«Проект «Методы решения тригонометрических уравнений!»

Областное государственное автономное
образовательное учреждение
дополнительного профессионального образования
«Белгородский институт развития образования»












Методы решения тригонометрических уравнений
(проектное задание)







Выполнила:
Остапенко Татьяна Ивановна,
учитель математики и физики
МБОУ «Бехтеевская СОШ
Корочанского района
Белгородскойобласти
Руководитель курса:
Вертелецкая О.В.,
старший преподаватель
кафедры естественно-
математического образования






Белгород

СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Введение.3
Теоретическая часть....4-6
Практическая часть7-18
Заключение19-20
Библиография....21
Приложение






















Введение
Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения.
Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.
Теоретическая часть
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида
sin x = a, cos x= a, tq x = a, ctq x = a
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать.
sinx = a, x = (-1)karcsin a +
·k, kЄZ,
arcsin a - угол, содержащийся в промежутке от -
·/2 до
·/2, синус которого равен a.
cosx= a, x=13 QUOTE 1415arccos a +2
·k, kЄZ,
arccos a - угол, содержащийся в промежутке от 0 до
·, косинус которого равен a.
tq x = a, x = arctq a +
·k, kЄZ,
arctg a - угол, содержащийся в промежутке от -
·/2 до
·/2, тангенс которого равен a.
ctq x = a, x = arcctq a +
·k, kЄZ,
arcctg a - угол, содержащийся в промежутке от 0 до
·, котангенс которого равен a.
Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.
Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда тригонометрические функции равны -1, 0, 1, в которых решение записывается без применения общих формул.
Частные случаи
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций.
Рекомендации по решению тригонометрических уравнений
Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения.
Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.
Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.
Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Практическая часть
Методы решения тригонометрических уравнений.
При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа – число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции, используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.
Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций.
Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
Примеры
1)Решить уравнение 2sin213 QUOTE 1415 + 3sin13 QUOTE 1415 2 = 0.
Это уравнение является квадратным относительно sin13 QUOTE 1415.
Его корни: sin13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415, sin13 QUOTE 1415 =2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как Isin13 QUOTE 1415l13 QUOTE 14151, решения первого можно записать так:
13 QUOTE 1415 +2k13 QUOTE 1415,13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415+ 2k13 QUOTE 1415
Если в уравнении встречаются разные тригонометрические функции, то надо заменить их все на какую-нибудь одну, используя тригонометрические тождества.
2) Решить уравнение 2sin13 QUOTE 1415 + cos13 QUOTE 1415 = 2.
Если в этом уравнении заменим косинус на синус (по аналогии с предыдущими примерами) или наоборот, то получим уравнение с радикалами. Чтобы избежать этого, используем формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла:
13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415.
Делая замену, получаем уравнение относительно13 QUOTE 1415: 13 QUOTE 1415.
Квадратное уравнение 13 QUOTE 1415 имеет корни 13 QUOTE 1415 откуда

Это же уравнение можно решить другим способом, вводя вспомогательный угол:
13 QUOTE 1415
Пусть13 QUOTE 1415. Тогда можно продолжить преобразование: 13 QUOTE 1415. Получаем простейшее уравнение 13 QUOTE 1415 т. е. 13 QUOTE 1415 , откуда 13 QUOTE 1415, или 13 QUOTE 1415
Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле совпадают.
Понижение порядка уравнения.
Формулы удвоения 13 QUOTE 1415позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заменять линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.
Примеры
1)Решить уравнение13 QUOTE 1415.
Можно заменить cos213 QUOTE 1415 на 2cos213 QUOTE 14151 и получить квадратное уравнение относительно cos13 QUOTE 1415, но проще заменить13 QUOTE 1415на 13 QUOTE 1415и получить линейное уравнение относительно13 QUOTE 1415.
2) Решить уравнение13 QUOTE 1415
Подставляя вместо13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 их выражения через13 QUOTE 1415, получаем:

13 QUOTE 1415,

213 QUOTE 1415
Использование тригонометрических формул сложения и следствий из них.
Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы сложения.
Примеры
1) Решить уравнение13 QUOTE 1415.
Сложим два крайних слагаемых:13 QUOTE 1415, откуда13 QUOTE 1415,13 QUOTE 1415. Тогда13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415.
2) Решить уравнение13 QUOTE 1415.
Преобразуем произведение синусов в сумму:13 QUOTE 1415,
откуда13 QUOTE 1415. Полученное уравнение можно решить разными способами: 1) воспользоваться формулами сложения; 2) преобразовать 13 QUOTE 1415в произведение. Удобнее воспользоваться условием равенства косинусов двух углов 13 QUOTE 1415 и13 QUOTE 1415:13 QUOTE 1415.
Получаем два уравнения:13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Здесь решения второй серии содержат в себе все решения первой серии. Учитывая это, ответ можно записать короче:13 QUOTE 1415.
Однородные уравнения.
Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решить, выполнив деление на старшую степень синуса (или косинуса).
Так как13 QUOTE 1415, то постоянные слагаемые можно считать членами второй степени.
Пример: 13 QUOTE 1415.
Заменяя 4 на 13 QUOTE 1415,получаем:13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Переход к половинному углу
Рассмотрим этот метод на примере:
Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Решение.
6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos І ( x / 2 ) + 5 sin І ( x / 2 ) =
= 7 sin І ( x / 2 ) + 7 cos І ( x / 2 ) ,
2 sin І ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos І ( x / 2 ) = 0 ,
tg І ( x / 2 ) – 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
Введение вспомогательного угла
Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и sin [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]( здесь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример. Решить уравнение: 13EMBED Equation.31415
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований.
Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию.
Пример. Решите уравнение 13 QUOTE 1415
Решение. Раскроем скобки и преобразуем произведение
13 QUOTE 1415в сумму:13 QUOTE 1415
Умножим обе части уравнения на13 QUOTE 1415. Заметим, что 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 не является решением данного уравнения. 13 QUOTE 1415. Преобразуем левую часть уравнения:
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415тогда
13 QUOTE 1415 или13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415
Исключим из найденных серий корни вида 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415:
а)13 QUOTE 1415. Ясно, что13 QUOTE 1415 - четное число, т.е. 13 QUOTE 1415, а потому 13 QUOTE 1415.
б)13 QUOTE 1415.Tax как 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415,но тогда 13 QUOTE 1415,13 QUOTE 1415.
Ответ:13 QUOTE 1415
Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции.
Пример. Решите уравнение13 QUOTE 1415.
Решение. Область определения уравнения задается неравенствами:

При6авим к обеим частям уравнения по единице. 13 QUOTE 1415;

Разделим обе части уравнения на 13 QUOTE 1415и после преобразований получим.
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Тогда 13 QUOTE 1415или 13 QUOTE 1415.
Из первой серии корней области определения принадлежит только 13 QUOTE 1415,13 QUOTE 1415 но это серия корней содержится в серии13 QUOTE 1415. Нетрудно убедиться, что 13 QUOTE 1415 входит в область определения. Например:13 QUOTE 1415что верно, поскольку левая часть - число четное, а правая - нечетное.
Ответ:13 QUOTE 1415.
Тождественные преобразования одной из частей уравнения.
Пример. Решите уравнение 13 QUOTE 1415.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:


13 QUOTE 1415


Откуда 13 QUOTE 1415, тогда 13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415

Легко видеть, что 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
Использование свойств пропорции.
Необходимо помнить, что применение равенств
13 QUOTE 1415 и т. д. приводит к изменению области определения уравнения. Так, у пропорции13 QUOTE 1415 существует ограничение: 13 QUOTE 1415, а у пропорции 13 QUOTE 1415 место другое ограничение:13 QUOTE 1415.
Пример. Решите уравнение 13 QUOTE 1415
Решение. Применяя формулу тангенса разности, получим уравнение: 13 QUOTE 1415. Используем свойство пропорции: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415Область определения исходного уравнения:13 QUOTE 1415
В ходе решения произошло сужение области определения, добавились новые, ограничения: 13 QUOTE 1415откуда 13 QUOTE 1415
Проверим, удовлетворяют ли исходному уравнению значения

а) 13 QUOTE 1415-верное равенство,
13 QUOTE 1415 - решение исходного уравнения.
б) 13 QUOTE 1415верное равенство.
в)13 QUOTE 1415-1 13 QUOTE 1415 -1 - верное равенство, Ответ:13 QUOTE 1415
Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений.
При решении некоторых тригонометрических уравнений бывает удобно использовать ограниченность функций, 13 QUOTE 1415 и13 QUOTE 1415. Покажем это на конкретных примерах.
Пример 1. Решите уравнение 13 QUOTE 1415.
Решение. Так как 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415,13 QUOTE 1415, откуда 13 QUOTE 1415и возможные корни данного уравнения 13 QUOTE 1415 Подставив эти значения в левую часть уравнения, получим13 QUOTE 1415 а последнее равенство возможно только при 13 QUOTE 1415.
Следовательно, 13 QUOTE 1415- решение данного уравнения.
Ответ:13 QUOTE 1415
Пример 2. Решите уравнение 13 QUOTE 1415.
Решение. Легко видеть, что 13 QUOTE 1415и 13 QUOTE 1415. Следовательно, 13 QUOTE 1415, но тогда 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, откуда 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 возможные корни данного
уравнения. Подстановка13 QUOTE 1415 в данное уравнение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.
Ответ:13 QUOTE 1415.
Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени
Пример 1.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные.
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Уравнения повышенной сложности
( Сканави М.И.8.022)
2sin3 x +2sin2x cos x – sin x cos2x – cos3x = 0 | : cos3x
· 0;
т.к. уравнение однородное тригонометрическое 3-ей степени
2tg3x + 2tg2x – tgx – 1 = 0;
Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены, получим
(tg x + 1)(2tg2x – 1) = 0;
tgx = -1 х= - 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415n , n
· Z
tgx= 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415; х= 13 QUOTE 1415arctg13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415k, k
· Z.
Ответ: - 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415n , n
· Z ;13 QUOTE 1415arctg13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415k, k
· Z.
( Сканави М.И.8.081)
6sin2x + sin x cos x – cos2x = 2;
4sin2x + sin x cos x – 3 cos2x = 0; | : cos2x
· 0;
т. к. уравнение однородное тригонометрическое 2-ой степени
4tg2x + tg x – 3 = 0;
tgx = -1, х= - 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415n , n
· Z
tgx= 13 QUOTE 1415; х= arctg 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415k, k
· Z.
Ответ: - 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415n , n
· Z;
arctg 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415k, k
· Z.
( Сканави М.И. 8.076)
sin x – sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0;
сгруппировав первое с третьим, второе с четвертым слагаемые левой части и применив формулы суммы и разности синусов, получим
2sin 3x cos 2x + 2sin 3x cos 5x = 0;
вынесем в левой части общий множитель за скобки и применим формулу суммы косинусов
2sin 3x
· 2 cos 13 QUOTE 1415 cos 13 QUOTE 1415 = 0;
sin 3x = 0, x = 13 QUOTE 1415, n
· Z
cos 13 QUOTE 1415 = 0, x = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 , k
· Z
cos 13 QUOTE 1415 = 0; x =13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415, m
· Z.
Произведем отбор корней, воспользовавшись тригонометрической окружностью

Ответ: 13 QUOTE 1415, n
· Z;
13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 , k
· Z \ { 7m+3| m
· Z }.



( Сканави М.И. 8.076)
13 QUOTE 1415 = 2;
воспользуемся формулой косинуса двойного угла
13 QUOTE 1415 = 2;
sin 13 QUOTE 1415 = 1,
sin 13 QUOTE 1415
· 0;
sin 13 QUOTE 1415 = 1;
х=13 QUOTE 1415 + 413 QUOTE 1415, k
· Z.
Ответ:13 QUOTE 1415 + 413 QUOTE 1415, k
· Z.
(Сканави М.И. 8.120)
13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 =0
;понизим степень, воспользовавшись формулами косинуса двойного угла
1 +cos x +1 + cos 3x -1 +cos 4x -1 +cos 8x =0;
сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулой суммы косинусов
2cos 2x cos x + 2cos 2x cos 6x =0;
2cos 2x 2cos 3,5x cos 2,5x=0;
произведение всюду определенных множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю
cos 2x=0 2x=13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415, n
· Z
cos 3,5x=0 3,5x=13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415, m
· Z
cos 2,5x=0; 2,5x=13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415, k
· Z;
x=13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415, n
· Z
x=13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415, m
· Z
x=13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415, k
· Z .
Ответ:13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415, n
· Z;
13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415, m
· Z;
13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415, k
· Z .
Заключение.
Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.
В данной работе рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.
Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов.
Приведенные методы не исчерпывают все многообразие способов решений тригонометрических уравнений. Однако рассмотренные типы уравнений встречаются наиболее часто и важно уметь распознавать в данном уравнении тот или иной тип.
Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.
Библиография
Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. – 1995. - №2. –с. 40 – 42.
Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М., «Наука», 1982 г.
Г. И. Глейзер История математики в школе. – М.: «Просвещение» 1983г.
Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. «12 уроков по тригонометрии» - М.: Илекса, 2013.- 200 с.:ил.
Крамор В.С. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1979.
Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения», Армавир, 2005г.
Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. - М.: Новая школа, 1993.





















13 PAGE \* MERGEFORMAT 141815



Root EntryEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий