«Методическое пособие по математике для сдачи ОГЭ по теме «Функции и графики»


ФУНКЦИИ, ИХ ГРАФИКИ И СВОЙСТВА
(Методическое пособие для учащихся и учителей)

Шепова В.М.
Учитель математики
С. СЕМИОЗЁРКА
2016/17 УЧЕБНЫЙ ГОД
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u 1.Введение PAGEREF _Toc475783710 \h 32.Результаты выполнения учащимися школы заданий на ОГЭ по теме «Функция и графики» PAGEREF _Toc475783711 \h 33.Требования к содержанию и уровню подготовки обучающихся для проведения ОГЭ по математике. PAGEREF _Toc475783712 \h 44.Теоретическая часть. PAGEREF _Toc475783713 \h 74.1.Линейная функция. PAGEREF _Toc475783714 \h 84.2.Обратная пропорциональность. PAGEREF _Toc475783715 \h 94.3.Функция y = PAGEREF _Toc475783716 \h 124.4.Квадратичная функция и ее график PAGEREF _Toc475783718 \h 144.5.График функции y = PAGEREF _Toc475783719 \h 185.Разбор типовых заданий PAGEREF _Toc475783720 \h 196. Задания для самостоятельного решения. PAGEREF _Toc475783721 \h 487.Некоторые полезные советы учащимся для успешной подготовки к ОГЭ по математике PAGEREF _Toc475783722 \h 548.Заключение. PAGEREF _Toc475783723 \h 559.Используемая литература PAGEREF _Toc475783724 \h 56
ВведениеЦелью данного пособия является оказание практической помощи выпускникам 9 класса в приобретении, освоении и закреплении знаний как теоретического, так и практического характера по теме «Функция» на ОГЭ и ГВЭ, а так же с целью повышения уровня самоподготовки к ОГЭ по математике.
Тема "Функции, их свойства и графики" является одной из важных тем курса алгебры основной школы. Она отражена в заданиях 1-й (базового уровня) и 2-й (повышенного и высокого уровня) частях экзаменационной работы.
Готовясь к итоговому экзамену учащимся необходимо ориентироваться на задания и более высокой сложности и тогда можно рассчитывать на положительный результат. Учащиеся выпускного класса должны иметь более высокий уровень теоретических знаний и умений правильно применять их.
По моему опыту, тема «Функции и графики» очень важная и серьезная, но которой дети не уделяют достойного внимания. В своей работе я даю рекомендацию по выполнению заданий по этой теме. Так же надеюсь, что пособие поможет не только экзаменуемым, но и учителям, которые будут повторять эту тему при подготовке к ОГЭ. Я хочу найти самые рациональные методы решения.
Результаты выполнения учащимися школы заданий на ОГЭ по теме «Функция и графики»№ задания уровень
сложности основные проверяемые требования к математической подготовке % выполнения
2014 2015 2016
5 Б Уметь строить и читать графики функций. 75% 44% 20%
15 Б Описание с помощью функций различные реальные зависимости между величинами, интерпретация 75% 56% 20%
18 Б Анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках. 73% 11% 40%
Итого базовый уровень сложности 74% 37% 27%
23 В Строить и читать графики функций, строить и исследовать простейшие математические модели. 0 0% 0%
Итого высокий уровень сложности: 0% 0% 0%
По результатам ОГЭ за три последних года по этой теме процент выполнения заданий учащимися школы базового уровня снизился с 74% в 2014 году до 27% в 2016 году. К решению заданий высокого уровня учащиеся не приступали.
С каждым годом уменьшается количество учащихся 9 класса от 15 в 2014 году до семи в 2016 году. Вместе с тем увеличивается количество учащихся с ОВЗ, обучающихся по АООП ЗПР.
Требования к содержанию и уровню подготовки обучающихся для проведения ОГЭ по математике.
№ задания
Основные проверяемые требования к математической подготовке Коды проверяемых элементов содержания
коды разделов элементов требований уровень сложности максимальный балл за выполнение задания
Часть 1
Модуль «Алгебра»
5 Уметь строить и читать графики 5 4 Б 1
Модуль «Реальная математика»
15 Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами, интерпретировать графики реальных зависимостей. 5 7 Б 1
18 Анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, н а диаграммах, графиках 8 7 Б 1
Часть 2.
Модуль «Алгебра»
23 Уметь строить и читать графики функций, строить и исследовать простейшие математические модели 4,5 4,2 В 2

Код раздела код контролируемого умения Требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы
4 уметь строить и читать графики функций
4.1 Определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами.
4.2 Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции, решать обратные задачи.
4.3. Определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значение функции)
4.4 Строить графики изученных функций, описывать их свойства
7 7.4 Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами, интерпретировать графики реальных зависимостей
7.6 Анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках

код раздела код контролируемого элемента Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы
5 Функция
5.1 Числовые функции
5.1.1 Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции.
5.1.2 График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значение функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, чтение графиков функции.
5.1.3 примеры графических зависимостей, отражающие реальные процессы
5.1.4 Функция, описывающая прямую пропорциональную зависимость, её график
5.1.5 Линейная функция. Её график, геометрический смысл коэффициентов
5.1.6 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график. Гипербола.
5.1.7 Квадратичная функция, её график. Парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии.
5.1.8 График функции
5.1.9 График функции у =
5.1.10 График функции у =
8 Статистика и теория вероятности
8.1 Описательная статистика
8.1.1 Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков
Как видно из обобщенного плана варианта КИМ 2017 года задания на чтение графиков функции, описание с помощью функций различных реальных процессов между величинами, интерпретация графиков реальных зависимостей, анализ реальных числовых данных, представленных на графиках, входят в три задания базового уровня (№ 5,15,18) первой части и задание № 23 высокого уровня сложности модуля «Алгебра» части 2.
В пятом задании идет работа с графиками функций. В большинстве случаев требуется установить соответствие между графиком функции и математическим выражением (формулой). В задании сопоставляется различная информация о функциях. Необходимо находить и  использовать в выполнении задания область определения функции, ее промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, уметь читать графики функций. Работать надо с функциями, описывающими прямую и обратную пропорциональные зависимости, линейными функциями, квадратичными функциями. 
Теоретическая часть.
Зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией. Зависимость каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента.
Значение зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.
Линейная функция.Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b – некоторые числа.
График функции y=kx+b, где k≠0, есть прямая, параллельная прямой y=kx. Если b>0 – график поднимается вверх. Если b<0 – то график опускается вниз.
Формула y=kx+b при k=0 принимает вид y=b. В этом случае графиком функции y=kx+b является прямая, параллельная оси x при b≠0 или сама ось xпри b=0.
На рисунке построен график функции y=3. Таким Образом, график линейной функции является прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Обратная пропорциональность.Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y= kx, где x-независимая переменная, k - не равное нулю число.
Число k в формуле y=kx называется коэффициентом прямой пропорциональности.
Если k>0 функция возрастает.
Если k<0 функция убывает.
График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Определение. Обратную пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой вида y = , где x – независимая переменная и k – не равное нулю число.
Областью определения функции является множество всех чисел, отличных от нуля. Это следует из того, что выражение y = имеет смысл при всех x≠0.
Свойства функции:
Если x>0, то y>0; если x<0, то y<0.
На промежутке (-∞; 0) функция убывает, на промежутке (0; +∞) функция также убывает.
Если положительное x стремится к 0, то y = cтремится к 0. Если отрицательное x стремится к 0, то y = , стремится к -∞; если x стремится к -∞, то y = стремится к 0.
Функция y = нечетная функция. Поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
Функция непрерывна на каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞).
График функции y = (k>0) можно получить из графика функции y = растяжением его в k раз вдоль оси Oy, если k>1, и сжатием его в k раз вдоль оси Oy, если 0<k<1.
График функции y = при k≠0 также называют гиперболой.
При k>0 точки гипербол находятся в 1 и 3 четвертях, а при k<0 – во 2 и 4 четвертях. Говорят, при k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четвертях, а при k<0 – во 2 и 4 четвертях.
Чтобы построить график функции y = надо построить график функции y = , затем сначала сдвинуть построенный график на│x0│единиц вправо , если x0>0, и влево, если y0<0, и вниз, если y0<0.
Чтобы построить график функции y = надо сдвинуть построенный график на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

Функция y =
Пусть n (n≥2) – натуральное число. Каждому неотрицательному числу x поставим в соответствие число y, равное арифметическому корню степени n из x. Иными словами, на множестве неотрицательных чисел зададим функцию y =
Таким образом, областью определения функции является множество неотрицательных чисел: x≥0.
Отметим следующие свойства функции.
Если x=0, то y=0.
Если x>0, то y>0.
Функция возрастает.
Если x→+∞, то y→+∞/
Функция непрерывна.
Легко видеть, что график функции отражает свойства 1-5 функции.
Действительно, график функции проходит через начало координат – свойство 1; график функции расположен выше оси Ox для x>0 – свойство 2; график изображает возрастающую функцию – свойство 3; при x→+∞ ординаты соответствующих точек графика функции неограниченно возрастают – свойство 4; график функции есть непрерывная кривая – свойство 5.
Приведем еще некоторые свойства арифметических корней.
Если x>1, то >1
Если 0<x<1, то 0<<1
Квадратичная функция и ее график

Функция y=ax2, ее график и свойства.
Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
y=ax2+bx+c,
где x- независимая переменная, a, b и c–некоторые числа, причем a≠0.
Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел.
График функции y=ax2, где a≠0, как и график функции y=x2, называется параболой.
Сформулируем свойства функции y=ax2 при a>0.
Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат.
Если x≠0, то y>0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.
Функция убывает в промежутке (-∞; 0] и возрастает в промежутке [0; +∞).
Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0; +∞).
Теперь сформулируем свойства функции y=ax2при a<0.
Если x=0, то y=0. График функции проходит через начало координат.
Если x≠0, то y<0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равным значения функции. График функции симметричен относительно оси y.
Функция возрастает в промежутке (-∞; 0] и убывает в промежутке [0; +∞).
Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток (-∞; 0].


График функции y=a(x-m)2 является параболой, которую можно получить из графика функции y=ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси xна m единиц вправо, если m>0, или на –m единиц влево, если m<0.




График функции y =


Разбор типовых заданий
На рисунках изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты:
А) a > 0, c > 0Б) a < 0, c > 0В) a > 0, c < 0
Графики:

Решение:
Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида
y = ax² + bx + c. Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если  a < 0, то ветви направлены вниз.
Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.
У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0. Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c. Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:
если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х
если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x
Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.
Из всего вышеперечисленного можно найти ответ: 321.

Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции:
A) y = -3/xБ) y = 3/xВ) y = 1/(3x)
Графики:

Решение: В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.
Общие правила:
если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четверти
если перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертях
Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.
Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:
чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскости
и наоборот:
чем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осям
Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.
Ответ: 231.

Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции:
A) y = 3xБ) y = -3xВ) y = (1/3)x
Графики:

Решение: Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида y = kx + b
График данной функции зависит от k и b.
если k < 0,  то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если  b > 0, то выше ноля в точке y = b
если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на первом и втором графике), если k <1 , то на рисунка №3
Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.
Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.
Ответ: 231.
3. Выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика функции у = ах2 + +bх + с.
Решение: Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из коэффициентов.
1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 – вниз.
2) Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы. При b = 0 вершина лежит на оси ОY.
3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ.
После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а, b и с по графику функции.

Значение с можно назвать точно: поскольку график пересекает ось ОУ в точке (0; 1), то с = 1.
Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0.
Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: , m= - так как а < 0 и т = 1, то b > 0.
4. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а, b и с.
1) у = –х2 + 2х;
2) у = 12х2 + 2х + 2;
3) у = 2х2 – 3х – 2;
4) у = х2 – 2.
Решение.
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:
а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = 2х2 – 3х – 2. Ответ: 3.
5. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а, b и с.
у = х2 – 2х;
у = –2х2 + х + 3;
у = –3х2 – х – 1;
у = –2,7х2 – 2х.
Решение.
По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:
а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;
b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;
с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).
Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = –2,7х2 – 2х. Ответ: 4.
6. По графику функции у = ах2 + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:
а) б)
Решение.
а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.
Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: m= - . По графику видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b > 0.
б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а, b и с: а < 0, с > 0, b < 0.
Для каждого графика укажите соответствующую ему формулу.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

На рисунке изображен график функции y=ax2+bx+c. Найдите значение b.

Найдите значение k по графику y = kx , изображенному на рисунке.



Найдите значение по графику функции .

Если у нас график квадратичной функции на рисунке пересекает ось ординат, то достаточно вместо x подставить 0. Получим y = c - это и будет искомое значение. Если график на рисунке не пересекает ось ординат то:
Найти значение a по графику функции y=ax2 + bx+c. Уравнение параболы y=ax2+bx+c запишем в другом виде: y=a(x-m)2 +n, где (m;n)- координаты вершины параболы
Поиск:
а) (m;n) = (-4; 1) - вершина
б) (x; y) = (-3; 0) - точка параболы
а) a(-3+4)2 +1=0
а = -1
2.Найти значение b по графику функции y=ax2+bx+c. Уравнение параболы y= аx2+bx+c запишем в другом виде: y=a(x-m)2 + n, где (m-n) - вершина параболы/ Формула абсциссы параболы: m= , b=-2am, b=-2*(-1)*(-4) = - 8, b = - 8.
3.Чтобы найти значение с, подставим в формулу функции y=ax2+bx+c значение коэффициента а = -1, значение коэффициента b = -8, значение (x; y) = (-3;0) - координат точки параболы.
0= -1*(-3)2+(-8)*(-3)+с
0= -9+24+с, с=-15.
Ответ: -15.
Найти значение a по графику функции y=ax2+bx+c

Уравнение параболы y=ax2+bx+c запишем в другом виде: y = a(x-m)2 + n, где (m;n) - координаты вершины параболы.
Поиск:
а) (m;n) = (-4; 1)-вершина
б) (x; y) = (-3; 0)-точка параболы
а*(-3+4)2+1=0
а = -1
Ответ: -1.
График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
y=-2) y=; 3) y= - ; 4) y=

Поиск:
K<0 (ветви гиперболы в 2 и 4 четвертях). Тогда рассматриваем 1) и 3) функции;
Выберем на графике произвольную точку, например: A( 1; -2)
Подставим координаты точки А в 1) и 3) уравнение:
1)-2=-(верно) 3) -2= -(неверно)
Ответ: 1
Укажите номер рисунка, на котором изображён график функции y=x2-2x+3.
2) 3) 4)

Поиск:
1.a>0 (ветви параболы - вверх), тогда рассматриваем 1) и 2) рисунки;
2.Выберем на графиках произвольную точку: 1) А(1; 2) 2) В(-1; 2)
3.Подставим координаты точек А и В в уравнение:
1) 2=12-2*1+3(верно)
2) 2=(-1)2-2(-1)+3(неверно)
Ответ:1.
Укажите номер рисунка на котором изображен график функции y=- 2x 2) 3) 4)

Поиск:
1.k=-2 (ветви гиперболы – во 2 и 4 четвертях)
2.Рассматриваем 3) и 4) рисунки.
3.Выберем на графиках произвольные точки: 3) А(1; -0,5) и 4)В(1; -2)
4.Подставим координаты точек А и В в уравнение:
3) 1*(-0,5)=-2(неверно)
4)1*(-2)=-2(верно)
Ответ: 4.
Укажите номер рисунка, на котором изображена гипербола.
1)
2)

3)
4)

Чтобы выполнить задание этой группы необходимо хорошо знать, как выглядят графики каждой функции.
№1. График гипербола, k>0ветви гиперболы находятся в I и III четвертях.
№2. Функция квадратичная, график парабола, а<0 ветви направлены вниз.
№3. Функция линейная, график прямая, k<0 функция убывающая.
№4.График функции
Ответ:1.
Укажите номер рисунка - график функции .
1)
2)

3)
4)

Функция y=x2 +2x-3 квадратичная, графиком является парабола, а>0 ветви направлены вверх.
Ответ: 4.
На рисунке изображены графики функций вида y= kx+b.Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.
Графики
1 2 3 4
Коэффициенты
А) k >0, b < 0;
Б) k > 0; b > 0;
В) k < 0; b < 0.
Решение.
Графиком функции вида y = kx + b является прямая, направление которой определяется знаками коэффициентов k и b.
k<0k>0
Используя данную таблицу, определяем по графику знаки коэффициентов k и b.
1 2 3 4
k<0 b <0 k > 0 b < 0 k > 0 b > 0 k < 0 b > 0
Вывод:
А Б В
2 3 1
Ответ: 231.
Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.
Формулы
A) y = -3x Б) y = - В) y =
Графики
1) 2) 3)
Решение.
Графиком функции вида y = kx является прямая, которая проходит через точку (0;0) направлена в соответствии со знаком коэффициента k.
k<0k>0
Используя таблицу, определяем по графику знаки коэффициента k.
1) 2) 3)
k < 0
k < 0 имееют две формулы A) y = - 3x и Б) y = -. Для определения значения коэффициента выберем произвольную точку графика, например (1;-3) и подставим в формулу общего вида y = kx, получаем -3 = =k*1, k = - 3. Значит данному графику соответствует формула A) y = -3x k > 0
k > 0 имеет формула В) y =
k < 0
k < 0 имееют две формулы A) y = -3x и Б) y = - . Для определения значения коэффициента выберем произвольную точку графика, например (3;-1) и подставим в формулу общего вида y = kx. Получаем -1 = k*3.
k=-13. Значит данному графику соответствует формула Б) y = -
Вывод:
А Б В
1 3 2
Ответ: 132.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
А) y = Б) y = В) y = -
Графики
1 2 3 4
Решение.
Графиком функции y = является гипербола, расположение которой определяется знаком коэффициента k.
k > 0 k < 0

Используя таблицу, определяем по графику знаки коэффициента k.
1 2 3 4
По графикам 1 и 2 определяем , что k < 0, что соответствует формуле В) y = - . Для определения соответствующего графика подставим координаты произвольной точки каждого графика в формулу. По графикам 3 и 4 определяем , что k > 0, что соответствует формулам А) y = и Б) y = . Для определения соответствующего графика подставим координаты произвольной точки каждого графика в формулу.
Выберем произвольную точку графика, например x = 1 и подставим в формулу В) y = - . Получаем - = - 9. что не соответствует графику. Выберем произвольную точку графика, например (3;-3) и подставим в формулу В) y = - . Получаем – 3 = ,
т. е. -3 = -3.
Вывод: B Выберем произвольную точку графика, например (3;3) и подставим: Выберем произвольную точку графика, например x = 1 и подставим
в оставшуюся формулу А) y = . Получаем
y = = , что соответствует графику( при x=1 значение y<1).
Вывод: А
в формулу
А) y =
Получаем
3 . в формулу Б) y =
Получаем 3=3.
Вывод:
Б . Анализируя все рассуждения получаем А Б В
4 3 2
Ответ: 432.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
1) y = x2 - 2 2) y = x2 3) y = 2x 4) y = -
Графики
А) Б) В)

Решение.
А) Б) В)
Графиком является парабола, соответствующая формуле 1) y = x2 - 2 (функция вида y = x2, сдвинута на 2 единицы вниз). Графиком является гипербола, соответствующая формуле 4) y = - .
Графиком является прямая, соответствующая формуле 3)
Вывод: А Б В
1 4 3
Ответ: 143.
На рисунке изображены функции вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А Б В
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0,
2) a < 0, c < 0,
3) a > 0, c < 0,
4) a > 0, c > 0.
Решение.
Для определения знака коэффициента a замечаем, что
a < 0 - ветви параболы направлены вниз;
a > 0 - ветви параболы направлены вверх.
Для определения знака коэффициента c находим координату точки пересечения параболы с осью Oy, это значение равно коэффициенту c.
А Б В
a > 0, c > 0 a > 0, c > 0 a < 0, c > 0
Вывод: А Б В
4 3 1
Ответ: 431.
На рисунке изображены функции вида y = ax2 + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.
Графики
А Б В Г
Знаки чисел
1) a > 0, D > 0
2) a > 0, D < 0,
3) a < 0, D > 0,
4) a < 0, D < 0.
Решение.
Графиком функции вида y = ax2 + bx + c является парабола.
При этом возможны следующие случаи:
a > 0 a < 0
1. Парабола пересекает ось x (т.е. уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня, D > 0 ).

2. Парабола не пересекает ось x (т.е. уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет корней, D < 0).

3. Парабола пересекает ось x в одной точке (т.е. уравнение ax2 + bx + c = имеет один корень, D = 0).

Используя таблицу, определяем по графику знаки значения коэффициента a и дискриминанта D.
А Б В Г
a > 0, D > 0, a < 0, D < 0 a > 0, D < 0 a < 0, D < 0
Вывод: А Б В Г
1 4 2 3
Ответ: 1423.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А Б В

Формулы
1) y = 2x2 + 6x + 3
2 y = 2x2 - 6x + 3
3) y = -2x2 - 6x - 3
4) y = -2x2 + 6x - 3
Решение.
А) Б) В)
По графику можно определить, что a<0, c=-3, но этому условию соответствует две функции :
3) y = -2x2 - 6x - 3
4) y = -2x2 + 6x - 3
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы x0 = По графику можно определить, что a > 0, c = 3, но этому условию соответствует две функции :
1) y = 2x2 + 6x + 3
2) y = 2x2 - 6x + 3
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы
x0 = По графику можно определить, что , a < 0, c = - 3, но этому условию соответствует две функции :
3) y = -2x2 - 6x - 3
4) y = -2x2 + 6x - 3
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы.
x0 =
3)y = -2x2- 6x - 3
x0== -1,5Вывод: 3 4)y =-2x2 +6x -3
x0== 1,5
x0=1,5 - не соответствует графику.
1) y = 2x2 + 6x + 3
x0== -1,5
Вывод: Б 12) y=2x2-6x+3
x0=
- не соответствует графику.
3)y = -2x2-6x -3
x0=
- не соответствует графику. 4)y = -2x2+6x- 3
x0=
Вывод: B
Анализируя все рассуждения, получаем: А Б В
3 1 4
Ответ: 314.
На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.

Утверждения
А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке Промежутки
1)
2)
3)
4)
Решение.
1) [0;3] 2) [-1;1] 3) [2;4] 4) [1;4]

Вывод: функция на данном промежутке не монотонна. Вывод: функция на данном промежутке возрастает, т.е. А 2 .Вывод: функция на данном промежутке убывает, т.е. Б 3 .Вывод: функция на данном промежутке не монотонна.
Анализируя все рассуждения получаем А Б
2 3
Ответ: 23.
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f (x)

Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
1) f (x) > 0 при x > 2.
2) Функция убывает на промежутке
3) f (0) < f (5)
Решение.
1) f (x) > 0 при x > 2 2) Функция убывает на промежутке 3) f (0) < f (5)

Вывод: утверждение не верно. Вывод: утверждение верно. Вывод: утверждение не верно.
Ответ: 2.



Задания для самостоятельного решения.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
Графики функций
А Б В
Формулы
1) y = x +3 2) y = - 3x 3) y = 3 4) y = 3
На рисунке изображены графики функций вида. y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.
Графики
1 2 3 4
Коэффициенты
А) k < 0, b < 0.
Б) k < 0, b > 0
В) k > 0, b < 0.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) Б) В)
Формулы
1) y = 2) y = 3) y = - 4) y =

4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
1) y = x2 + 2 2) y = - 3) y = 2x 4) y =
Графики
А) Б) В)
5. На рисунке изображены функции вида . y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А Б В
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0.
2) a < 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
4) a < 0, c > 0
6. На рисунке изображены функции вида y = ax2 + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.
Графики
А Б В Г
Знаки чисел
1) a > 0, D > 0
2) a > 0, D < 0
3) a < 0, D > 0
4) a < 0, D < 0
7. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А Б В
Формулы
1) y = x2+7x + 16
2) y = - x2 - 7x - 16
3) y = - x2 + 7x – 16
4) y = x2 - 7x + 16
На рисунке изображён график квадратичной функции y = f (x)

Какие из следующих утверждений о данной функции являются неверными? Запишите их номера.
1) f (x) < 0 при x < 1
2) Наибольшее значение функции равно 3;
3) f (x) > f (4)
На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.

Утверждения
А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке Промежутки
1)
2) [ 3) [-3;-1]
4) [-2; 2]
10.

11.


Некоторые полезные советы учащимся для успешной подготовки к ОГЭ по математикеНе секрет, что успешнее сдает экзамен тот, кто в полном объеме владеет материалом, хорошо знаком с процедурой проведения экзамена, психологически готов к экзамену и адекватно реагирует на нестандартные ситуации.
Хорошо знать документы, регламентирующие проведение экзамена по математике:
«Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике»
«Кодификатор элементов содержания для проведения основного государственного экзамена по математике»;
«Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;
«Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;
Литературу для подготовки к ОГЭ.
Список сайтов, содержащих демоверсии и позволяющие онлайн-тестироваться.
На основании школьного плана подготовки к экзамену, составить личный план, включив в него консультации, которые проводит учитель, расписание «пробных» ОГЭ.
Тщательно анализировать пробные ОГЭ. По итогам пробных ОГЭ корректировать самостоятельную подготовку к экзамену.
Собирать свой портфолио-папку со всеми выполненными пробниками. Вести мониторинг выполнения всех заданий пробных экзаменов.
Серьезное внимание уделять устному счету, который проводит учитель на уроках. Эти упражнения активизируют мыслительную деятельность, требуют осознанного усвоения учебного материала. При их выполнении развивается память, речь, внимание, быстрота реакции. Устные упражнения позволяют корректировать знания, умения и навыки учащихся, а также автоматизировать навыки простейших вычислений и преобразований.
Научиться «читать» условие задачи до начала решения и после ее решения для того, чтобы верно ответить на поставленный вопрос (что нужно было найти?).
Заключение.Математика – это набор инструментов, который необходим в познании окружающего мира. И этим инструментом необходимо владеть в совершенстве, чтобы познавать, развивать и изменять нашу жизнь.
Все изученные в школе функции относятся к классу элементарных функций, и строить графики этих функций интересно и просто. А график является портретом функции, поэтому выполнять задания следует после того, как изучен весь теоретический материал по теме.
В своей работе я обобщила знания о функции, о их графиках и свойствах. Изучила и систематизировала прототипы заданий ОГЭ, привела алгоритмы их решения. В процессе этой работы наглядно видно, что задания по теме «Функции», представленные в разных вариантах, имеют не одинаковый уровень сложности. Это подтверждает и изучение результатов экзаменов 2013/14, 2014/15, 2015/17 учебных годов.
Используемая литература3000 задач с ответами по математике. Задачник. ч.1._Ященко_2017 - 480с
Учебное пособие "ОГЭ 2017. Математика. 9 класс. Основной государственный экзамен. Тематические тестовые задания: Три модуля: алгебра, геометрия, реальная математика" Минаевой С.С. 
ОГЭ-2017. Математика. Новый сборник заданий. Лаппо, Попов, 2017 -160 с
https://infourok.ru/metodicheskoe-posobie-dlya-podgotovki-k-oge-po-teme-funkcii-i-grafiki-funkciy-1142155.htmlhttp://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2015/04/07/funktsii-i-grafiki-na-oge-po-matematikehttp://85.142.162.119/os11/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=3a79f6089541e311b960001fc68344c9&proj_guid=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07Bhttps://math-oge.sdamgia.ru/test?id=6473675&nt=True&pub=Falsehttp://spadilo.ru/oge-po-matematike/https://www.youtube.com/watch?v=p9hegRGXD-4http://www.uchportal.ru/video/vic/ogeh_gia_po_matematike/zadacha_5

Приложенные файлы


Добавить комментарий