьном курсе математики


Министерство образования и науки Российской Федерации
Бирский филиал
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего образования
«Башкирский государственный университет»
Отдел дистанционного обучения и
дополнительного профессионального образования
Программа дополнительного профессионального образования
объемом свыше 500 часов:
Математика в общеобразовательных и
профессиональных образовательных организациях
Мосунова Анастасия Владимировна
Итоговая аттестационная работа
Методические особенности изучения темы
«Тригонометрические неравенства» в школьном курсе математики
К защите допущена:
начальник отдела ДО и ДПО
______________С.В. Пихтовников
«____»__________________2017 г. Научный руководитель:
к.ф.-м.н., доцент
________________П.Л.Беляев
«____»_______________2017 г.
Бирск 2017
Содержание
Введение……………………………………………………………………... 3
Глава 1 Тригонометрические неравенства в школьном курсе математики…………………………………………………………………... 6
1.1 Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках………………………………………………………... 6
1.2 Простейшие тригонометрические неравенства……………………….. 9
Глава 2 Методические особенности изучения темы «Тригонометрические неравенства» в школьном курсе математики……. 14
2.1 Основные умения, необходимые при решении тригонометрических неравенств……………………………………………………………………. 14
2.2 Методические особенности решения тригонометрических неравенств……………………………………………………………………. 15
2.3Описание результатов педагогического эксперимента……………….. 24
Заключение…………………………………………………………………... 37
Литература…………………………………………………………………… 39
Введение
Вопросам тригонометрии в общеобразовательныхорганизациях уделяется много внимания: первоначальное знакомство – в курсегеометрии, затем – в курсеалгебры и начал анализа. Так как в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ тригонометрический материал предложен достаточно широко, учителя не жалеют ни сил, ни времени на отработку применения тригонометрических тождеств. Но итоги таких уроков не всегда оправдывают себя. Основная задача учителя математики – развитиеребенка, а не заполнение памяти формулами.
В школьном математическом образовании изучениетригонометрических неравенств идёт по нескольким направлениям:
- решение неравенств;
- решение систем неравенств;
- доказательство неравенств.
Анализ учебной иметодической литературы по изучению тригонометрических неравенств показывает, чтобольшое внимание уделяется первым двум направлениям.
Отметим, что решение тригонометрических неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.)[1].
Исходя из вышеизложенного, нами была выбрана тема: «Методические особенности изучения темы «Тригонометрические неравенства» в школьном курсе математики».
Актуальность исследования:в школьном курсе алгебры и начал анализа решению тригонометрических неравенств уделяется очень мало времени и поэтому возникают у учащихся пробелы в знаниях. Также недостаточно специальной литературы, с помощью которой учащиеся могли бы решать тригонометрические неравенства, особенно при подготовке к ЕГЭ.
Цель исследования: выявление методических особенностей и акцентирование методических рекомендаций ученикам и учащимся, на которые нужно обратить внимание при изложении темы «Тригонометрические неравенства»
Исходя из цели, необходимо было решить следующие задачи:
1) провести анализ психолого-педагогической, учебной и методической литературы по проблеме исследования;
2)выявить роль тригонометрических неравенств в обучении математики;
3)выделить методические особенноститемы: «Тригонометрические неравенства;
4)провести опытно – экспериментальную работу по проверке выделенных нами методических особенностей темы: «Тригонометрические неравенства;
5) подвести итоги опытно – экспериментальной работы;
6)разработать методическиерекомендации учителям и учащимся по теме: «Тригонометрические неравенства.
Объект исследования: процесс изучения алгебры и начал анализа в общеобразовательных организациях.
Предмет исследования: выявление методическихособенностейрешения тригонометрических неравенств в школьном курсе алгебры и начал анализа.
Гипотеза исследования:если учитывать выделенные намиметодические особенности, необходимые при изучении темы: «Тригонометрические неравенства», то это будет способствовать повышению коэффициента усвояемости обучающихся.
Для решения поставленных задач, проверки достоверности гипотезы были использованы следующие методы исследования:анализ психолого-педагогической и методической литературы;анализ учебно-методических пособий, учебников, дидактических материалов;наблюдения, беседы с учителями;педагогический эксперимент.
База исследования: Средняя общеобразовательная школа №1 г. Бирска под руководством учителя математики Мухамедьяровой И.М.
Теоретическая значимость исследования состоит в следующем: выделены методические особенности изучения темы «Решение тригонометрических неравенств».
Практическая значимость исследования: разработан методический материал, который может быть использован преподавателями при изложении темы «Решение тригонометрических неравенств» в 10-11 классах и при ведении элективного курса. Также данная работа может быть использована учащимися при самостоятельной подготовке к промежуточной и итоговой аттестации и ЕГЭ.
Структураработы: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.
Глава1Тригонометрическиенеравенства в школьном курсе математики
1.1 Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках
Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.).
Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: тригонон – треугольник, метрейн – измерение.
Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntrоductiо in аnаlysis infinitоrum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов — соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял заединицу.
Сочинение Л. Эйлера в дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии.
Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитиеалгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основааналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.[25]
Именно в трудах Эйлера Л. впервые встречаются записи . Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшиеее в строгой научной последовательности.
Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.
Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловленаразвитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока.
Анализ материала, посвящённогорешению тригонометрических уравнений и неравенств, в учебнике «Алгебра и началаанализа» для 10-11 классов под ред. А.Н.Колмогорова и в учебнике «Алгебра и началаанализа» для 10-11 классов авторов Ш.А. Алимова и др. свидетельствует, что различныевиды тригонометрических уравнений и неравенств представлены в пособиях по математике длясредней школы. Значит, перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенствакаждого вида.
Нами было рассмотрено содержание материала по тригонометрии изложенного в различных учебниках по математике за курс 10 – 11 класс средней школы, с целью его сравнения, анализа и формирования наиболееприемлемой методики внедрения данной темы в школьном курсе математики.
Башмаков М.И.Алгебра и началаанализа. 10-11
Учебник разбит на 6 глав. Каждая глава открывается списком вопросов и задач. Затем коротко формулируются результаты, которые необходимо достичь после изучения главы. Материал, касающийся темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» представлен в главеIII «Тригонометрические функции» после изучения глав «Функции и графики» и «Производная и её применение».
Схема изучения темы «Решение тригонометрические уравнений и неравенств» определяется следующим образом:функция → уравнения →преобразования.[3]
Мордкович А.Г.Алгебра и началаанализа. 10-11
Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначеныосновныерезультаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинаетсяс изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус, основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Здесь схема изучения выглядит следующим образом: функция →уравнения→преобразования.
С точки зрения применения учебник Мордковича удобен для самостоятельного изучения учащимися, т.к. он содержит сильную теоретическую базу. Изложение теоретического материала ведётсяочень подробно. В условиях острой нехватки часов для проведения занятийв классе возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой. Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надорассказатьучащимся на уроке, что заставить их запомнить, а что предложитьим просто прочесть дома.
К недостаткам можно отнестине очень большое количество упражнений по этой теме в самом учебнике.[19]
Колмогоров А.Н. Алгебра и началаанализа
Учебник содержит 4 главы. Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»радикально отличается от предыдущих, т.к. сначаларассматриваются тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии.
Таким образом, схема изучения выглядит так: преобразования → функции →уравнения.
Стоит отметить, чтоучебник содержит достаточно много дидактических материалов, как простых так иболее сложных. Это естественно обеспечивает учителю возможность варьировать задания для учащихся.
С точки зрения изложения теоретического материала нельзя сказать, что учебник идеально подходит для самостоятельного изучения.[14]
1.2Простейшие тригонометрические неравенства
К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств: sinx>a, sinx≥a, sinx<a, sinx≤a, cosx>a, cosx≥a, cosx<a, cosx≤a, tanx>a, tanx≥a, tanx<a, tanx≤a, ctgx>a, ctgx ≥a, ctgx <a, ctgx ≤a. Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.
Неравенства вида sinx>a, sinx≥a, sinx<a, sinx≤a

Рисунок 1 Рисунок 2
Неравенство sinx>a
При |a|≥1 неравенство sinx>a не имеет решений: x∈∅При a<−1 решением неравенства sinx>a является любое действительное число:x∈RПри −1≤a<1 решение неравенства sinx>a выражается в виде arcsina+2πn<x<π−arcsina+2πn,n∈Z 
2) Неравенство sinx≥aПри a>1 неравенство sinx≥a не имеет решений: x∈∅ При a≤−1 решением неравенства sinx≥a является любое действительное число: x∈RСлучай a=1 x=π/2+2πn,n∈Z
При −1<a<1 решение нестрогого неравенства sinx≥a включает граничные углы и имеет вид arcsina+2πn≤x≤π−arcsina+2πn,n∈Z (рис.1).
3) Неравенство sinx<a
При a>1 решением неравенства sinx<a является любое действительное число: x∈R
При a≤−1 у неравенства sinx<a решений нет: x∈∅
При −1<a≤1 решение неравенства sinx<a лежит в интервале −π−arcsina+2πn<x<arcsina+2πn,n∈Z (рис.2).
4) Неравенство sinx≤a
При a≥1 решением неравенства sinx≤a является любое действительное число: x∈R
При a<−1 неравенство sinx≤a решений не имеет: x∈∅
Случай a=−1 x=−π/2+2πn,n∈Z
При −1<a<1 решение нестрогого неравенства sinx≤a находится в интервале −π−arcsina+2πn≤x≤arcsina+2πn,n∈Z
Неравенства вида cosx>a, cosx≥a, cosx<a, cosx≤a

Рисунок 3 Рисунок 4
5) Неравенство cosx>a
При a≥1 неравенство cosx>a не имеет решений: x∈∅
При a<−1 решением неравенства cosx>a является любое действительное число: x∈R
При −1≤a<1 решение неравенства cosx>a имеет вид −arccosa+2πn<x<arccosa+2πn,n∈Z(рис.3)
6) Неравенство cosx≥a
При a>1 неравенство cosx≥a не имеет решений: x∈∅
При a≤−1 решением неравенства cosx≥a является любое действительное число: x∈R
Случай a=1 x=2πn,n∈Z
При −1<a<1 решение нестрогого неравенства cosx≥a выражается формулой −arccosa+2πn≤x≤arccosa+2πn,n∈Z (рис.3)
7) Неравенство cosx<a
При a>1 неравенство cosx<a справедливо при любом действительном значенииx:x∈R При a≤−1 неравенство cosx<a не имеет решений: x∈∅
При −1<a≤1 решение неравенства cosx<a записывается в виде arccosa+2πn<x<2π−arccosa+2πn,n∈Z (рис.4)
8) Неравенство cosx≤a
При a≥1 решением неравенства cosx≤a является любое действительное число: x∈R
При a<−1 неравенство cosx≤a не имеет решений: x∈∅
Случай a=−1 x=π+2πn,n∈Z
При −1<a<1 решение нестрогого неравенства cosx≤a записывается как arccosa+2πn≤x≤2π−arccosa+2πn,n∈Z (рис.4).
Неравенства вида tanx>a, tanx≥a, tanx<a, tanx≤a

Рисунок 5 Рисунок 6
9) Неравенство tanx>a
При любом действительном значении a решение строгого неравенства tanx>a имеет вид arctana+πn<x<π/2+πn,n∈Z (рис.5).
10) Неравенство tanx≥a
Для любого значения a решение неравенства tanx≥a выражается в виде arctana+πn≤x<π/2+πn,n∈Z (рис.5).
11) Неравенство tanx<a
Для любого значения a решение неравенства tanx<a записывается в виде −π/2+πn<x<arctana+πn,n∈Z (рис.6).
12) Неравенство tanx≤a
При любом a неравенство tanx≤a имеет следующее решение: −π/2+πn<x≤arctana+πn,n∈Z (рис.6).
Неравенства вида ctgx>a, ctgx≥a, ctgx<a, ctgx≤a

Рисунок 7 Рисунок 8
13) Неравенство ctgx>a
При любом a решение неравенства cgtx>a имеет вид: πn<x<arcctga+πn,n∈Z (рис.7).
14) Неравенство ctgx≥a
Нестрогое неравенство ctgx≥a имеет аналогичное решение πn<x≤arcctga+πn,n∈Z(рис.7).
15) Неравенство ctgx<aДля любого значения a решение неравенства ctgx<a лежит в открытом интервале arcctg a+πn<x<π+πn,n∈Z (рис.8).
16) Неравенство ctgx≤aПри любом a решение нестрогого неравенства ctgx≤a находится в полуоткрытом интервале arcctg a+πn≤x<π+πn,n∈Z (рис.8).
Глава 2.Методические особенности изучения темы «Тригонометрические неравенства» в школьном курсе математики
2.1 Основныеумения, необходимые при решениитригонометрических неравенств
В методической литературе существуют различные трактовки понятия «умения». Например, Петровский А.В. под «умениями» понимает способность использовать имеющиеся данные, знания или понятия,оперировать ими для выявления существенных свойств вещей и успешного решения определенных теоретических или практических задач.[22]
По мнению Булыгиной Т.Б. «умения – это способность осознанно выполнять определенное действие».[32]
Матюхина М.В. дает следующее определение: «умение – сочетание знаний и навыков, которое обеспечивает успешное выполнение деятельности». Навыки – это автоматизированные способы выполнения действий. Знания – это разновидность субъективных образов в сознании.[6]
Говоря об умениях решать тригонометрическиенеравенства, нужно иметь в виду, что эти умения образуют целый комплекс, в который среди прочих входят следующие:
- умения отыскать на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженных в долях числа (, и т.д.) и не выраженных в долях числа (М(2), М(-7), М(6)ит.д.);
- умение изображать числа точкой числовой окружности и надписывать точки (имеется в виду определять все числа, которые соответствуют данной точке);
- умение изображать числа на числовой окружности по значению одной из тригонометрических функций;
- составлять двойные неравенства для дугчисловой окружности;[20]
- умение провести анализ предложенного уравнения или неравенства с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов;
-умение осуществить обоснованный выбор приемарешения;
-умениерешать простейшие тригонометрическиенеравенства и иллюстрировать решение с помощью графика, тригонометрического круга;
-умение применять свойства тригонометрических функций при решении неравенств;
-умениевыполнятьтождественныепреобразования тригонометрических выражений, которое, в свою очередь, предполагает умение применять приемы преобразований алгебраических выражений и соответствующие тригонометрические формулы;
- умениерешать алгебраические уравнения определенных видов (линейные, квадратные, дробно-рациональные, однородные, сводящиеся к совокупностям алгебраических уравнений указанных видов) и др.[28]
2.2Методические особенности решения тригонометрических неравенств
В процессеформирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, можно выделить 3этапа.
1. Подготовительный;
2. Формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;
3.Введение тригонометрических неравенствдругих видов.
Цель подготовительного этапа состоит в том, что необходимо сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг или график для решения неравенств, а именно:
-умения решатьпростейшие неравенства видаsinx>1, sinx<-1 , cоsx> 1, cоsx<-1 с помощью свойств функций синус и косинус;
- умения составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;
- умения выполнять различные преобразования тригонометрических выражений.
Реализовать этот этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо под руководством учителя, либо самостоятельно, а так же навыки наработанные при решении тригонометрических уравнений.
Приведем примеры таких заданий:
1. Отметьте наединичной окружности точку , если
.
2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка, если
равно:
3. Отметьте на тригонометрической окружности точки , если:

4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.
а) б) в)
5.Дана дуга МР. М – серединаI – ой четверти, Р – серединаII-ой четверти.
Ограничить значение переменной t для:(составить двойное неравенство)
а) дуги МР;
б) дуги РМ.
6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

7.Решите неравенстваsinx> 1, sinx<-1 , cоsx> 1, cоsx<-1
Обратим внимание на задания5 и 6. Естественно, именно оно лежит в основерешения простейшего тригонометрического неравенства.
Неравенства, характеризующие дугу, мы предлагаем составлять в 2 шага. На первом шаге составляем «ядро»записи неравенства (это, собственно говоря, главное к чему следует научить школьников); для заданной дугиМР получим . На втором шагесоставляем общую запись:
, .
Если жеречь идёто дугеРМ, то при записи «ядра» нужно учесть, что точкаА(0) лежит внутри дуги, а потому к началу дуги нам приходитсядвигаться по первой отрицательной окружности. Значит, ядро аналитической записи дуги РМ имеет вид, а общая запись имеет вид.,
При решении задания 7, следует особо обратить внимание назначимость свойств тригонометрических функций.
На втором этапе обучения решению тригонометрических неравенств можно предложить следующиерекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся. При этом будем ориентироватьсяна уже имеющиеся у учащихся умения работать с тригонометрической окружностью или графиком, сформированные во времярешения простейшихтригонометрических уравнений.
1. Мотивировать целесообразность получения общего приемарешения простейших тригонометрических неравенств можно, обратившись, например, к неравенству вида.Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенное неравенство к виду;, но могут затрудниться в нахождении множестварешений полученного неравенства, т.к. только лишь используя свойства функции синус решить его невозможно.Этогозатруднения можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга).
2. Учитель должен обратить внимание учащихся наразличныеспособы выполнения задания, дать соответствующий образецрешения неравенства и графическим способом и с помощью тригонометрического круга.
Предлагаем такие варианты решения неравенства
а) решениенеравенства с помощью круга.
Решим тригонометрическое неравенство.
На первом занятии по решению тригонометрических неравенств предложим учащимся подробныйалгоритм решения, который в пошаговом представлении отражает все основные умения, необходимые для решения неравенства.
Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Этапрямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен.
Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем. Естественно, эта дугарасположена выше проведенной прямой.

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности.
Шаг4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, "пройдем" по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается наединичной окружности вторым концом отмеченной дуги.
Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство. Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому всерешения неравенства могут быть записаны в виде
Внимательно рассмотритерисунок и разберитесь, почему всерешения неравенства могут быть записаны в виде

Обратить внимание учащихся на то, что при решении неравенствдля функции косинус, прямую проводим параллельно оси ординат.
б) графический способ решения неравенства.
Строим графики и ,учитывая, что

Затем записываем уравнениеи его решение, найденное с помощью формул.
(Придавая nзначения0; 1; 2, находимтри корня составленного уравнения). Значения являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и. Очевидно, что всегда на интервале () выполняется неравенство , а на интервале () – неравенство . Нас интересует первый случай, и тогда добавив к концам этого промежутка число, кратноепериоду синуса, получим решение неравенства в виде:;

Подведём итог. Чтобы решитьнеравенство, надо составитьсоответствующее уравнение и решить его. Из полученнойформулы найти корни и , и записать ответ неравенствав виде: .
3. Факто множестве корней соответствующего тригонометрического неравенства очень наглядно подтверждается при решении его графическим способом.
053340Необходимо продемонстрировать учащимся, чтовиток, который является решением неравенства,повторяется через один и тот же промежуток, равный периоду тригонометрической функции.Так же можно рассмотреть аналогичную иллюстрацию для графика функциисинус.
4. Целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников нароль этих приемов при решении тригонометрических неравенств.
Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:




5. Отучащихсянеобходимо требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического неравенства с помощью графика или тригонометрического круга. Обязательноследует обратить внимание наее целесообразность, в особенности на применение круга, так как при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множестварешений данного неравенства.
В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства сделаем лишь два замечания.
Во-первых, знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических неравенств, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме:обращение к конкретному тригонометрическому неравенствуобращение к соответствующемутригонометрическому уравнению совместный поиск (учитель – учащиеся) приемарешения самостоятельный перенос найденного приема на другиенеравенства этого же вида.
Во-вторых, чтобы систематизировать знания учащихся о тригонометрии, рекомендуем специально подобрать такиенеравенства, решение которых требует различных преобразований, которые могут быть реализованы в процессеего решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях.
В качестветаких продуктивных неравенств можно предложить, например, следующие



В заключение приведем примеры тригонометрических неравенств, которыерекомендуем предложить учащимся для самостоятельного решения:
1);2) ;3) ;
4);5) ;6) ;
7);8) ;9) ;
10) ;11);12) ;
13) ;14);15) .
Согласно всемувыше сказанному,к методическим особенностям решения тригонометрических неравенств следует отнести:
1. Необходимость знания фактического материала по данной теме. Материал должен изучаться индуктивно - от тригонометрии острого угла к тригонометрии любого угла и затем к тригонометрическим функциям действительного аргумента. В результате изучения темы учащиеся должны знать теорему о корне, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулы решения простейших тригонометрических уравнений Sinx=a, Cosx=a, tgx=a, уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные относительно одной из тригонометрических функций Sinx, Cosx, tgx, однородные уравнения первой и второй степени относительно Sinx, Сosx).
2. Выработка основных умений, необходимых при решении тригонометрических неравенств.
3. Распознавание способов решения тригонометрических неравенств. Необходимо показать учащимся три способа решения тригонометрических неравенств: 1) решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности; 2) графическое решение тригонометрических неравенств; 3) решение неравенств методом интервалов.
2.3 Описание результатов педагогического эксперимента
В качестве испытуемыхучаствовали 19 учеников 10 классасредней школы №1 г. Бирска. Среди учеников были хорошо успевающие, но преимущественно отстающие ученики.
Целью этапа является выявление уровня сформированности основных умений необходимых для решения тригонометрических неравенств.
Для реализации цели, поставленной на данном этапе, были сформулированы следующие задачи:
Выявить умение учащихся определять положение точки наединичной окружности, соответствующей данному углу;
Установить умение учащихся отмечать угол соответствующий конкретному значению конкретной тригонометрической функции;
Проверить умения определять принадлежность угла соответствующей четверти и оперировать с формулами приведения;
Вычислять значения тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций некоторых углов (как положительных, так и отрицательных);
Для реализации данных задач были использованы методы:
- контрольная работа;
- наблюдение.
Учащимся была предложена контрольная работа, состоящая из 7 заданий. Задания контрольной работы были выбраны в соответствии с умениями, необходимыми для решения тригонометрических неравенств.
Текст самостоятельнойработы
1. Отметьте наединичной окружности точку , если
.
2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка, если
равно:
Отметьте на тригонометрической окружности точки , если:

4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.
а) б) в) г) д)
5.Дана дуга МР. М – серединаI – ой четверти, Р – серединаII-ой четверти.
Ограничить значение переменной t для:(составить двойное неравенство)
а) дуги МР;
б) дуги РМ.
6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

7.Решите неравенстваsinx> 1, sinx<-1 , cоsx> 1, cоsx<-1
Результаты контрольной работы отражены в таблице в процентном отношении.
Решили здание на обозначение точки на окружности 73,6%
Решили задания на принадлежность угла соответствующей четверти 42,1%
Отметили угол по значению функции 42,1%
Преобразование функции к углу I четверти 26,3%
Составили двойные неравенства для дуг окружности 42,1%
Составили тригонометрические неравенства для дуг графика функции 68,4%
Решили неравенства с помощью свойств функции 36,8%
1 задание: (задание на обозначение точки).
Справилось 14 человек.
Ошибки: Неверное деление на доли тригонометрической окружности. Неверное определение четверти.
2 задание: (задание на принадлежность угла к координатной четверти).
Справилось 8 человек.
Ошибки: Неумение определять положение отрицательного угла. Неверное представление десятичной дроби к виду обыкновенной.
3 задание: (определение угла по значению конкретной функции). Справилось 8 человек.
Ошибки: Определение не пар точек у функций синус и косинус, а только одной. Для функции y = tgx учащиеся отмечают точку не на окружности, а на прямой, изображающей линию тангенса
4 задание: (задание на преобразование угла к острому).
Справилось 5 человек.
Ни один из учеников не ответил правильно на всеформулы. Вероятно, что у учеников нет чёткого понимания принадлежности угла к интервалу
5 задание: (составление двойных неравенств для дуг тригонометрической окружности)
Справилось 8 человек.
Ошибки: сложность вызываетопределение дуги, расположенной ниже мнимой прямой МР, а именно обозначение той точки дуги, которая обозначается отрицательным значение.
6 задание: (составление двойных неравенств для дуг графикатригонометрической функции).
Справилось 13 человек.
Ошибки: Учащиесязатрудняются в определении направлениятой дуги, которая расположена в левой части графика, т.е. граничные значения которых имеют отрицательное значение. «Они ведут по дуге от центра»
7 задание: (решение тригонометрических неравенств с помощью свойств тригонометрических функций).
Справилось 7 человек.
Ошибки:Сложно выделить трудности, т.к. учащиеся, не справившиеся с заданием, не приступали к его выполнению.
В результате наблюдения работы учащихся у доски, а так же в ходе устной работы было замечено, что учащиеся более верно выполняют задания под руководством учителя.
Таким образом, анализ результатов самостоятельной работы инаблюдений показал что:
Учащиеся не уделяют должного внимания определению области применимости некоторых формул и правил;
Определяют точку наединичной окружности –73,6% учащихся;
Определяют принадлежность угла соответствующей четверти – 42,1% учащихся;
Отмечают угол по значению функции- 42,1 % учащихся;
Выполняют задание на преобразование угла к острому – 26,3% учащихся;
Составили двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности– 42,1% учащихся;
Составили двойные неравенства для дуг графикатригонометрической функции– 68,4% учащихся;
Решили тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций–36,8% учащихся;
Это говорит о том, что при обучении учащихся решать тригонометрические неравенства необходимо акцентировать внимание учащихся наработу с тригонометрической окружностью.
Целью обучающего этапа является формирование у учащихся умений решать тригонометрические неравенства.
Для реализации поставленной цели сформулированы следующие задачи:
В соответствии с результатамипредыдущего этапа внести коррективы в разработанную методику формирования у учащихся решать тригонометрические неравенства, направленную наразвитие тригонометрических представлений;
Применять данную систему задания на уроках и дополнительных занятиях со слабыми учащимися.
Организовать деятельность учащихся на занятиях, направленную на формирование умений решать тригонометрические неравенства.
Для реализации данных задач были проведены уроки и дополнительные занятия. Содержание этих занятий включало в себя теоретическую и практическую часть.
Последним этапом был итоговой эксперимент.
Целью данного этапа является определение эффективности разработанной методики.
Для реализации данной цели были сформулированы следующие задачи:
Провести контролирующую самостоятельную работу, позволяющую определить уровень сформированности у учащихся умений решать тригонометрические неравенства.
Сделать соответствующие выводы об использовании данной методики, её корректировке или полном изменении.
Для решения данных задач была проведена контрольная работа, аналогичная работе, предложенной на подготовительном этапе.
Текст контрольной работы.
Отметить на единичной окружности точки Рt, для которых соответствующие значения t удовлетворяют равенству
Справилось –15 человек (78,9 %);.
Определить принадлежность угла соответствующей четверти, если α равно .
Справилось – 10 человек (52,6%);
Отметить угол α по значению функции
Справилось – 10 человек (52,6%);
Выполнить задание на преобразование угла к острому
а) б)
Справилось – 5 человек (26,3%);
Составить двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности.
R – середина III четверти, К – середина IV четверти. Составить двойное неравенство для дуг КR и RК.
Справилось – 12 человек (63,2%);
Составить двойные неравенства для дуг графика тригонометрической функции

Справилось – 13 человек (68,4%);
Решить тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций cоsx<1, sinx>0
Справилось – 10 человек (52,6%);
Решить неравенство
Справилось – 12 человек (63,2 %).
1. Ученики более внимательно работают с тригонометрической окружностью, более точно обозначают точки на окружности, определяют направление нужной дуги и приступают к решению неравенств после рассмотрения условий применимости свойств функции, необходимых для решения.
2. Сравнение результатов тестирования до и после эксперимента позволяет представить их в графической форме.

Работа с учащимися по формированию осознанного и качественного научения решать тригонометрические неравенства прошла успешно. Об этом свидетельствуют:
Улучшение результатов проверочных работ
Отношение самих учащихся к проведённым занятиям.
Школьники с интересом принимали участие в процессе обучения.
Таким образом, цель эксперимента достигнута. Его результаты удовлетворительны. Данная методика имеет возможность применения на занятиях по алгебре и началам анализа в общеобразовательной школе.
Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства
Решим тригонометрическое неравенство .
Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси абсцисс точку . Проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, косинус которых равен

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие косинус больший, чем . Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .
Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги .
Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции косинус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде .
Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства
Решим тригонометрическое неравенство .
Шаг 1. Начертим единичную полуокружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.

Шаг 2. Выделим дугу, для точек которой тангенс больше или равен -1. Один из концов этой дуги уже обозначен числом .

Шаг 3. Второй конец дуги в случае решения неравенств с тангенсом всегда можно обозначить как арктангенс соответствующего числа. В данном случае это арктангенс -1, то есть . Теперь, учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом , получаем решения неравенства:

Внимательно рассмотрите рисунок и разберитесь, почему все решения неравенства могут быть записаны в виде

Решим тригонометрическое неравенство

Неравенства такого вида , в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, , а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство , решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.
Фрагмент урока направленный на развитие умения решать тригонометрические уравнения
Решим тригонометрическое уравнение tgx = -1
Шаг 1. Начертим единичную окружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.
Шаг 2. Точки пересечения проведенной прямой с окружностью это и есть решения данного уравнения, в данном случае это арктангенс -1, то есть и .

Шаг 3. Учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом , получаем решения уравнения

Заключение
Проанализировав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по теме итоговой аттестационной работы: «Методические особенности изучения темы «Тригонометрические неравенства» в школьном курсе математики», очевидно, сделать вывод о том, что умения и навыки решать тригонометрические неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.
Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические неравенства.
В даннoй рабoте были раccмoтрены ocнoвные, oбщие мoменты изучения тригонометрических неравенств в школьном курсе. В cвязи c чем были выделены следующие методические особенности при решении тригонометрических неравенств, к которым следует отнести: 1) необходимость знания фактического материала по теме: «Тригонометрические неравенства». Учащиеся должны знать теорему о корне, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулы решения простейших тригонометрических уравненийSinx=a, Cosx=a, tgx=a, уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства; 2) выработку основных умений, необходимых при решении тригонометрических неравенств; 3) распознавание способов решения тригонометрических неравенств, к которым следует отнести: решение неравенств с помощью единичного круга, графический способ решения неравенства, решение неравенств методом интервалов).
При решении задач, поставленных перед нами в итоговой работе, были выделены следующие методические рекомендации учителям:
материал должен изучаться индуктивно - от тригонометрии острого угла к тригонометрии любого угла и затем к тригонометрическим функциям действительного аргумента;
выявлять приемы сведения тригонометрических неравенств к простейшим: рассмотрение сложного аргумента как простого; использование равносильных преобразований; применение тригонометрических формул;
выявлять способы решения тригонометрических неравенств: сведение к простейшему; введение новой переменной.
распознавать способы решения тригонометрических неравенств.
записывать ответ, если не используются табличные значения тригонометрических функций.
Для учащихся были выделены следующие методические рекомендации:
обязательная иллюстрация решения каждого простейшего тригонометрического неравенства с помощью графика или тригонометрического круга;
умение рассказывать, объяснять основной материал темы и умение применять к решению задач;
умение решать задачи, аналогичные рассмотренным.
Нами была успешно проведена опытно – экспериментальная работа по формированию осознанного и качественного научения решать тригонометрические неравенства, о чем свидетельствуют улучшение результатов проверочных работ и отношение самих учащихся к проведенным занятиям. Школьники с интересом принимали участие в процессе обучения.
Таким образом, цель эксперимента достигнута. Его результаты подтвердили выдвинутую гипотезу. Данные методические рекомендации имеют возможность применения на занятиях по алгебре и началам анализа в общеобразовательной организации.
Тригонометрические неравенства занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.
Литература
Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г.
Адрова И.А., Ромашко И.В. Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравнений» //Математика в школе. 2001. №4. С. 28-32.
БашмаковМ.И. Алгебра и начала анализа. 10-11. Учебное пособие для 10 – 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. – 335 с.: ил.
Водинчар М.И. и др. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств //Математика в школе. 1999. № 4. С. 73-77.
Гилемханов Р.Г. Освободимся от лишней работы (при решении однородных триг.уравнений) //Математика в школе. 2000. № 10. С.9
Зайкин М.И. Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении (сборник научных и методических работ, предоставленных на региональную научно-практичечскую конференцию).М.: Арзамас, 2002. - 334с.
Зандер В.К. О блочном изучении математики / на примере изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» //Математика в школе.1991. № 4, С.38-42.
Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения //Математика в школе. 1995. № 2. С.23-33
Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ) //Математика в школе. № 3, С.18-27.
Золотухин Е.П. Замечания о решении уравнений вида аsinx+bcоsx=c//Математика в школе. 1991. № 3. С.84.
Калинин А.К. О решении тригонометрических неравенств. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 6, 1991г.
Кириченко Т.Ф. и др. Методические рекомендации для студентов-заочников по решению математических задач. Ленинград, 1987 – 53 с.
Клещев В.А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности //Математика в школе. 1992. № 6. С. 17-18.
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 – 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. – 335 с.: ил.
Кордемский Б.А. Как увлечь математикой. М.:Просвещение, 1981. -112с.ил.
Е.И. Лященко и др. Методические рекомендации по формированию ведущих понятий курса математики. Ленинград, 1988. – 72 с.
Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2006г.
Мордкович А.Г. Беседы с учителем. М.: ООО “Издательский дом “ОНИКС 21 век”:ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005”
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2000. – 336с.:ил.
Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.
Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн–4-е изд. М.: Гумакнит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.1:Общие основы психологии.-688с.
Немов Р.С. Психология: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: В 3 кн. – 4е изд. М.:Гумакнит.изд.центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.2: Общие основы психологии.-608с.
Орлова Т. Решение однородных тригонометрических уравнений: Конкурс “Я иду на урок” //Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 48, 1999г.
Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: М. Просвещение, 1985г.
Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.
Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений //Математика в школе. 2004. № 1. С. 24-26.
Суворова М.В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики (на примере изучения темы «Тригонометрические уравнения» //Математика в школе. 1995. № 4. С.12-13
Токарева А. Тригонометрические неравенства. // Математика. // Приложение к газете «Первое сентября» № 44, 2002 г.
Шабунин М. Тригонометрические уравнения. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 12,13, 1995г.
Филатов В.Г. О потере корней при решении тригонометрических уравнений //Математика в школе. 1991. №2. С.57-59.
Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях //Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.
Якимовская И.С. Знания и мышление школьников. М.: Просвещение, 1976.
Интернет ресурсы:
33.http://bestreferat.ru34.http://knowledge.allbest.ru35.http://kazreferat.info
36.http://www.math.md/school/praktikum/trigonomr/trigir.html37.http://studopedia.ru/18_61951_lektsiya--prosteyshie-trigonometricheskie-neravenstva.html38.https://egemaximum.ru/prostejshie-trigonometricheskie-neravenstva/

Приложенные файлы


Добавить комментарий