«Презентация на тему»Численное решение краевых задач для уравнений математической физики.Задача о поперечных колебаниях кольцевой мембраны с неоднородной плотностью массы.»»


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Численное решение краевых задач для уравнений математической физики. Задача о поперечных колебаниях кольцевой мембраны с неоднородной плотностью массыВыполнила: Кожевникова Ю.А. Актуальность темыПредметом математической физики (МФ) является разработка методов решения задач, возникающих при изучении явлений внешнего мира. Для типичных задач МФ применение численных методов сводится к замене уравнениями МФ для функций непрерывного аргумента алгебраическими уравнениями для сеточных функций. В связи с вышесказанным работа, посвященная исследованию численного решения задачи о колебаниях кольцевой мембраны с неоднородностью массы является актуальной.Объектом исследования является волновое уравнение для случая кольцевой мембраны.Предметом исследования являются численные методы решения волнового уравнения для случая кольцевой мембраны с неоднородностью массы. Цель работы и задачиЦелью работы является разработка библиотеки компьютерного моделирования колебаний кольцевой мембраны с неоднородностью массы.Для достижения поставленной цели необходимо решить задачи:Ввести основные понятия математической физики и выяснить классификацию уравнений по их типу;Рассмотреть численные методы решения систем дифференциальных уравнений, алгоритмы их решения;Рассмотреть вопросы решения волнового (параболического) уравнения. Разработать библиотеку методов для решения волнового уравнения кольцевой мембраны;Провести исследование поведения мембраны в зависимости от различных параметров. Глава 1. Численные методы решения краевых задач.В первой главе рассмотрены вопросы:Дифференциальные уравнения в частных производных. Тип волнового уравнения;Волновое уравнение для круглой мембраны. Начальные и граничные условия; Численные методы решения систем ДУ. Их дискретизация и аппроксимация;Методы решения систем алгебраических уравнений.В результате сделаны выводы:Для дискретизации системы ДУ, описывающих волновые процессы в круглой мембране, будет использован метод конечных разностей;При аппроксимации будет использована как явная, так и неявная схемы;Как прямые, так и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных в результате аппроксимации, имеют свои достоинства и недостатки. Волновое уравнениеВолновое уравнение — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах.Начальные и граничные условия являются дополнением к основному дифференциальному уравнению, задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.Начальные условия:Граничные условия:Первого родаВторого родаТретьего рода Глава 2. Задача о поперечных колебаниях кольцевой мембраны с неоднородной плотностью массыВ главе описан разработанный программный продукт, предназначенный для решения волнового уравнения для случая кольцевой мембраны. Были выполнены:Постановка задачи для случая кольцевой мембраны при симметричности граничных условий;Разработка алгоритмов решения параболических уравнений, как для явной, так и для неявной схемы;Реализация программного продукта «Кольцевая мембрана» и приведена подробная инструкция для пользователя.Проведен краткий анализ влияния различных факторов на колебательные процессы и сделаны соответствующие выводы. Постановка задачи для кольцевой мембраны и её конечно-разностная аппроксимация ВУ в случае задачи с осевой симметрией: Граничные условия: Начальные условия: Явная схема: где Неявная схема где Граничные условия илиМалый радиус: илиБольшой радиус: Начальные условия: Программное средство «Кольцевая мембрана»№МодульИсходный текстФормаПояснение1Membrana.dprФайл проекта.2Main.pasfMain.dfmГлавная форма, организующая интерфейс пользователя.3Global Global.pasМодуль описания структур данных, универсальных констант и используемых в модели зависимостей.4SolveSolve.pasМодель реализации разностных схем (явной и неявной), а так же расчет начального состояния.5ProgonProgon.pasРеализация метода прогонки6BoundaryConditionsBoundaryConditions.pasРеализация функций начальных и граничных условий.Таблица 1. Список модулей программы Главное окно программы
Разность большого и малого радиуса (ширина кольца)Ширина кольца =0,5Ширина кольца =0,75Ширина кольца =0,25Вывод: Ширина кольца существенно влияет на амплитуду колебаний при прочих равных условиях. Линия разделения плотностиЛиния посерединеЛиния 0,25Линия 0,75Линия 0,75, но плотности 5 и 1 соответственноВывод: Смещение границы раздела плотности вызывает смещение точки максимального отклонения в ту же сторону. Сила натяжения в состоянии равновесияСила натяжения равна 5Вывод: Сила натяжения существенно влияет на амплитуду колебаний.Сила натяжения равна 10 Внешняя силаВнешняя сила равна 5Вывод: Внешняя сила смещает центр колебаний в ту же сторону.Внешняя сила равна -5 Начальное смещениеНачальная скорость равна -5Вывод: Начальная скорость значительно влияет на амплитуду колебаний.Начальная скорость равна 10 ЗаключениеВ ходе выполнения работы были решены следующие задачи:Введены основные понятия математической физики и выяснена классификацию уравнений МФ по их типу;Подробно рассмотрен метод сеток, применяемый для решения систем дифференциальных уравнений различного типа, алгоритмы решения систем уравнений;Изучены шаблоны, сформулированы явные и неявные схемы для волнового уравнения в цилиндрической системе координат;Разработано программное средство «Кольцевая мембрана».Полученные результаты проанализированы, путем сравнения данных о поле перемещений и их качественным поведением в зависимости от различных факторов. Спасибо за внимание

Приложенные файлы


Добавить комментарий