Избранные вопросы математики. Нестандартные задачи


Элективный курс по математике для 10-11 класса
Избранные вопросы математики. Нестандартные задачиПояснительная записка
(34 часа)
Предлагаемый элективный курс предназначен для учащихся 10-11 классов общеобразовательного профиля. Курс опирается на знания и умения, полученные учащимися при изучении алгебры основной школы. Тематика курса составлена с таким расчетом, чтобы систематизировать и обобщить полученные на уроках знания учащихся, одновременно расширяя и углубляя их, а также рассмотреть некоторые вопросы, изучение которых не предусмотрено школьной программой.
Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Тематика задач не выходит за рамки курса образовательного стандарта, но уровень их трудности - повышенный, превышающий обязательный.
Особенности курса: приоритет развивающей функции обучения над информационной, усиление практической значимости изучаемого материала, широкие возможности для реализации уровневой дифференциации в обучении. Значительное место в учебном процессе отведено самостоятельной математической деятельности учащихся, учитывающей мыслительные особенности данного возраста.
Программа данного курса предусматривает:
формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
развитие математических способностей;
повышение уровня обученности учащихся;
подготовку учащихся к сдаче ЕГЭ, ЦТ.
Тематика программы обеспечивает:
интеллектуальное развитие учащихся;
формирование математического мышления;
формирование представлений об идеях и методах математики;
развитие познавательной активности учащихся и творческого подхода к решению математических задач;
формирование потребности к самообразованию и способности к адаптации в изменившемся обществе.
Цель курса:
обеспечение сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования;
систематизация и обобщение опорных знаний учащихся по математике;
подготовка учащихся к ЕГЭ по математике;
развитие логического и творческого мышления.
Задачи курса:
формирование умений и навыков комплексного осмысления знаний;
подготовка к успешной сдаче ЕГЭ по математике.
Достижению целей служат специально подобранные задачи. На занятиях рассматриваются такие задачи, решение которых не требует дополнительных знаний, но эти знания используются в новых нетривиальных ситуациях.
Занятия построены по схеме «Ключевая задача + упражнения». Разбор ключевых задач, в ходе совместной деятельности учителя с учащимися, позволяет обеспечить «ориентировку» в материале. Для отработки практических навыков используются долгосрочные домашние задания. В качестве контроля - релейные контрольные задания.
Структура материала курса такова, что учащиеся имеют возможность решать задачи теми способами и средствами, которыми к этому времени располагают в результате изучения материала основного курса. Многие задания допускают несколько способов решений, которые рассматриваются и разбираются на занятиях. Предпочтение отдается наиболее доступным, рациональным способам, которые помогут учащимся «набить руку» в практике решения разнообразных задач.
Ведущими методами преподавания являются метод проблемных задач, самостоятельная работа учащихся с различными источниками информации.
Формы учебных занятий:
уроки решения ключевых задач;
практикумы;
консультации;
зачетные занятия.
В работе с учащимися на занятиях применяются:
блочно- модульный подход в преподавании математики;
принцип дифференциации и индивидуализации;
разноуровневый дидактический материал;
В качестве контроля - релейные контрольные работы, самостоятельные работы.
Ожидаемый результат: При реализации данного курса результативность будет определяться количеством и качеством самостоятельно решенных учебных задач уровня возможностей (то есть задач так называемой «конкурсной математики», требующих знания специальных эффективных приемов решения), а также решения задач ЕГЭ части В и С.
Содержание и организация процесса обучения
Тематическое планирование построено в соответствии с содержательными линиями разделов, объединяющими связанные между собой вопросы. Эти вопросы могут рассматриваться как в 10-м, так и в 11-м классах, повторяя и дополняя друг друга.
Примерное планирование спецкурса
№ п/пСодержание материала Кол-во часов Форма контроля Примечание
1 Уравнения высших степеней 18 зачет 2 Уравнения и неравенства с модулем 16 зачет 10 класс
Глава1. Уравнения высших степеней (18часов)
Многочлены. Деление многочлена.
Теорема Безу. Схема Горнера.
Введение новой переменной.
Возвратные уравнения.
Однородные уравнения.
Выделение полного квадрата.
Метод неопределенных коэффициентов.
Дробно- рациональные уравнении.
Неравенства. Метод интервалов.
Уравнения и неравенства с двумя переменными.
Глава 2. Уравнения и неравенства с модулем.(16часов)
Уравнения вида: ;Неравенства вида: ;Уравнения и неравенства с несколькими модулями;
Уравнения и неравенства, содержащие модуль в модуле,
Уравнения и неравенства, решаемые заменой переменной;
Построение графиков функций, содержащих модуль (метод симметрии)
Метод областей.
Требования к результатам обучения
В результате изучения курса учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:
- знание математических определений и теорем, предусмотренных программой;
- умение точно и сжато выразить математическую мысль в письменном изложении, используя соответствующую символику;
- уверенное владение математическими умениями и навыками решения математических задач;
- свободно решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений (включая алгебраические, показательные, логарифмические и тригонометрические выражения);
Преобразовывать тригонометрические выражения и решать тригонометрические уравнения;
Решать тригонометрические неравенства;
Применять свойства многочленов к решению задач;
Делить многочлен на многочлен с остатком и без остатка, используя теорему Безу;
Использовать схему Горнера;
Решать системы линейных уравнений (методами Гаусса, Крамера);
Решать нелинейные алгебраические системы уравнений;
Решать однородные, симметрические, возвратные уравнения;
Решать иррациональные уравнения, системы уравнений;
Решать дробно- линейные, квадратные и иррациональные неравенства;
Решать уравнения, системы уравнений, неравенства с модулем;
Решать уравнения и неравенства с двумя переменными;
Строить графики функций, содержащих модуль;
Использовать метод областей;
Решать уравнения и неравенства: линейные, дробно- рациональные, квадратные с параметром аналитически и графически;
Применять свойства функций при решении уравнений;
Решать комбинированные уравнения и неравенства.
Инструментарий контроля
Зачетная работа по теме «Уравнения высших степеней»
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Ответы к зачетной работе по теме «Уравнения высших степеней»
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Зачетная работа по теме «Уравнения и неравенства с модулем»






Ответы к зачетной работе по теме « Уравнения и неравенства с модулем

- - 1
1

-8;-1;0
-3;2;
-3;3
- -1
-3;3
-5;1
-1;0;1;2

- -1;0;1;2
-8;-1;0
-1

-5;1
-1;
-1;0;1;2
-2
-4+

-3;3
-3;2;
-2
-5;1
-8;-1;0
1
-1;0;1;2
-3;3
-2
2;-
-4+
2;2

При работе над блоком «Итоговое повторение» в качестве контроля за выполнением долгосрочных домашних работ (методическое пособие «Подготовка к ЕГЭ. Итоговое повторение») предложены релейные контрольные работы (методическое пособие «Подготовка к ЕГЭ. Итоговое повторение (карточки с заданиями)»
Критерии оценивания
Каждый вариант состоит из двух частей. Первая часть (до черты) включает материал домашней работы. Выполнение этой части гарантирует учащемуся получение хорошей оценки. Вторая часть (после черты) включает задания, более сложные с технической точки зрения и гарантирует учащемуся получение отличной оценки.
Учебно-тематический план
№п/пСодержание Учебное время, часы
занятие с/рзачет
1 Уравнения высших степеней (18часов)
1 Многочлены. Деление многочлена 2 2 Теорема Безу. Схема Горнера 2 3 Введение новой переменной 2 4 Возвратные уравнения 1 5 Однородные уравнения. 1 6 Выделение полного квадрата 1 7 Метод неопределенных коэффициентов 2 8 Дробно- рациональные уравнении 2 9 Неравенства. Метод интервалов 2 10 Уравнения и неравенства с двумя переменными 2 11 Зачетное занятие 1
2. Уравнения и неравенства с модулем.(16часов)
1 Уравнения вида: ;2 2 Уравнения и неравенства с несколькими модулями; 2 3 Неравенства вида: ;3 4 Уравнения и неравенства, решаемые заменой переменной 2 5 Уравнения и неравенства, содержащие модуль в модуле, 2 6 Построение графиков функций, содержащих модуль (метод симметрии) 2 7 Метод областей. 2 8 Зачетное занятие 1
Рекомендуемая литература
Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений/ СМ. Саакян, A.M. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение 2003 г.
Задания для подготовки к выпускному экзамену по алгебре и началам анализа: Кн. Для учащихся 11 кл. общеобразовательных учреждений / Е.А. Семенко, С.Д. Некрасов и др. – М.: Просвещение, 1997 г.
Мерзляк А.Г. и другие «Алгебраический тренажёр: Пособие для школьников и абитуриентов – Киев «А.С.К.»1997г.
Доброва О.Н. Задания по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 9-11 кл. общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение, 1996 .
Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметром. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве»,2004.
Фальке Л.Я. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы. – М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола,2005.- 120с.
Романова Т.Е., Романов П.Ю. Задания с параметром: Методическое пособие.- МГПИ,1996г.
Моденов В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие. – М.: «Экзамен», 2006.-285
Горштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003,-336с.
Романова Т.Е. Решение уравнений и неравенства первой степени с параметрами. Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля: Учебно-методическое пособие. – Магнитогорск: МаГУ, 2004.-63 с.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под ред. Сканави. – М:1996г
Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы.: Учеб. пособие. Дыбов П.Т. и др. под ред. Прилепко – М.: Высш. школа,1983 г.
Система тренировочных задач и упражнений по математике/Симонов А.Я. и др. – М.: Просвещение,1991г.
Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука,1989 г.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф 1997г.
Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в ВУЗы: Учеб. пособие – М.: «Дрофа»,1997г.
Иванов М.А. Математика без репетитора: 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. – М: Вентана-Графф,2002.
1. Уравнения высших степеней.
Способ подбора целочисленного корня.
Если коэффициенты многочлена – целые числа, то целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена. Когда целый корень Х найден, разделим стоящий в левой части многочлена на (Х-Х). Уравнение примет вид (Х-Х)Р(Х)=0. Приравнивания Р(Х) к нулю, получаем уравнение более низкой степени.
Пример1: Х-4Х-13Х+28Х+12=0.
Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. «Кандитатами» в целочисленные корни являются числа :1;2;3;6;12.
Подстановкой в исходное уравнение находим корень Х=2.
Делим многочлен Х-4Х-13Х+28Х+12 на (Х-2).
Х-4Х-13Х+28Х+12 Х-2
Х-2Х Х-2Х-17Х-6
-2Х-13Х
-2Х+4Х
-17Х+28Х
-17Х+34Х
-6Х+12
-6Х+12
0
Уравнение примет вид: (Х-2)( Х-2Х-17Х-6)=0
Решаем уравнение Х-2Х-17Х-6=0
Подбираем корни среди делителей 6:;;;
Убеждаемся, что Х=-3 будет корнем.
Разделим многочлен Х-2Х-17Х-6 на Х+3 воспользовавшись схемой Горнера
Составим таблицу: 1 -2 -17 -6
-3
1 -5 -2 0
Исходное уравнение примет вид (Х-2)(Х+3)(Х-5Х-2)=0
Квадратное уравнение Х-5Х-2=0 имеет корни: Х=
Ответ: 2;-3; .
Пример2: 4Х-10Х+14Х-5=0
Целые корни подобрать не удается.
Умножим уравнение на 2: 8Х-20Х+14Х-5=0
Или (2Х)-5(2Х)+14(2Х)-10=0
Замена 2Х=Y приводит данное уравнение к виду: Y-5Y+14Y-10=0
Подбором убеждаемся, что корень Y=1
Делим Y-5Y+14Y-10 на Y-1
Получим Y-5Y+14Y-10 = (Y-1)(Y-4Y+10)
Уравнение Y-4Y+10=0 не имеет действительных корней, поэтому единственный корень Y=1 или Х=.
Ответ: .
Способ группировки.
Пример3: 8Х+Х+64Х+8=0
8Х+Х+64Х+8=(8Х+Х)+(64Х+8)=Х(8Х+1)+8(8Х+1)=(8Х+1)(Х+8)= (8Х+1)(Х+2)(Х-2Х+4)
Решаем уравнение (8Х+1)(Х+2)(Х-2Х+4)=0
Ответ: -2 ; Х=-.
Способ решения возвратных уравнений.
Уравнения вида ах+ах+…ах +а=0 называется возвратным , если его коэффициенты , стоящие на симметричных позициях , то есть если : а= а при i=0,1,…n.
Так как х =0 не является решением возвратного уравнения , то можно разделить на х
Рассмотрим возвратное уравнение четвертой степени вида : ax+bx+cx+bx+a=0,где a,b,c –любые числа, а0.
Его удобно решать с помощью следующего алгоритма :-разделить левую и правую части уравнения на х.При этом не происходит потеря решения , так как х=0 не является корнем исходного уравнения.
-группировкой привести полученное уравнение к виду : a(x+)+b(x+)+c=0 ,ввести новую переменную y=x+ ,тогда y=x+2+ ,то есть x+ x = y-2 .
В новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным : ay+by+c-2a=0.
-решить его относительно Y , возвратиться к исходной переменной.
Пример4 : x-5x+6x-5x+1=0.
Разделим обе части на x и сгруппируем :(x+)-5(x+)+6=0
Замена : y=x+ ; x+=y-2 приводит данное уравнение к виду:
(y-2)-5y+6=0 y-5y+4=0
Возвращаемся к исходной переменной: .Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:
-возвратное уравнение четной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой:
x+=y.
-возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень x=-1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения , на двучлен x+1 , приводится к возвратному уравнению четной степени .
Однородные уравнения.
X=0 не является корнем таких уравнений , поэтому при делении на x не происходит потеря корней.
Пример5: x-3x-8x+12x+16=0
X=0 –не корень .Делим на x
x-3x-8++=0 x+-3(x-)-8=0
Замена : x-=y ; x+=y+8 приводит данное уравнение к ввиду:
y+8-3y-8=0 y(y-3)=0

Ответ : -2; 2; -1; 4.
Пример6 : (x-x+1)-6x(x-x+1)+5x=0
Разделим на x
-6+5=0
Замена: =y ,(y0) приводит уравнение к виду:
y-6y+5=0

Ответ :1; .
Пример 7 : (x+x+1)=x(3x+x+1)
Представим уравнение в виде : (x+x+1)=x(2x+x+x+1) или : (x+x+1)=2x+x(x+x+1)
Разделим на x
=2+
Замена : =y приводит данное уравнение к виду: y-y-2=0

Ответ :
Пример 8 : +=-
Разделим числитель и знаменатель дроби на x0
+=-
Замену x+=y приводит данное уравнение к виду: ++=0
Вернемся к исходной переменной :
Ответ : -2 ;1 ; 2.
Способ введения новой переменной.
Пример 9 :(x+3x+1)(x+3x+3)+1=0
Пусть x+3x+1=y , тогда x+3x+3=y+2. Решим уравнение : y(y+2)+1=0
y+2y+1=0 (y+1)=0 y=-1
Вернемся к исходной переменной : x+3x+1=-1 x+3x+2=0
Ответ : -2; -1.
Пример 10 : ++4=0
Замена : =y ; = приводит данное уравнение к виду:
y++4=0 y+4y+3=0

Ответ : -5; -1; 1.
Пример 11: (x+6x)-2(x-3)=81
Выполним преобразование второго слагаемого : (x-6x)-2(x-6x+9)=81
Замена : x-6x=y приводит данное уравнение к виду: y-2(y+9)=81 y-2y-99=0 x-6x=-9 x-6x=11
Ответ : 3; 3
Пример 12 : (2x+3x-1)-10x-15x+9=0.
Перепишем уравнение в виде : (2x+3x-1)-10x-15x+5+4=0 ;
(2x+3x-1)-5(2x+3x-1)+4=0
Замена : 2x+3x-1 =y приводит данное уравнение к виду: y-5y+4=0

Ответ : -; -2; ;1.
Пример 13 : (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3
Сгруппируем следующим образом: ((x+1)(x+4))((x+2)(x+3))=3
Раскроем внутренние скобки: (x+5x+4)(x+5x+6)=3
Замена: x+5x+4=y приводит данное уравнение к виду: y(y+2)=3 y+2y-3=0

Ответ :
Пример 14 : 2(6x+5)(3x+2)(x+1))=1
Перепишем уравнение в виде: (6x+5)2(3x+2)(x+1)=1 (6x+5)(6x+4)(x+1)=1
Умножим уравнение на 6 : (6x+5)(6x+4)(6x+6)=6
Замена 6x+5=y приводит данное уравнение к виду: y(y-1)(y+1)=6 y(y-1)=6 y-y-6=0
В первом случае действительных корней нет, для второго случая найдем значения x
6x+5= x=.
Ответ : .
Пример 15 : (2x-3x+1)(2x+5x+1)=9x
Вынесем из каждой скобки множитель x : x(2x-3+)x(2x+5+)=9x
Подстановкой убеждаемся что x=0 не является корнем уравнения, поэтому разделим обе части уравнения на x0.
(2x+-3)(2x++5)=9.
Замена : 2x+-3=y приводит данное уравнение к виду: y(y+8)=9
Вернемся к исходной переменной :
Ответ : ; .Пример 16: (x+1)+(x+5)=32
Введем новую переменную следующим способом: x=y-, x=y-3 ; тогда x+1=y-2
(y-2)+(y+2)=32 Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые , получим :
y+24y=0 y=0 x=-3
Ответ : -3
Пример 17 : x+=40
Выделим квадрат разности в левой части : x-++=40
(x-)+=40 ; ()+=40 . Замена =y приводит данное уравнение к виду:
y+18y-40=0 Далее:
Ответ: 1
Пример 18 : +++=4
Избавимся от x в числителях дробей: +++=4
1++1-+1-+1+=4 --+=0
-=0 =0
Ответ : .
Рациональные неравенства.
Рассмотрим многочлен :P=…,где коэффициенты
a>0 ,a n-натуральные числа.(Если некоторые числа a<0 ,то выносим (-1) за скобки столько раз,
сколько имеем таких коэффициентов.)
Многочлен P легко привести к виду : P=aa…a…
Где x<x<…<x. Теперь на числовой оси отметим точки x,x,…x и нарисуем кривую знаков Р(х) спава налево x x x x
Если (aa…a)<0 , то умножаем обе части неравенства на (-1) и меняем знак неравенства на противоположный. При x>x все сомножители многочлена Р(х) больше нуля и Р(х)>0 (если (aa…a)>0 ).Если n-число нечетное , то при переходе через точку x многочлен Р(х) меняет знак , так как меняет знак выражение , а знаки остальных выражений сохраняются. Затем исследуется изменение знака в точке x и так далее. Если же некоторое число n-четное , то в точке xзнак выражения не меняется.
Пример 1 : Решить неравенство (2x+1)(2-x)(x-1)(x-3)(3x-2)<0
Решение. Это неравенство равносильно следующему неравенству
2(x+)(-1)(x-2)(x-1)(x-3)3(x-)<0 P(x)=(x+)(x-)(x-1)(x-2)(x-3)>0
Знак неравенства изменился , так как было умножение на отрицательное число.
Теперь применим метод интервалов. Отметим точки на числовой оси , в которых многочлен обращается в ноль. После этого расставим знаки на каждом промежутке.
+ - - + 1 + 2 - 3 + Х
При x>3 P(x)>0. В точке x=3 P(x) –меняет знак с плюса на минус , так как меняет знак (x-3).
В точке x=2 опять происходит смена знака с - на + . В точке x=1 смены знака не будет , так как степень у сомножителя (x-1) четная. В точках x= и x=- опять будет смена знаков.

Ответ : .
Обычно на экзаменах встречаются неравенства вида : > , которые приводятся к описанному выше виду следующим образом. Исходное неравенство равносильно неравенству:
->0 >0 или >0 , где P(x)=P(x)Q(x)-P(x)Q(x),
а Q(x)=Q(x)Q(x)
Пример 2 : Решите неравенство:
Решение :
Ответ: .
Обратить внимание : недопустимо просто домножать неравенство на знаменатели , так как при умножении неравенства на функцию f(x) , знак неравенства может измениться на противоположный
(при f(x)<0) , то есть
>gпри
Поэтому при решении неравенств такого вида лучше все перенести в левую часть и там уже привести к общему знаменателю без домножения обеих частей на общий знаменатель.

Тренировочные задания по теме «Уравнения высших степеней»

2.Уравнения и неравенства с модулем.
1.Уравнения вида :
Уравнения с модулем – частый гость на ЕГЭ , ЦТ
Определение : .
Можно дать и другое определение –равносильное . Модуль а равен наибольшему из чисел а и –а , то есть
Рассмотрим основные типы уравнений с модулем.
,
Пример 1 :
Решение :
Ответ : -.
Пример 2 :
Решение :
Ответ : -1 ; 3 ; 1.
2. Уравнения вида :
Способ 1 : Способ 2 :
Пример 3 :
Решим его первым способом :
Условию удовлетворяют корни : .
Ответ : -2 ; -2.
Пример 4 :
Его удобнее решить вторым способом , так как подмодульное выражение проще правой части.

Ответ : .
3. Уравнения вида :
Такие уравнения решают вторым методом :
Пример 5 :

Условию удовлетворяет .
Уравнение не имеет действительных корней.
Ответ : 2
4. Уравнения с несколькими модулями.

«Технология» решения такова :
1 По свойству приведем заданное уравнение к виду когда .
2 Расставим на оси х корни подмодульных выражений ( там где происходит смена их знаков)
3 На образовавшихся n+1 промежутках расставим соответсвующие знаки подмодульных выражений.
4 Решим n+1 уравнение , проверяя получившиеся корни на вхождение в рассматриваемый промежуток.
Пример 6 :
Решение :
;
Расставим знаки подмодульных выражений на интервалах
- - -1 - + 3 + + х

не принадлежит промежутку , а не принадлежит промежутку , но принадлежит отрезку :
Ответ : -1
Пример 7 :
Решение : Корни подмодульных выражений : и
+ + -1 + - 1 - - 3 + - 5 + + х

-1 ; 5 , 1 , 3 . Однако 8=8 истина ,поэтому
Ответ : .
5. Уравнения вида :

Пример 8 :
Решение :
Ответ :
6. Введение новой переменной :Пример 9 :
Решение : Пусть , причем , тогда
Решим уравнение относительно переменной y : . Корни которого y=2 ; y=3.
Найденные значения удовлетворяют условию . Вернемся к исходной переменной :
Ответ :
Пример 10 :
Пусть
Решим уравнение : . Корнями данного уравнения являются значения :
не удовлетворяет условию .
Вернемся к исходной переменной :
Ответ : 0; 5.
7. Модуль в модуле.
При решении уравнения , в котором под знаком модуля находится выражение , также содержащее модуль , следует сначала освободиться от внутренних модулей , а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
Пример 11 :


На промежутке решений нет . Единственный корень из промежутка .
Ответ : 0
8. Неравенства вида :
,
Пример 12 :

Ответ: .9. Неравенства вида :
.Говорят «внутренность» точек - и .
Пример 13 :

Ответ :
Пример 14 :
(1)
(2)

Ответ : .
10. Неравенства вида
Говорят «внешность» точек : - и .
Пример 15 :

Ответ : .
Пример 16 :

Ответ : .
11. Неравенства вида :


Пример 17 :

Ответ : .
Пример 18 :

Ответ :
12. Неравенства с несколькими модулями.
Решение неравенств с несколькими модулями строится аналогично решению подобных уравнений.
То есть весь порядок решения сохраняется , лишь на заключительном этапе после освобождения от модулей решаем не уравнения , а неравества.
Пример 19 :

Корни подмодульных выражений :
- - -1 - + 4 + + хДалее решение строим последовательно на интервалах , двигаясь слева направо по числовой оси.

На промежутке мы получили верное числовое неравенство. Это означает , что для любого х из данного промежутка неравенство верно.
После объединения полученных множеств : -2<x<5
Ответ : (-2;5).
Пример 20 :
Корни подмодульных выражений :
- - -2 - + 1 + +

Ответ : .
13. Введение новой переменной.
Пример 21 :
. Сделаем замену :
Решение :-1<y<3 С учетом ограниченности y : 0.
Вернемся к переменной х : 0. Решение :
Ответ :
14.Модуль в модуле.
Пример 22 :

Выражение -1>-1 –ложь , поэтому первая система решения не имеет. Решение -.
Ответ : .
Тренировочная работа по теме « Уравнения и неравенства с модулем»



Приложенные файлы


Добавить комментарий