«Курсовая работа на тему «Условные вероятности»


СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ 4
2 СВОЙСТВА УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 8
3 УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА
4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11
14
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 15
ВВЕДЕНИЕ
Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.
Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
1 УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИУсловной вероятностью P(A/B)  события  A при условии, что событие B произошло (P(B) ≠0  назовем отношение P (A*B)/P(B) .Это определение эквивалентно так называемой теореме умножения, согласно которой P (A*B) = P (A) * P (B/A) = P (B)* P(A/B), т.е. вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило.
Два события  A и B называются независимыми, если P (A*B) = P (A) * P (B) .
Построение классической вероятности основано на правилах сложения и умножения вероятностей, следствия которых имеют следующие интерпретации на вероятностных деревьях:
1P(A*B + C * D) = P (A) * P (B/A) + P (C) * P(D/C). , где A*B  и C*D - несовместные события

Рисунок 1
2. 

Рисунок 2
Назовем произведение  весом ветви, проходящей через корень дерева и вершины, соответствующие событиям  .
Интерпретацией теорем сложения и умножения на вероятностных деревьях служит дерево исходов, соответствующее "благоприятному" событию. Рядом с каждым ребром такого дерева запишем вероятность исхода, соответствующего конечной вершине этого ребра при условии выполнения произведения всех исходов, соответствующих вершинам пути от корня дерева до данной вершины.
Эффективность данных интерпретаций покажем на следующих примерах.
Пример 26. Слово "МАТЕМАТИКА" разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре буквы. Какова вероятность получения слова "МАМА"?
Решение. Пусть событие  = {получить слово "МАМА"}. Возьмем в дереве испытаний ветвь, соответствующую событию  и найдем ее вес:

Рисунок 3

Пример 27. Два игрока по очереди выбирают вслепую фишку из имеющихся 2 белых и 3 черных. Побеждает тот, кто первым вытянет белую фишку. В каком отношении находятся шансы игроков на успех?
Решение. Обозначим через  = {победа -го игрока}, 1, 2. Составим вероятностное дерево исходов данного испытания.

Рисунок 4

Пример 28. Четыре брата определяют дежурного по квартире при помощи четырех спичек, одна из которых короче остальных. В равных ли условиях находятся братья?
Решение. Пусть четверо вытягивают по очереди одну спичку до тех пор, пока кто-нибудь не вытянет короткую. Тот, кто вытянет короткую спичку, станет дежурным.
Вероятностное дерево исходов будет иметь вид:

Рисунок 5




и, следовательно, в этом случае шансы у всех равные.
Пример 29. Доказать, что  где na и nb.
Решение. Возьмем урну, содержащую  белых и  черных шаров. Пусть  = {вынимание  шаров} и = {вынимание  белых шаров}. Тогда +...+  и 1 =  = +...+  =


Пример 30 (пример Бернштейна). Доказать, что вообще говоря для попарно независимых событий ,  (ij) /сравни с вероятностью суммы попарно несовместных событий/.
Решение. Рассмотрим 9 карточек, на которых написаны упорядоченные тройки букв :


Примем за событие  = {достать карточку с буквой  на -м месте}.
События  и  независимы, поскольку 
Аналогично доказывается, что ,  и ,  тоже попарно независимые события.
Однако 
2 СВОЙСТВА УСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть имеются две векторные случайные величины  порядка n и m соответственно.
Пусть далее у них имеется совместная плотность распределения вероятностей где x и y - аргументы функции плотности, представляющие собой векторы той же размерности, что и .
Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что реализация вектора , будет функция
.
Условным математическим ожиданием  случайного вектора при условии  называются первые моменты от условной плотности распределения 
=,
где  представляет собой сокращенное обозначение n-кратного интеграла .
Из определенных выше выражений вытекает известная формула для условных математических ожиданий

Которая получается из следующей цепочки равенств:

Вторые центральные моменты от функции условной плотности распределения образуют ковариационную матрицу  условного распределения
.
Рассмотрим теперь следующую задачу. По реализации случайного вектора  нужно построить оценки  для элементов неизвестного для наблюдателя случайного вектора . При этом оценки представляющие собой фукции от аргумента , должны удовлетворять условию минимума дисперсии для погрешности оценивания

Минимум в последнем соотношении берется по всем всевозможным видам функции  Докажем, что функцией на которой реализуется минимум, будет условное математическое ожидание

Доказательство следует из цепочки равенств
=,
Где , положительная и не зависящая от выбора функции величина.
Выражение достигает своего минимума при .
Итак, оценка , оптимальная в смысле наименьшей дисперсии, совпадает с условным математическим ожиданием.
Далее для краткости записи для обозначения случайных величин , их плотностей, математических ожиданий и ковариационных матриц мы будем применять конкретные реализации 
Рассмотрим теперь задачу на определение условной гауссовской плотности вероятности. Пусть задан нормальный случайный вектор , состоящий из двух векторов z и y, размерности которых n и m соответственно. Математические ожидания  этих векторов, а также ковариационные матрицы  считаются известными. Также считаем, что , т.е. случайный вектор y является невырожденным.
Перейдем к поиску условного математического ожидания  и условную ковариационную матрицу , которые задают условную плотность вероятности как плотность гауссовского типа.
Для решения поставленной задачи введем вектор , а матрицу  подберем так, чтобы векторы  и  были некоррелированными
,
где ; 
Получаем

В силу независимости случайных величин  и  получаем равенство условного и априорного ожиданий

Учитывая, что


Окончательно получаем выражение для условного математического ожидания
 (8)
Вычислим теперь ковариационную матрицу  условного нормального распредения. Рассмотрим случайный вектор

В силу независимости случайных векторов  и  в последнем выражении от условных математических ожиданий можно перейти к априорным.
Тогда получим

Итак, определены формулы для нахождения условного математического ожидания и ковариационной матрицы. Эти формулы будут необходимы для вывода фильтра Калмана.
3 УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА
Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если  — случайная величина и , то — тоже случайная величина, связанная с функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров ясно видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.
Математическое ожидание, вычисленной по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.
Для двумерного дискретного случайного вектора  с распределением
  ...
...
...
... ... ... ... ...
...
условное математическое ожидание случайной величины  при условии, что случайная величина  принимает значение , вычисляется по формуле
.
Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины  при условии, что случайная величина принимает значение , равно
.
Пример 3. Вычислим математические ожидания и условные математические ожидания компонент случайного вектора , заданного распределением,
  1 2 3
1 0.1 0.1 0.2
2 0.2 0.2 0.2
Видно, что условное математическое ожидание случайной величины  является функцией значений случайной величины , т.е.
 

и, совершенно аналогично,
 
.
Функцию  называют регрессией случайной величины  на случайную величину , а  — регрессией случайной величины  на случайную величину.
Формулы условных математических ожиданий для дискретных случайных величин естественным образом обобщаются на непрерывные случайные величины.
Если совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины , то
 и .
Рассмотрим непрерывный случайный вектор  с плотностью распределения

Нетрудно проверить, что .
Найдем распределения компонент случайного вектора и их математические ожидания и условные математические ожидания:
,
,
, ,
, , .
В этом случае регрессия  на  равна нулю, а регрессия  на  описывается уравнением
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная курсовая работа по теме «Условные вероятности, условные математические ожидания и их свойства» состоит из введения и трех разделов. Во введении даны общие сведения о курсе теория вероятностей и определения. В первом разделе рассмотрены условные вероятности, на примерах показана эффективность интерпретаций. В следующем разделе были рассмотрены свойства условных вероятностей и в последнем разделе рассмотрено условное математическое ожидание и его свойства. Каждый раздел снабжен примерами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Битнер, Г.Г. Теория вероятностей: Учебное пособие / Г.Г. Битнер. - Рн/Д: Феникс, 2012. - 329 c.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. - М.: Юрайт, 2013. - 479 c.
Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПб.: Лань, 2013. - 320 c.
Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. - М.: КноРус, 2013. - 376 c.
Кочетков, Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: Учебное пособие / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская. - М.: Форум, 2011. - 480 c.
Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. - М.: ЛКИ, 2013. - 296 c.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 551 c.
Мхитарян, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.С. Мхитарян, В.Ф. Шишов, А.Ю. Козлов. - М.: ИЦ Академия, 2012. - 416 c.

Приложенные файлы


Добавить комментарий